复合命题直接推理的图式化系统——复合命题直接推理系统再探，本文主要内容关键词为：命题论文,图式论文,系统论文,直接推理论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
对于复合命题直接推理问题，传统形式逻辑虽然作过一些研究，但未能形成类似三段论那样一个完整的推理系统。现代数理逻辑所构建的命题演算公理系统虽然可以涵盖复合命题直接推理的一切有效式，但也未能形成一个相对独立的复合命题直接推理的完整系统，而且，对于初学者来说，命题演算系统的公式、公理、推演规则远离自然语言，缺乏直观性，推演过程也过于顼琐复杂，难以迅速准确地推导出所需的结论。笔者曾在《复合命题之间的真值关系及其直接推理系统初探》（注：《宁德师专学报》（哲社版）1996年第4期，《逻辑》（人大报刊复印资料）1996年第9期。）一文中对此作了初步的探讨。现在看来，原文所列的公式系统不够完全，且过于顼琐，难记难用。本文采用新的思路，尝试构建一个与自然语言相近的，直观简便，具有一致性和相对完全性的复合命题直接推理图式化系统（以下简称ZT系统），就教于同行专家。
一、ZT系统内容的基本规定
（一）、初始符号
1、命题变项：p,q,p[,1],q[,1],p[,2]…;
2、联结词：┓，∧，∨，→，←，←→，∨；
3、左右括号：（，）。
（二）、公式的形成规则
1、一命题变项是一公式；
2、如果A是公式，那么┓A是公式；
3、如果A和B是公式，那么A∧B、A∨B、A→B、A←B、A←→B、A∨B是公式；
4、所有公式都由1,2,3生成。
（三）、定理的构成条件
1、定理的整个公式为蕴涵式或等值式；
2、定理的前后两个公式中至少有一个公式带有二元联结词且包含有两个不同的命题变项；
3、如果定理为蕴涵式，则定理前后两个公式的肢公式之间应具有相等值或相矛盾的对应关系；
4、整个定理是重言式。
5、所有定理都应同时满足1、2、3、4这四个条件。
（四）、定理的推演系统
1、推演规则
(1)、代入规则：如果A是定理，那么A(π/B)是定理；其中π是定理A中的任一命题变项，B是代入的任一公式。代入必须同一且完全。
(2)、等值替换规则：如果A是定理，那么A(C/B)是定理；其中C是定理A中的任一公式，B是用以替换C的相等值的公式。等值替换可以任意进行。
(3)、双重否定引入和消除规则：如果A是定理，那么A(B/┓┓B)或A(┓┓B/B)是定理；其中前一个B或┓┓B是定理A中的任一公式，后一个┓┓B或B是引入了双重否定或取消了双重否定的公式。双重否定的引入和消除可以任意进行。
2、定理组合的图式。
解：以上10个符号序列中，①和②不符合ZT系统公式形成规则，不是公式，显然也不是定理；③～⑩都符合ZT系统公式形成规则，都是公式，但其中③和④不符合定理条件1，⑤不符合定理条件2，⑥和⑦不符合定理条件3，⑧不符合定理条件4，因此它们都不是ZT系统的定理。只有⑨和⑩同时符合定理的四个条件，可见，符号序列⑨和⑩是ZT系统的定理。
例（二）、已知命题┓(┓p→←q)为真，求由该命题能直接推出哪些结论。
解：第一步，以┓p代入图一和图一′中的p，则已知命题正好位于图一的最下方和图一＇的最上方等值公式的后项，由此可导出它所蕴涵的两个公式：(1)┓p∨q,(2)┓(┓p∧q)。
例（五）、请判定“这家商店并非物不美且价不廉”与“这家商店只有价廉才物不美”这两个判断是否等值。
通过将图一和图一′所导出的36个蕴涵公式与真值定义表1所标示的各个肢公式之间的真值关系，可以很清楚地看出它们都是重言式。（具体对照步骤略）
2、ZT系统等值定理组合图（即图二、图三、图三′、图四、图四′、图五、图五′）所直接导出的各个等值公式链构成的等值定理也都是重言式。我们可以通过以下的真值定义表2加以证明。
可以明显看出，图二导出的16个公式恰好是表中标号为⑦的8个公式以及它们前后项易位的逆公式；图三导出的8个公式恰好是表中标号为③′的4个公式以及它们前后项易位的逆公式；图三′导出的8个公式恰好是表中标号为③的4个公式以及它们前后项易位的逆公式。显然，上述各图导出的各组公式都是等值的，由它们所构成的等值定理都是重言式。
图四下边的2个公式分别是表中第一行的③∨④和第二行的⑥′∧⑤′，显然它们与图四上面公式前项的真值情况①完全相同。图四上面公式的后项是前项合取一个永真式，它与前项的等值性十分明显。图四′所包含的4个公式正好是图四中4个公式的否定，由于等值式的两边同时加以否定其等值性不变，因此图四′包含的4个公式也必然等值。图五下边的2个公式分别是表中第一行的③∨⑥和第二行的⑤′∧④′，显然它们与图五上面公式前项的真值情况⑦完全相同。图五上面公式的后项是前项析取一个永假式，它与前项的等值性也很显见；同理可证，图五′所包含的4个公式也必然相等值。由此可见，图四、图四′、图五、图五′所导出的等值定理都是重言式。
3、ZT系统的代入规则是保真的，即用它从重言式得到的公式仍然是重言式。因为从重言式的定义可知，不论重言式的原子公式被代换以什么公式，重言式仍是重言式。
4、ZT系统的等值替换规则是保真的。因为根据重言式的性质可知，不论重言式中的任何一个公式用等值的公式加以替换后，重言式仍是重言式。
5、ZT系统的双重否定引入和消除规则是保真的。因为该规则是根据┓┓p←→p这一重言等值式和等值替换规则来制定的，因此运用该规则从重言式得到的仍是重言式。
由以上1、2、3、4、5、可知，由ZT系统定理组合图式中推导出来的一切公式都是重言式。所以，ZT系统是语义一致的。证毕。
（二）、ZT系统是相对完全的
证明ZT系统是相对完全的，就是证明凡符合ZT系统定理条件的公式在该系统中都可以推导出来。根据ZT系统的规定，必须证明以下两点：(1)由ZT系统九个定理组合图式推导出来的定理与符合ZT系统定理形式结构条件所规定的一切公式在形式上具有同构关系；(2)ZT系统上述五个定理组合图式涵盖了符合ZT系统定理形式结构条件所规定的一切公式中所有可能的重言式。
证：1、根据ZT系统定理条件的规定，ZT系统的所有定理在形式结构上可用以下两个定理公式结构图式来表示：
由此可见，虽然符合ZT系统定理形式结构条件所规定的具体公式形式可以是无限多样的，但它们都是由以上两个定理公式结构图式通过各种不同的符合组合以及施之以代入规则或等值替换规则或双重否定引入和消除规则而形成的。而以上定理公式结构图式1和结构图式2中的蕴涵式的组合图式恰好与ZT系统定理组合图一和图一′所导出蕴涵定理具有同构关系。虽然在图一和图一′中带二元联结词的公式内不含┓p与┓q，但这可以通过推演规则来构成。另外，定理公式结构图式1和图式2中的等值式的组合图式也恰恰与ZT系统定理组合图二、图三、图三′、图四、图四′、图五、图五′所导出的等值定理具有同构关系。
2、定理公式结构图式1和结构图式2实质上描述了二肢复合命题的蕴涵组合式和等值组合式。在这两个图式中，各种符号之间组合所可能得到的重言式一共有几种呢？下面进一步加以证明。
我们可以借助于定理公式结构图式1和结构图式2中各种符号之间组合所可能得到的肢公式的真值定义表加以分析。见上面的真值定义表2。
从上表可以看出，虽然每一种二元联结词所组合的肢公式都有4个，定理公式结构图式1和图式2中的二元联结词有12种，一共可以组成48个带有二元联结词的肢公式，加上两个命题变项和它们的否定，共有52个肢公式，但这52个肢公式实际上只有14种真值情况。下面，我们进一步证明这52个肢公式的14种真值情况一共可以组成多少种重言蕴涵式和重言等值式。
首先，定理公式结构图式1和图式2所有可能组合的重言蕴涵式数目如下分析：
由于蕴涵关系不允许出现前件真而后件假的情况，因此，从蕴涵关系（不包含等值蕴涵）的前后件真值情况的组合关系来看，后件应比前件至少多取一种真的情况。作为重言蕴涵式肢公式的①～⑦和①′～⑦′这14种真值情况可分为以下三组：
第一组是一真三假，有③～⑥这4种，它们只能作为重言蕴涵式的前件，而不能作为后件；
第二组是三真一假，有③′～⑥′这4种，它们只能作为重言蕴涵式的后件，而不能作为前件；
第三组是二真二假，有①、②、⑦和①′、②′、⑦′这6种，它们既可以作为重言蕴涵式的前件，也可以作为后件。
这三组肢公式的真值情况可用下表显示：
当第一组为前件、第二组为后件时，很明显，每一种前件都可以与四种后件中的三种构成重言蕴涵式。这种组合共有12种重言蕴涵式。
当第一组为前件、第三组为后件时，显然，每一种前件都可以与六种后件中的三种构成重言蕴涵式。这种组合也有12种重言蕴涵式。
当第三组为前件、第二组为后件时，同样显见，每一种前件都可以与四种后件中的两种构成重言蕴涵式。这种组合照样有12种重言蕴涵式。
综上可知，定理公式结构图式1和结构图式2所组合的52个肢公式具有的①～⑦和①′～⑦′这14种真假情况之间所有可能组合的重言蕴涵式数目为3×12=36种，这恰好与ZT系统蕴涵定理组合图一和图一′直接导出的18对36个重言蕴涵式的数目完全吻合。
其次，定理公式结构图式2所有可能组合的重言等值式数目如下分析：
定理公式结构图式2中各种组合的肢公式都是带有二元联结词的公式，它们共有48个，其中只有10种不同的真值情况，它们又可以分为另外两组不同的等值关系。
第1组是由二真二假的16个肢公式组成，它们有且只有两种相否定的真值情况，即⑦和⑦′，其中每一种真值情况都有8个肢公式与之相等值。如果考虑到肢公式的前后命题变项位置互换（这可以运用代入规则来实现），那么每一种真值情况就都有16个肢公式与之相等值。这种情形恰好与ZT系统等值定理组合图二所直接导出的16个等值公式数目相吻合。虽然图二只显示其中一种真值情况的等值公式，但另一种真值情况的16个等值公式则可以通过对图二运用代入规则，要么以┓p代入p，要么以┓q代入q来得到。
第2组是由一真三假或三真一假的32个肢公式组成，它们有③～⑥和③′～⑥′这互为否定的8种真值情况，其中每一种真值情况都有4个肢公式与之相等值。如果将这4个公式的前后命题变项位置互换（实现方法同上），那么，又可以得出相应的另外4个公式，这样总共可以得到相应的另外32个肢公式，而它们的真值情况仍未超出这8种真值情况。这样看来，③～⑥和③′～⑥′这互为否定的8种真值情况中的每一种就都有8个肢公式与之相等值。这种情形恰好与ZT系统等值定理组合图三和图三′直接导出各8个等值公式的数目完全吻合。虽然图三和图三′只显示③～⑥和③′～⑥′这互为否定的8种真值情况中两种互为否定的真值情况的等值公式，而其余互为否定的6种真值情况的等值公式则可以通过对图三和图三′运用代入规则进行三种不同的代入来得到，即第一种以┓p代入p，第二种以┓q代入q，第三种以┓p代入p和┓q代入q。
第三，定理公式结构图式1和图式2通过对命题变项进行带二元联结词公式的代入或等值替换，所可能具有的重言等值式真值情况的种类如下分析：
综上所述，ZT系统九个定理组合图式导出的定理与符合ZT系统定理形式结构条件所规定的一切公式在形式上具有同构关系，且涵盖了其中所有可能的重言式，因而具有相对完全性。证毕。
通过以上介绍及证明，可以看出，ZT系统是完全可靠的并有着相当广的适用性，其定理组合图式形象有序，推演方式简便，易记好用。笔者以为完全可以在普通逻辑的教学中加以推广和普及。为此，热切希望各位同仁提出各种宝贵意见，促使该系统进一步完善化。