小学多位数除法的一种新教法，本文主要内容关键词为：除法论文,教法论文,小学论文,多位数论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
小学数学的最主要任务，就是学习加、减、乘、除四项最基本的运算。在这四项运算中，加、减、乘三种，都有现成的运算口诀，学生可以直观地根据所给的数字，借助口诀和一套固定的方法，计算出结果。而除法则不然，它没有现成的口诀，事实上也无法给出口诀，学生只能间接地根据除数、参照被除数，经过抽象思维，假设出结果，再进行验证，看其是否符合除法的要求；若不符合，就要重新进行假设、验证。这显然是一个非常复杂的思维过程，因此，在这四种运算中，相对而言，除法的难度最大。而除法中的这种不断假设结果，验证结果的过程，实际上也就是“试商”过程，所以，我们也可以把除法的难点，归结为“试商”。如果我们能研究出一种简捷、准确的试商方法，那么除法的难题也就迎刃而解了。笔者正是基于这一思路，由试商入手，最终形成了一整套多位数除法的新算法和新教法。
小学多位数除法新教法的草案形成后，为了在实践中检验其效果，我们在大连市甘井子区金二小学选取了一个共认的差班（四年四班），并让一位从未教过这一内容的教师执教，开始了这项多位数除法新教法的尝试性实验。
一、实验的效果
这项实验综合运用了现代三大教育理论：美国布鲁纳的认知结构迁移理论，美国布卢姆的掌握学习理论和前苏联赞可夫的高难度和高速度教学原则。
该实验初试锋芒的结果是十分令人满意的，主要体现在：
（一）新教法所用的教学时数少。实验班只用一个月的时间，就完成了全部多位数除法的教学，比大纲规定整整提前了一个月。这在实行五天工作制的当今中国，是具有十分现实意义的。
（二）新教法的成绩好，学生做题的准确率高。在其本校进行的有关除法的多次小考中，该班成绩多次名列前茅；在其本校进行的期中质量抽测中，该班52人参加考试，全班在除法计算中一共仅错7道题，这是一种惊人的准确率，在稍后的全区质量抽测中，该班有幸被抽为10所学校10个班级中的一个，经历了一场更大的考验。试卷是临考前送到的，并由区里专门派人监考，考完后，试卷直接收到区里由专人批阅。结果该班经受住了这次考验，成绩名列全区之冠，全班平均成绩为95.56分，共有14名学生获得了100分的好成绩，全班优秀率达到71.4%。更值得一提的是，在有关除法计算的64分中，该班平均每人只被扣了1.5分，这种高准确率令老数学教研人员也吃惊。
（三）新教法让教师教得轻松，学生学得愉快。这是实验班教师发自内心的真实体验，也是该班学生的共同感受。有一次实验教师下午外出有事，让学生自己在书上找一些除法题做。等老师回来后，学生们纷纷拿出本来让老师批阅，且以谁做得多为荣。大部分学生做了几十道题，其中有一个学生竟做了一百多道题。试想，如果学生对除法有畏难情绪，那么在教师不在的情况下，哪里还肯自觉自愿、高高兴兴地做这么多题呢？而该班上述好成绩的获得，也不是靠加班加点和搞题海战术得来的，该班几乎每天下午都有一节课的自由活动时间，且设有班级图书馆，学生做完作业，就可以自由阅读课外书。就是这个班中已被测定智商在60以下的两名学生，对这部分内容掌握得也较好，学得也很有兴趣。新教法的省时、省力和高质量，预示了除法改革的美好前景。
二、实验的特点
这套新教法之所以能取得如此之成效，主要因为它涉及到了以下两方面的改革：一是对教材内容的重新编排，二是对试商方法的突破性改进。
（一）新教法在教材内容的编排上是全新的。美国著名教育家布鲁纳也早已指出：所谓发展能力，就是使学生发生尽可能多的迁移。学生头脑中的认知结构越科学、越系统，其发生的迁移量就越大。而学生头脑中的认知结构，恰恰就是由教材结构转化而来的，因此，教材编排的重要性可想而知。真正科学、合理的教材结构本身，将自然而然地发挥出巨大的威力，使学生易学、乐学，并在潜移默化中形成学生的各种能力。原小学多位数除法的内容编排不可谓不科学，然而实践已证明了其确实没有突破除法的难关，在教学中也出现了种种问题，因此编排出更趋合理、科学的教材，就成为从根本上攻破除法难关的关键之一。笔者正是由此，对原教材内容作了大胆的重新编排。
为了说明问题，我们将原教材和新教法的教材编排作一简单比较。
原教材的体系如下：先讲两位数除多位数，由被除数和除数都带"0"的特例讲起，以例题方式，讲解了两位数除多位数的各种类型；再讲三位数除多位数，也由被除数和除数都为"0"的特例讲起，也以例题的形式，几乎讲解了三位数除多位数的各种类型；最后，又借助被除数和除数都带"0"的一系列特例，导出除法的性质，并讲解了如何借助除法的性质简化某些计算。
原教材中别的内容我们暂且不作深入的分析，就以被除数和除数都带"0"的特例来论，在两位数除多位数中讲了一遍，在三位数除多位数中又讲了一遍，最后在讲除法性质时，又大下了一番工夫，重讲了一遍。这是多位数除法中最简单的一项知识，竟重复了这么多次，耗去了这么多时间，太不值得了。但这还是问题的其次，这样做的一个更大危害，就是教材将同一知识分作三次讲，学生会误认为是三项知识，因为小学生的思维是无法看透许多不同的表达方式，实际上讲的是同一件事情的。如果我们的学生长期经受这样编排的教材的训练，那么势必越学越死，越学越畏惧知识多、知识难，越学越厌学。新教法的教材编排首先克服了原教材的这一缺陷，将被除数和除数都带"0"的特例，作为一个统一的知识，在一开头就系统地教授给了学生。
新教法的内容体系如下：先讲多位数除法特例，由特例导出除法性质，并专门讲了有余数的这一类除法的处理办法；其次，讲两位数除多位数的基本类型，同原教材一样，也以例题的方式，但新教法中的例题之间的内在联系比原教材紧密得多；再次，讲三位数除多位数的基本类型，也以例题形式，但所使用的例题比原教材少得多；最后，讲了除数的最高位是"1"的除式的特殊试商法，这是因为新教法用新的试商方法之故。
新教法的这种内容排列方式，在实验之初就发挥了作用。非试验班的学生，由于原教材将除法特例混在基本型中讲，所以学生在做题过程中，常常将带"0"的和不带"0"的题搞混，造成做题的准确性差。而实验班学生就没有这些问题，在实验之初的一次全是式子计算的考试中，实验班三十几名学生全对，而其它班级只有十几名学生全对，成绩的悬殊，一目了然。另外，新教法中那些密切联系的例题，使教师一次可以同时讲几个例题，从而大大缩短了教学时数，也使学生们易学、乐学。
当然，要全面了解新旧两种教材内容编排上的不同，还需通过参看此文的第二部分，并对照原教材获得。
（二）新教法所采用的试商方法是全新的。原教材的试商方法是将除数“四舍五入”为整十数或整百数，然后再假设出商数。若商数符合除法的要求，那么就不必再另行设商了；若商数小了，就要将之改大；若商数大了，就要将之改小。总之，要使最终的商数符合除法的要求。这种试商方法需要学生经过这样几重思考：
(1)将除数化成整十数或整百数。
(2)按照已化成的整十数或整百数假设出商数。
(3)若商数小了，要将之改大。
(4)若商数大了，要将之改小。
原试商方法的思维出发点为：多位数除法，除数是两位或三位以上，所以试商时必须将除数作为一个整体来看待，假设商数的思维基本模式为：除数几十几或几百几十几等乘以多少，将最接近于被除数。至多也只能将除数简化至整十数或整百数等，再按这一模式假设商数。
而新试商方法的思维出发点为：学生思考两位数以上除数乘以多少，最接近于被除数，不管这个除数如何简化，肯定不如只思考一位数乘以多少最接近于某数来得简单，因为后者可直接借助乘法口诀进行。这就如同思考50×?=200，肯定比思考5×?=20复杂一样。那么能否在多位数除法中也只看除数的某一位，然后象一位数除法一样，借助乘法口诀试商呢？我们首先进行了只看除数的最高位试商的实验，即只看除数的最高位乘以几，将等于或最接近于被除数的最高位或最高两位。结果一试就成功了，而且还出现了另一个意想不到的美妙结果，就是这种新的试商方法，永远只能出现商数大了，需要改小的情况，且商数通常最多只需改动两次。而原试商方法则出现商数大了要改小；商数小了要改大两种情况。这就大大简化了试商的思维过程，使新试商方法只需经过如下两重思考：(1)直接看除数的最高位，依据乘法口诀，假设出商数。(2)或商数大了，要将之改小。我们用这种新方法，重新做一下讲原试商方法时的三道例题：
计算结果与原试商方法的计算结果完全相同，这初步说明这种新试商方法是正确可行的。由于我们不可能通过做尽一切除法题，来验证此种新方法的正确性，故需通过抽象逻辑思维来论证之。因为原试商方法已被公认为是正确的，如果我们能从原试商方法，合乎逻辑地推导出新试商方法，那么新试商方法的科学性和合理性就不容怀疑了。
首先，如果我们将原试商方法的思维出发点再深入地思考一步，就不难发现，将被除数化为整十数或整百数后，假设商数时，除数中的"0"看与不看，都不影响结果。比如，我们假设被除数为2100，除数为300，那么按照300×?=2100和3×?=21，（"21"实际上就是前式被除数的最高两位）两种方式试商，其结果是一样的，即都为"7"。所以原试商方法本身就已蕴含了只用除数的最高位去试商的合理性。
其次，原试商方法用“四舍五入”的办法，将除数化为整十数或整百数，由于“五入”的数肯定比原除数大，所以，以比原来大的除数去试商，就很容易造成商小了的情况。因为如果A×B=C，D>A，而要求D×?=C，那么"?" 新教法的教材内容编排方式，已十分有利于学生的学习，而这种新的试商方法，更是从根本上突破了除法的难关，使除法变成了确确实实十分易学的知识。该法由于教师只需向学生讲明两个知识点，即看除数的最高位试商和商大了要改小，所以教师教得十分轻松；而学生也只需掌握这两个知识点，所以学生也学得轻松、愉快。且此法使学生做题的思维过程十分简单、明了、有序，不象原试商方法那样，学生要根据不同的题目，不断变换思维，故学生做题的准确率极高。更妙的是，该法使乘法口诀成为乘除法共用的口诀，从而将除法这种本无口诀可寻的运算，转化成了有口诀可依，象加、减、乘三者一样，可按一套固定的方法计算的运算，从这一意义上而言，为今后学术交流之便，我们就暂且将之称作是一种“新型口诀试商法”吧。 在实验过程中，实验教师发现，在除数最高位是"1"的情况下，有些题将商数改小“两次”后仍不行，为了加快对这类题的试商速度，我们对新教法作了一点修正，就是将除数最高位是"1"的除式，作为一种特殊情况，单列出来，放在最后讲。教师告诉学生，这种题如果除数最高位的下一位“小于5”，就仍按前面所教的新试商方法，即“新型口诀试商法”计算；若除数最高位的下一位“大于或等于5”，则将除数最高位看作"2"，再行试商计算，出现商小的情况就将商改大。对除数最高位是"1"的除法题的这种处理方法，实际上类似于原试商方法，由于加讲的这种方法使用的范围很小，很明确，且是放在学生已全面掌握“新型口诀试商法”的基础之上，故不会使学生在思维上发生什么混淆，并不影响这种新试商方法的简捷性和准确性。 本实验所依据的原教材版本为人教社出版的六年制小学试用课本《数学》第七册（1989年8月第二版，1994年2月辽宁第7次印刷），即近几年来（截止到1995年为止）全国通用的四年级上半学期数学教材。据说1996年的四年级数学教材，将有大的变动。目前已知的就是，原四年级教材一开头的“除数是两、三位数的除法”一章，已被拆开，其前半部分“除数是两位数的除法”已被拿到三年级下半学期讲。这种将系统知识拆零散了的做法是否科学、明智，笔者抱怀疑态度。作为一种争鸣，笔者希望本文所阐述的多位数除法的新教法，能求得更广泛的论证，让实践本身去检验到底哪一种教法更科学、更合理。即使未来的几十年内，我国都将坚持使用这种拆散了的教材，本文所阐述的新的试商方法，也不会失去意义。