两种《不等式选讲》教材的比较研究及教学启示，本文主要内容关键词为：不等式论文,两种论文,启示论文,教材论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
在小学6套、初中9套、高中6套共21套新课标数学教材中，一些教材不仅符合课标要求而且独具特色，它们为教材多元化奉献了鲜明范本。下面，我们以人教A版[1]和湘教版[2]高中数学教材《不等式选讲（选修4-5）》为例来进行比较分析，并从中汲取对教学的有益启示.
一、对教材的比较
1.关于出版制作
从教材容量方面来看，两套教材都是16开本，只是湘教版开本为标准A4开本（80页），人教A版开本稍小（64页）.仅从版面字数上来看，湘教版较多。从印刷方式来看，两套教材均采用清新淡雅的双色印刷（既不是黑白也不是全彩）.这样的开本和印刷方式，使得数学教材看上去庄重内敛而不花哨张扬，从而切合了数学学科注重内涵的朴实本色.
2.关于作者队伍
从作者队伍上来说，人教A版的总主编是刘绍学，副总主编是钱珮玲和章建跃，主要编者是俞求是、章建跃、田载今、马波和李世杰.湘教版的总主编是张景中、陈民众，执行主编是李尚志，本册主编是朱华伟，编委是钱展望、郑志明、查建国和孟实华.查阅资料可知，人教A版作者更多的是人教社自身的数学编辑，而湘教版作者更多的是出版社以外的高校教师.
3.关于框架结构
两套教材的章节结构如图所示，从图中可以看出，人教A版以4个讲座的形式呈现，湘教版以5个章节的形式呈现，它们的框架结构的差异是明显的.
具体地，首先，它们都没有根据文[3]的规定内容逐次进行展开，都对呈现顺序进行了调整或整合.我们知道，文[3]规定了本专题如下的“内容与要求”：①回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式.②理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明绝对值三角不等式.会利用绝对值的几何意义求解3类绝对值不等式.③认识柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义.证明柯西不等式向量形式以及平面三角不等式.④用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况。⑤用向量递归方法讨论排序不等式.⑥了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题.⑦会用数学归纳法证明贝努利不等式
，了解当n为实数时贝努利不等式也成立.⑧会用上述不等式证明一些简单问题，能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值.⑨通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法——比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.⑩完成一个学习总结报告.在人教A版教材中呈现的顺序是①②⑨③④⑤⑥⑦⑩，而在湘教版教材中呈现的顺序是①⑨②⑥③④⑤⑦⑩，而⑧都是夹杂其中“时隐时现”的.之所以出现这样的逻辑顺序差异，是因为除了不等式的概念必须首先出来以外，其他的内容大致相对独立、可前可后造成的.
其次，湘教版教材在⑥和③之间增加了一块关于3个正数的平均不等式及其应用的内容，并作为单独的1章进行了突出介绍；而人教A版虽然也有相关的内容，但是作了淡化处理，并没有过多地去渲染.相对说来，人教A版对柯西不等式的相关内容着墨较多，讲解细致.
4.关于栏目设置
就数学教材内容而言，多由封面、扉页、目录、引言、过渡性叙述、例题及其解答、公式定理、习题、学习总结报告、出版后记等部分组成，而正文一般都是以夹叙夹议形式展开的.在人教A版教材中，没有采用分栏排版，主要设置有4个栏目，即思考（比较简单一些的问题，出现12次）、探究（比较复杂一点的问题，出现16次）、观察（需要辅助图形来思考的比较简单的问题，只出现1次）、阅读与思考（相当于数学文化和数学历史的一个栏目，只在柯西不等式部分出现1次，题目叫做“法国科学家柯西”，约350字）、边注（在正文的边上作些小的提问、提示或总结，出现18次）.除“阅读与思考”这个栏目以外，其他4个栏目中提出的问题很难从题目难易程度以外的角度进行区分.湘教版教材采用了分栏排版的方式，大栏排版正文，小栏根据实际需要排版了不少边注或提示.湘教版教材中，过渡性的文字叙述不是很多，大多是例题及其解答.除了正文边注以外，湘教版教材的栏目有数学实验（需要动手或者依赖数学软件的操作，出现2次）、阅读与思考（涉及数学文化或者延伸拓展的内容，出现3次）、数学建模（把相关问题从数学建模的视角进行处理，出现2次）.虽然湘教版教材的栏目出现频数不是很多，但是每个栏目的内容较长，一般有3面.此外，在习题配置方面，人教A版和湘教版教材都进行了详备的安排，全书分别设置了76道和70道习题，保证了教学的选用.
5.关于风格特色
风格特色既是编写团队个性实力的人文彰显，也是教材作者学术品质的具体物化.在文字表述方面，人教A版的教材文字严谨规范、朴实简练，尤其是对一些数学公式的文字语言表述方面，堪称经典；而湘教版教材的文字相对活泼轻松、通俗易懂，尤其是一些边注的表述亲和力强，能够让读者阅后豁然开朗.在立意定位方面，是两套教材的最大差异和各自的亮点所在：两套教材都很注重对不等式相关知识的应用和与现实生活的关联，如果说人教A版最大的特色是强调几何背景、注重渗透数学思想方法的话，那么湘教版的最大特色是注重数学模型和强调数学拓展.众所周知，不等式中在有关恒等变形等相关技巧方面容易过繁过难，但是人教A版教材编者自一开始的绝对值的数轴表示就特别注意几何背景和数形结合，尽量给出不等式的几何直观图形或者背景，或者引导学生思考数学公式的几何解释，并在数学符号语言、日常语言和图形语言的综合理解方面做足文章，帮助学生深刻把握数学本质.而湘教版教材虽然很重视几何背景的解释，但是更多地是把不等式作为一种刻画现实的数学模型来立意的，非常注重数学知识的数学化关联拓展.例如：在学习过绝对值不等式后，安排了名为“距离的性质”的“阅读与思考”栏目，对欧氏几何的距离进行拓展延伸，深化对含绝对值不等式的理解和应用；在学习过2个正数的平均数不等式以后，专门设置1章的篇幅来讲解3个正数的平均不等式及其应用，在接下来的“阅读与思考”栏目里介绍，2个正数的平均不等式；全书中专门设计了“数学建模”栏目，课题分别是利用平均不等式解决实际问题的“洗衣服的数学”和利用不等式求极值的“增设汽油中转站”，从而把许多数学不等式公式和结论作为一种数学模式来渗透，等等.此外，两套教材都在和读者的对话方面做了很多有益的尝试，比如除了在适当位置添加边注以外，都很重视专题的引言导入写作.人教A版在学习总结报告中还列举了适合学生参考的华罗庚著《数学归纳法》等8本相关书籍，在后记中留有沟通的电子信箱，一些内容后面带有总结性的策略性知识，等等.一言以蔽之，人教A版教材学科教育性更强，具有较大的启发性；湘教版教材数学科学味更浓，对思维程度的要求较高.
二、对教学的启示
1.加强数学知识整合呼应，提高专题教学价值
首先要注意本专题和先学内容的整合呼应.从上述两套教材的研究和对比中可以发现，本专题的内容很多都可以看做是先前学习内容的深化或者拓展.例如，在必修5中对一元二次不等式和2个正数的平均不等式及其应用已经有所接触，此处只要推广到3个正数的平均不等式情况；比较法、综合法、分析法、反证法、数学归纳法在选修2-2的“推理与证明”中已经学习，贝努利不等式可以看做数学归纳法的一个应用；绝对值不等式可以看做是对绝对值意义及其应用的一点拓展；柯西不等式的几何意义也可以从向量的角度来理解，证明还用到判别式方法……由此可见，柯西不等式尤其是二元柯西不等式是重中之重.正因如此，本专题的教学时应该充分体现螺旋上升的课程设置理念，借助不等式的视角加深对以往所学，知识的理解和认识，注重数学课程的前后呼应和联系整合，加深对数学内容的关系性理解，从而切实提高教学效益.
其次要注意凸现本专题的教学价值.本专题的学习可以部分改善当前理科学生演绎推理能力薄弱局面.在选修4系列的课程设置中，实际被学校选用的专题较少.以江苏高考为例，理科学生只需在选修4-1、选修4-2、选修4-4、选修4-5中选择2种即可.课改反馈表明，目前学生的演绎推理能力有所下降.本专题的开设是针对理科学生的，因此可以利用该专题的教学对学生在演绎证明方面进行一些补偿，尤其是侧重数学证明的观察发现、归纳类比、合情猜想、符号表示、规范表述等方面.
2.注意渗透数学思想方法，充分揭示数学本质
基于上述两套教材的对比分析，我们认为本专题能够充分体现数学的两个侧面——不等量关系的规律发现中蕴含着丰富的直觉归纳，不等式问题的证明求解中充盈着逻辑演绎.仔细研读本专题可以发现，它具有丰富的数学思想方法内涵.因此，在实际教学过程中，应该因势利导，注意渗透.①公理化思想：通过实数大小关系的基本事实和相关关系作为逻辑前提演绎出不等式的基本性质，从而展开专题的一系列内容.②数形结合思想：这一点在两套教材中都有详细体现，不再赘述.③数学建模和模型思想：从小的方面来说，把一些实际问题以数学模型转化为不等式的极值、优化方面问题进行求解就是体现了数学建模和模型思想；从大的方面来说，经典不等式、不等式的知识乃至数学本身都是一种模型.④数学美学思想：这一点常被人们忽略，其实许多常用经典不等式如柯西不等式、平均不等式、排序不等式等不仅富有简洁、优美、对称的特点，而且功能强大，体现了数学的高度抽象和应用广泛的美学思想.⑤函数方程的思想：把函数、方程和不等式的相关知识综合起来，通过函数、方程的观点来处理不等式问题.⑥分类讨论的思想：这一点在绝对值不等式的求解方面尤为突出.⑦渗透不等式的德育价值.不等式中的许多问题具有相当的难度，思维上的挑战很大，对于培养学生坚韧、理性的数学精神和形成批判性的思维习惯不无裨益.