基于Copula-APD-GARCH模型的投资组合有效前沿分析，本文主要内容关键词为：投资组合论文,模型论文,Copula论文,APD论文,GARCH论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
风险投资的关键是在可承受的风险最小条件下，如何将财富投资于不同的资产以获取最高的收益。自从马克维茨于1952年提出均值—方差投资组合理论后，资产组合预期收益和风险定量分析进入一个新时代。不可否认，马克维茨的组合投资理论开创了对金融风险进行定量测度与防范的先河，是后续许多理论研究的基础，但是随着金融理论与实践的不断深化和金融计量建模技术的不断发展，该理论的不足之处也逐渐显现出来，突出表现在两个方面：①将金融资产收益率的方差作为未来投资的风险度量工具；②用多元正态分布函数来描述各金融资产间的相关结构。
由于以上两个方面的不足，目前关于组合投资理论研究主要集中在风险度量工具的选择和金融资产相关结构的建模这两部分。虽然VaR(value at risk)是目前最流行也是最常用的风险测度工具，但由于其不是一致的风险测度，而且不能度量超过VaR值的尾部风险，因此将它作为风险度量工具会低估极端事件发生时所产生的风险[1～4]。鉴于此，用一致性风险测度ES代替均值—方差模型中的方差风险测度，研究均值—ES准则下的金融资产投资组合问题具有重要意义。
关于金融资产相关结构建模问题，目前最常用的方法是利用Copula函数来构造金融资产的联合分布函数。该方法的优势在于可以将联合分布函数分解为描述各个金融资产信息的边缘分布函数与Copula函数两部分，后者将各边缘分布函数与其对应的联合分布函数连接在一起。自EMBRECHTS等[5]将Copula引入金融风险管理领域以来，Copula函数已成为研究金融风险的强有力工具，而且取得了许多有意义的成果：PATTON[6]系统地研究了Copula函数在金融风险分析中的应用；MENDES等[7]详细总结了Copula函数理论近年来的发展及应用，并针对目前的研究现状进行了合理的展望；张尧庭[8]从理论上探讨了Copula在金融领域中应用的可行性；张明恒[9]研究了基于Copula的多资产VaR的计算方法；韦艳华等[10]利用RS-Copula-GARCH模型研究了金融市场非对称尾部相关结构；吴振翔等[11，12]将Copula理论应用到金融资产投资组合的风险分析上，利用二元Archimedean Copula研究了两只外汇投资组合的风险分析，并将t-GARCH模型与多元正态Copula及多元t-Copula相结合研究了多只股票的投资组合问题；应益荣等[13]将极值理论与多元正态Copula及多元t-Copula相结合，研究了资产组合ES风险测度的计算问题；刘志东[14]利用极值理论和多元正态Copula及多元t-Copula，在效用函数框架下，研究了收益率的实际分布和相关性对资产组合选择绩效的影响问题。
以上研究表明，目前关于Copula函数在金融风险分析中的应用，大多集中在两种金融资产间的相关性分析上，对于多个金融资产之间的相关结构分析并不全面。而现实金融市场中的机构投资者和个体投资人，通常选择多个金融资产进行组合投资以降低投资风险，因此如何刻画多个金融资产间的相关结构，对于规避市场风险更具有现实意义。本文将多元Copula引入投资组合风险分析中，用它刻画多个金融资产的相关结构，更能真实地反映金融资产间的相关结构。
鉴于此，本研究在用多元正态Copula和t-Copula函数描述金融资产相关结构的基础上，引入多元Archimedean Copula函数，在均值—ES准则下研究投资组合的有效前沿问题，并对不同相关结构下的均值—ES有效前沿进行了比较。
1 基于均值—ES准则最优投资组合模型的建立
1.1 风险测度ES定义
本研究针对N个金融资产的组合投资问题，假
1.2 均值—ES组合模型
假定无摩擦股票市场上存在N种可供交易的风险资产，所有风险资产的期望收益率与方差各不相等。在马克维茨提出的均值—方差模型的基础上，用ES风险测度替换方差测度，在允许卖空的条件下①，最优资产组合是下列数学规划问题的解[15]：
2 Copula-APD-GARCH模型建立
在联合分布非正态假设下，基于Copula方法构造联合分布函数的第一步是准确描述各资产收益率的边缘分布函数。考虑到金融资产收益率的波动集聚性，本研究采用GARCH模型来描述各金融资产的边缘分布信息。
2.1 APD-GARCH模型
针对波动集聚性，ENGLE[16]首先提出了自回归条件异方差模型，为了更好地捕获条件异方差性，BOLLERSLEV[17]建立了GARCH模型。通常金融资产的收益率序列
（其中，k=1，2，…，N）可用GARCH(1，1)模型描述如下：
当金融资产间的联合分布函数确定以后，即可采用Monte Carlo模拟得到规划问题式(5)的最优投资组合。
3 数值模拟及结果分析
3.1 样本的选取及基本的统计性质
为了分析不同相关结构下的投资组合有效前沿问题，本研究随机抽取了中国股票市场上不同行业的4只股票：华东科技、一汽轿车、沱牌曲酒和双鹤药业作为研究对象（分别用
表示）。将股票价格定义为股票每日的收盘价，价格样本的选取时间为2005年1月1日～2007年12月4日，数据来源为渤海证券行情信息库。金融资产
(k=1，2，3，4)在第t个交易日的收益率定义为
，t=1，2，…，T。为了准确刻画这4只股票的相关性，对于交易日t，当4只股票中有1只没有交易，则把当天所有观测数据删除。经过预处理的观测样本有611个，即T=611。表1给出各股票收益率的描述性统计量。
由表1可知，在样本观察期间内，4只股票的平均收益均为正；除一汽轿车以外，其余股票的收益偏度统计值为负，这意味着收益存在着巨大下跌的可能；峰度统计值表明各股票收益分布具有比正态分布更厚的尾部特征。服从
分布的Jarque-Bera检验统计量远远大于临界值5.8825，拒绝了收益序列服从正态分布的假定；Ljung-Box-Pierce检验临界值为31.4104，由Q(20)和
统计量知，这4只股票均具有条件异方差性；而D-W统计量都接近2，这意味着4只股票的收益率序列的自相关性极弱，因此，其收益率序列的均值方程可以不考虑自回归项。
表1 4只股票收益序列的基本统计性质
3.2 Copula-APD-GARCH模型估计结果
鉴于表1的分析结果，本研究采用式(6)来描述各金融资产收益率序列的分布情况，采用极大似然估计法来估计各股票对应模型的参数，并用Kolmogorov-Smirnov法则（简记K-S法则）检验模型的拟合效果，具体的参数估计值及效果检验值见下页表2。
表2 APD-GARCH(1，1)模型的估计及检验结果
表2的结果显示，4只股票都具有明显的非对称性（β≠0.5）和尖峰厚尾性（λ＜2）。而且K-S法则表明用APD-GARCH(1，1)模型拟合4只股票收益率序列的分布很好。将观测样本(
，t=1，2，…，611)和表2的估计结果代入式(8)，利用式(13)即可得到一组数据(
，t=1，2，…，611)，将所得数据代入给定的各多元Copula函数式(10)～式(12)，利用两阶段法可以估计出各相应的Copula函数的参数，正态Copula函数的相关矩阵
；t-Copula函数的自由度v=7.3582，相关矩阵
；Clayton Copula函数的参数θ=0.8385。其中正态Copula函数和t-Copula函数的相关矩阵见表3。
表3 正态Copula和t-Copula的相关矩阵
3.3 基于Copula函数的投资组合分析
利用正态Copula函数、t-Copula函数和多元Clayton Copula函数模拟随机变量的方法，多次模拟各股票的收益率：
(1)基于正态Copula函数模拟算法
对比表4、表5及表6可知，正态Copula函数与t-Copula函数对应的投资股票主要集中在一汽轿车、沱牌曲酒以及双鹤药业上，而Clayton Copula函数对应的投资股票主要集中在一汽轿车和双鹤药业上。
在不同的相关结构函数下，对于任何给定的期望收益，一汽轿车和双鹤药业所占的投资比重都比较大，其原因是考察期内这两只股票的波动比较平稳。
表4 最优投资组合权重（正态Copula函数）
表5 最优投资组合权重（t-Copula函数）
表6 最优投资组合权重（Clayton Copula函数）
表7（见下页）是均值—ES准则下，置信水平α分别是0.95、0.99时，不同Copula函数下，给定的期望收益及其对应的VaR值；表8（见下页）是均值—ES准则下，置信水平。分别是0.95、0.99时，不同Copula函数下，给定的期望收益及其对应的ES值。对比分析表7和表8的结果可以得出如下结果：
在给定的置信水平和期望收益下，VaR值明显小于ES值，使用VaR进行风险分析，会产生显著低估资产组合风险的现象。
当置信水平α=0.95，给定期望收益属于0.15～0.30时，正态Copula函数描述的相关结构所对应的风险值最大，Clayton Copula函数次之，t-Copula函数对应的风险最小。给定期望收益50.35时，正态Copula函数描述的相关结构所对应的风险值最大，t-Copula函数次之，Clayton Copulag函数对应的风险最小。置信水平α=0.95时，不同相关结构对应的有效前沿见下页图1a。
当置信水平α=0.99，给定期望收益属于0.15～0.25时，正态Copula函数描述的相关结构所对应的风险值最大，Clayton Copula函数次之，t-Copula函数对应的风险最小。给定期望收益≥0.30时，正态Copula函数描述的相关结构所对应的风险值最大，t-Copula函数次之，Clayton Copula函数对应的风险最小。置信水平α=0.99时，不同相关结构对应的有效前沿图见图1b。
表7 不同相关结构函数下给定的期望收益及其对应的VaR值
表8 不同相关结构函数下给定的期望收益及其对应的ES值
对比图1a、图1b可见，当期望收益＞0.15后，正态Copula函数对应的有效前沿与t-Copula函数对应的有效前沿近似平行，这与正态Copula函数与t-Copula函数同属于椭圆形Copula函数，且只能刻画金融资产问的对称相关结构有关。
对于属于Archimedean Copula的Clayton Copula函数而言，由于其生成机理以及刻画资产间的不对称相关结构的能力较强，所以它所对应的有效前沿边界随着期望收益的增加有优于正态Copula函数和t-Copula函数的表现，而且随着置信水平的提高，Clayton Copula函数的表现也越好。
图1 不同相关结构下的有效前沿
4 结语
对于投资组合与风险管理来说，准确描述各金融资产收益序列的边缘分布函数和金融资产间的相关结构非常重要。本研究首先在马克维茨均值—方差模型的基础上，引入一致性风险测度ES，研究均值—ES准则下的投资组合问题。对此，从投资者的角度看，投资风险的原始定义就是“可能的投资损失”，用ES代替方差更有实际意义。其次，破除马克维茨关于收益率呈正态分布的假定，为了准确描述金融资产收益率序列的异方差性及尖峰、厚尾等特性，用APD-GARCH模型刻画各金融资产的收益率序列的边缘分布函数。最后用Copula函数将各边缘分布函数连接起来，构成刻画金融资产间相关结构的联合分布函数，即Copula-APD-CARCH模型。利用该模型，本研究在允许卖空的条件下，研究均值—ES准则下的投资组合问题，并对不同相关结构下的投资组合有效前沿进行了比较。研究结果表明：用正态Copula函数描述金融资产相关结构时，会产生显著高估资产组合风险的现象；在研究投资组合时，高风险厌恶者可以不考虑金融资产间的非对称相关结构，但对于高风险投资者，不仅要考虑金融资产间的非线性、非对称的相关结构，而且要着重考虑金融资产间的非对称下尾相关结构。
注释：
①对于非卖空条件下的均值—ES组合模型，本文的方法仍然适用。
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