学会数学思考，积淀思维经验——从北京市一所中学的调研说起，本文主要内容关键词为：北京市论文,一所论文,思维论文,数学论文,经验论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、问题提出
数学优秀生和普通生究竟有哪些差异？除却家庭背景、教师影响等外界环境因素外，从学生自身来说，有没有核心和关键因素起作用？以北京地区重点中学实验班和普通班的学生为例，理科实验班学生的数学成绩要远远超出普通班.什么原因造成学生成绩上的很大差异？实验班和普通班学生的学习情况究竟有什么不同？
北京市重点中学理科实验班学生相对是数学优秀生了，对于数学优秀生的描述，国内外已有很多研究.数学优秀生是数学学习兴趣浓厚、数学认知成绩好并维持在稳定状态，而且数学学习效率高的学生［1］.那些具有浓厚数学学习兴趣、高效率的数学学习过程、较强的独立思考能力、同时取得较突出数学成绩的学生称为数学高材生（优秀生）［2］.全美数学教师协会（NATM）认为对数学有兴趣，能主动地进行数学学习，且数学学习速度在相对较快水平的学生是数学优秀生.数学优秀生是指那些数学学习进度快、深度掌握数学概念、对所学的数学课程有着浓厚兴趣的学生（Maker，1982）.数学优秀生具有浓厚的数学学习兴趣、数学学习速度快、对所学的数学知识深刻理解、能用独特的方法解决数学问题等（Johnson，2000）.
数学优秀生数学成绩高且稳定，学习兴趣浓厚、反应快、学习主动且效率高等，这些优良表现，往往是其他学生自惭不如之处.有关数学优秀生如何造就，为什么数学优秀生和其他学生有很大差别，已有很多研究.本研究调查了北京市某重点中学一个理科实验班和一个普通班学生的学习情况，希望了解数学优秀生和普通生数学学习上有哪些差异，其中有没有关键性差别，以便更好地促进教师的教学和学生的学习.
二、对北京市一所重点中学的调研
我们对北京市一所重点中学高二年级一个理科实验班和一个普通班进行了调研，考察学生在课前、课上和课后学习习惯、学习方法的不同.调查以问卷形式了解学生对个人学习情况的主观感受，问卷分两部分：一部分是单选题，总共24道测试题.前12道测试题从课前、课上、课后考察学生的自我评价，如“我通常会对第二天要学习的内容进行预习”，学生需要从“非常符合”“比较符合”“不确定”“不太符合”“非常不符合”五个选项中选一个.后12道测试题对课前、课上和课后的具体表现进行考察.另一部分是多选题，考查学生对各学科的认识，如是否喜欢，感觉有压力的学科；家长的知识文化背景以及对学生学习情况的关注程度等了解学生对学科的感受以及家庭背景等.
样本的选取考虑到实验班、普通班个别学生的特殊性，分别去掉两个班级学习成绩特别突出和相对落后的学生.原实验班38名学生，最终选取21人作为研究对象.普通班37名学生，最终选取23人作为研究对象.调查问卷是在统一的规定时间内有记名填写，两个班的有效问卷67份，有效率约为89.3%.根据调查数据有以下主要结果：
（1）两班能课前预习的人数少，预习中作记录的普通班人数要多.
从数据看，两个班能课前预习的人数都很少.预习时能标出重点并记录问题的，实验班只有5人而普通班是8人，预习时只阅读不记录的人数实验班要多.
（2）两班学生在认真听课、课堂参与方面没有太大差别，实验班学生更倾向于倾听后发言.
实验班有17人，普通班有18人认为自己在课堂上总是很认真听课.听课中遇到不明白问题，两班学生更倾向于问同学以获得解决；而普通班有13.04%学生会举手问老师，实验班人数为0.普通班学生更乐于小组或班级讨论，在讨论中更乐于发言.课堂上老师提问时，实验班有76.19%的学生会倾听其他同学想法后再决定要不要回答，普通班是39.13%.
（3）普通班有更多学生在课堂上要记全老师讲课内容.
尽可能记全内容的学生，普通班要多于实验班.只记老师强调要记的内容的学生，实验班多于普通班.
（4）实验班学生对错题进行积累的人数要少.在课后复习、及时改错方面两班差别不大，在及时完成作业方面，普通班略好于实验班，实验班学生对错题分析只想明白原因而不记录的人数多，在错题旁边写清思路要点的学生多，但对错题积累整理的学生少.
此外，调查发现，实验班学生的父母期望值要高，学生感受到的数学学科压力要大.
三、从调查结果说起——学会思考、积淀思维经验
以上只反映了某校高二年级一个理科实验班和一个普通班学生在学习习惯方面的自我评价，我们既不能以点概面，也不能由此推彼.两个班学生在学习习惯方面总体差别不大，但为什么数学学习成绩会有很大差异？就学生自身而言，有没有核心因素导致差异的出现？
1.学会思考是数学学习的关键
取样学校普通班学生在预习、课堂讨论、课堂活动的参与等方面有优于实验班学生的地方，如预习中能标注重点，课堂积极回答问题的人数比实验班多，但这不表示普通班学生课堂中思维的参与度要高于实验班.从调查数据也反映出，实验班学生遇到问题时，自己努力想明白的人数要多，老师提问后不急于回答而是先倾听其他同学发言的人数也多.在课后改错方面，实验班学生不建立错题集的人数尽管要少，但更多学生愿意在错题旁边写出思路要点、想清楚错误原因.从班级任课教师处也了解到，实验班尽管有学生不做课前预习，甚至不做笔记，但课堂听课效率高，愿意动脑，爱思考，善琢磨.
因此，在数学学习中，让学生愿意思考、会思考，思维真正参与其中是关键.数学课程改革强调通过学生的动手操作、实践探究，通过观察、试验、猜想、验证、修正、再验证、得出结论、结论的推广和应用等，最终让学生在积极的思维参与中领悟数学的本质和核心，这种思维积极参与的数学活动利于达到对数学知识的深刻理解和融会贯通.数学学习中善于问为什么、善于寻根究底、善于浮想联翩和联系推广，是思维真正参与到数学学习活动的重要方面.数学学习中要注意学习方法、养成良好的学习习惯，如课前预习时应该怎样去做，课堂上应该怎样听讲、课后的复习和作业应该怎么处理等等，但这里可能有最为重要的、贯彻各环节的核心因素——学会思考，数学学习中学生要学会思考，养成会思考的习惯.
2.学会思考、积淀思维经验是数学学习的根本
数学学习中怎样才是会思考呢？先从我们教学中存在的一些问题说起.首先，我们的教学往往不是从最简单问题入手，不善于教给学生从头到尾、循序渐进想问题.有些老师会教给学生很多题目，但题目一般是中途给出的，条件和结论都是事先预设好了、人为规定好了的；其次，不善于教学生猜想.数学中既要教猜想也要教证明，但现实教学中有些老师可能不会给学生猜想的机会，即使教了猜想，也只是顺带而过，很快进入到结论，学生只是记住结论；另外，孤立的教数学，既不考虑数学与外部的联系，也不考虑数学内部的联系.一个数学概念或定理、公式，它的特殊情况、一般情况、推广和联系都有哪些等等，有些老师在教学中也较少涉及.
以上教学现象的出现，是因为有些教师认为教学中不需要教过程，关键是学生会做题，通过大量的题目训练，学生自然会理解，数学成绩也会很好.这种现象，我们只能说是暂时的，交给学生金子不如教给学生点石成金的办法，数学优秀生往往是会进行思考的学生.教学中如何使学生学会数学思考呢？
第一，从观察入手，善于发现问题
循序渐进想问题，要从观察简单情况入手.关于人的认识的发展过程，列宁曾作过这样的概括：“从生动的直观到抽象的思维，并从抽象的思维到实践，这就是认识真理、认识客观实在的辩证的途径.”［3］毛泽东也指出：“一切比较完全的知识都是由两个阶段构成的，第一阶段是感性知识，第二阶段是理性知识，理性知识是感性知识的高级发展阶段.”［4］一般的科学方法中，观察和实验是人们获取感性经验，进而认识事物的基础，数学学习中同样需要观察和实验.爱因斯坦说过，“提出一个问题往往比解决一个问题更重要”，具有敏锐的观察力，才能发现问题.瑞士多产数学家欧拉在强调数学研究观察的重要性时指出：“今天人们所知道的数的性质，几乎都是由观察所发现的……只有观察才使我们知道这些性质.因此我们认识到，在仍然是很不完善的数论中，还得把最大的希望寄托于观察之中；这些观察将导致我们继续获得以后尽力予以证明的新的性质.”［5］波利亚在《数学与猜想》一书中提到，科学家经常借助归纳法处理问题，“归纳法常常从观察开始.一个生物学家会观察鸟类的生活，一个晶体学家会观察晶体的形状，一个对数论感兴趣的数学家会观察整数1，2，3，4，5，…的性质.”［6］数学中的实践和观察是数学家寻找真理和发现真理的手段之一，而且是重要的起始阶段.中小学生数学学习中的观察，包括观察数量及数量间的关系，图形及图形间的关系，以及数量和图形之间的关系.
观察是数学中的第一步抽象.教学要注意让学生经历观察基础上抽象出研究问题的对象以及对象之间的关系的过程，要让学生在观察基础上发现可能的规律和性质，在观察基础上发现研究对象的共性和特性，得到有关问题本质特征或核心的假设，这是在观察基础上发现问题，提出猜想.
第二，学会运用归纳和类比进行猜想，积淀思维经验
让学生学会猜想，实际是让学生学会发现问题和提出问题，这是学生一生发展的基础，是未来创新的基础，也是一种非常重要的思维习惯.
猜想有肤浅的猜，也有深思熟虑的猜.有人可能只会对着问题“坐在那儿，搔着头，咬着笔，干等着一个巧妙的想法出现，而并没有为这个想法的到来做点什么或做得很少”［7］，这往往是数学学习困难学生的做法.有人则会用“试算与改进误差”或逐步逼近的方法猜测结果，或者在不能顺利猜出整个问题答案时，会尝试猜测答案的某些部分，或问题解的某些特征，或求解的可能的途径等，并试图检验猜测和修正猜测.波利亚很风趣的指出，人们也许不会惊讶于一个博物学家是按照这样一个方式工作的：从某个猜想开始，猜想—检验猜想—修正猜想，直至得到一个更为满意的猜想，期间借助观察的推动和类比的引导，围绕目标进行不断修正.但对于数学家也在猜想，很多外行人会觉得惊讶.实际上，数学家的创造性工作的结果是论证推理，是一个证明，但证明是由合情推理，是由猜想来发现的.数学教学中必须有猜想的地位.
如何让学生学会猜想，归纳和类比是经常用到的方法.欧拉多面体公式是我们熟悉的，如何在具体计算基础上，通过观察，借助归纳和类比猜想规律，并展开进一步联想呢？下面波利亚对欧拉多面体公式的探讨可以帮助我们理解这个思考过程.
“一个结构复杂的多面体有许多面、角和棱.”波利亚从这句话开始了欧拉多面体公式的探讨.假定多面体的面数、顶点数、棱数分别记为F，V，E，首先提出的问题是：面的数目是否随顶点数目的增大而增大？考察一些图形的顶点数、面数和棱数，得到下表：
这个表格，波利亚称为“与物理学家列入笔记本的实验数据有点相似”［6］，根据这样一些数据，我们可以做哪些假设，进而得出什么结论呢？
顶点数V是否随面数的增大而增大呢？显然对于Ⅱ、Ⅶ的立方体和八面体，面数增大，顶点数反而减小.棱数E是否随面数F或顶点数V的增大而增大呢？为方便比较，我们按照棱数E由小到大的顺序重新排列上表：
很显然，棱数E既不随F，也不随V的增大而增大，也即F和V都不是一致的随E的增大而增大.似乎没有什么规律可循了？再观察，尽管F和V的增长与E的增长不一致，但F小时，相应的V似乎就稍大些（如五棱柱，截角立方体和八面体相比）；V小时，相应的F就大些（如八面体和立方体相比）.是否F、V之和随E的增大而增大呢？也即否F、V是“联合”随E的增大而增大呢？验证上表，发现确实是这样的.进一步我们发现：F与V的和都比E多2，即F+V=E+2.
波利亚类比多边形顶点数和棱数的关系，进一步确认了猜想：一个多边形的顶点数V和棱数E满足关系式：V=E，这与我们猜想得到的凸多面体公式：F+V=E+2，有什么关系吗？多边形是二维，多边形的棱是一维、顶点是零维，按照维数增大的顺序排列关系式，有V-E=0.多面体是三维，多面体的面是二维、棱是一维、顶点是零维，同样按照维数增大顺序排列关系式，有：V-E+F=2.进一步变形得到两个公式：
V-E-1=1.
①
V-E+F-1=1.
②
①式左边的1表示二维多边形的内部，②式左边的1表示三维多面体的内部.对①，左边各项维数分别是0，1，2；对②，左边各项维数分别是0，1，2，3，两个公式等号的右边都为1.①式成立，无疑增强了我们对②式成立的信心.
以上是平面与空间的类比，由此波利亚类比研究了点分直线、直线分平面、平面分空间的问题，列表如下：
上面的表格，如同“一个博物学家看他收集的标本一样.这个表对于我们创造发明的才智，对于我们观察的能力，是一个挑战.”［6］从表格中的第二列，平面分空间的数据看出，1，2，4，8都是2的幂的形式，下一个数字如果是16，也可以表示成2的幂的形式，不幸的是这个数字是15.有没有其他规律？我们只从第二列数看不出什么规律，再看相邻两列的数之间有没有规律？就第二列和第三列，前三个数字都相同，从第四个数开始不同，似乎第二列的数是第二列上一行的数加上同一行中第三列的数，如：8+7=15.这个规律如果成立，我们就可以算出第2列相应的数字，如5个平面最多可分空间为15+11=26部分.再看第三列和第四列，同样，第三列的数等于第三列上一行的数加上同一行中第四列的数.如11=7+4，16=11+5，这个猜想是容易推导验证的，这无疑增强了我们对第二列猜想成立的信心.
波利亚指出，这种“分析问题从特例开始的做法和自然科学家从观察到的困惑不解的现象开始是一样的.”［6］通过试探性地处理较容易解决的特例入手，进行观察、类比，试图探求出某种规律，失败了，就重新再来，直至得出的猜想能被更进一步的验证，这也是自然科学家经历的研究过程.波利亚同时还指出，“对于具有严格素养的一个数学家数字26仅仅是巧妙的猜想，不论多少试验性的检验都不足以证明所猜想的一般性规律.归纳法只能说明所得的结果可能可靠，但决没有证明它一定可靠.”［6］这也是自然科学家和数学家在研究上的差异.
第三，在猜想基础上学会演绎证明，积淀思维经验
恩格斯曾经说过，“归纳和演绎，正如分析和综合一样，是必然联系着的.不应当牺牲一个而把另一个捧到天上，应当把每一个都用到该用的地方而要做到这一点，就只有注意它们的相互联系、相互补充.”在观察和实验基础上，通常是综合运用类比、归纳和演绎这三种方法来推动科学的发展.但就思维过程讲，“任何数学问题的解决都不是单一方法可以奏效的，常常是类比、归纳、演绎与直觉一起起作用，它们之间的关系是‘剪不断，理还乱’.”［8］数学教学要教给学生猜想，也要教给学生演绎证明.
总之，一项调研结果引发了我们对数学学习中关键问题的探讨，这就是要使学生学会思考.帮助和引导学生学会思考，不仅针对某个具体数学题目的求解，也包括贯彻整个学习过程的观察、归纳和类比，获得猜想、验证、纠错、再验证等的过程.在观察中发现共性和特性，猜想规律，在归纳和类比中展开联想，思维积极参与到数学学习活动中，这种数学思考习惯的养成，对于学生一生的发展都是重要的.帮助和引导学生学会数学思考、积淀思维经验，不仅是为了培养当前数学优秀生，更是培养创新型人才的需要.