数学分层教学及研究性学习的探索实践与思考，本文主要内容关键词为：研究性学习论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
传统的课堂教学常常不顾学生的水平和认知能力的个性差异，强调统一教学计划，达到统一教学要求，导致两极分化，差生“晕车”，优生“陪读”等不良后果。为贯彻素质教育面向全体学生，力求使各层次的学生都学有所得，互相促进，共同发展，我校对2002 届七个班近350名同学，进行了高一、高二两年来的数学、外语分层教学实验，积累了不少经验，也达到了差生不差，优生更优的满意效果。
1 本实验课题的基本内涵
素质教育应该是使学生积极主动地获得心智发展的全面发展教育，课堂教学应该让不同基础的同学都学有兴趣，学有所获。为此本实验的课堂教学，以实行走班制，分渠道，分开实施，切实贯彻在数学教学中既教猜想又教证明，实现课堂的教学、学习、发现同步协调进行为宗旨，力求使各层次学生都能在适度紧张愉快的气氛中不断增进知识素养，发展数学思维品质，并形成科学态度和开拓创新精神。
分层教学的课堂设计，完全根据学生实际，教材和大纲要求实际，将教学设计成不同层次的问题情景，由浅入深，分层递进，促使学生主动探索，积极思考，大胆猜想，凝炼规律。使差生由“维持性学习”走向“自主创造性学习”，使优生能结合研究型、拓展型课题的探究或第二课堂的选修，不断拓展其创新思维空间。
2 实验的理论依据
（1）“主动学习”原则：美国著名数学教育家G·波利亚明确指出：“学习任何东西，最好的途径是自己去发现”，为了有效地学习，学生应当在教师所创设的问题情景下，尽量多地自己去发现学习的知识、方法及学科思想等具体内容。
（2）“最近发展区”理论：前苏联教育专家赞科夫提出， 教学要利用学生已有发展水平与教学要求之间的矛盾来促进学生的发展，并据此确定知识的广度、深度和教学的进度，以促进每个学生得到积极主动的发展。
（3）“展现思维中介”原理：辩证法指出思维的完整过程包括思维的起点、中介和终点三个环节，所谓中介就是思维的起点向终点过渡中的联系和中间环节，过程教学的核心是“展现思维的中介”，即不仅重视思维的起点和终点，对中介更要进行必要且足够的展现。
（4）“问题解决”理论：“问题是教学的心脏”， “问题解决”的教学已经成为数学教学的一种主要模式，通过“问题解决”教学，提高学生“提出问题”、“分析问题”和“解决问题”的能力，激发其求知欲与学习兴趣。
（5）“再创造学习”理论：荷兰数学家弗莱登塔尔的研究表明：数学教育应是一个活动过程，在整个活动中，学生应处于一种积极创造状态。教师的任务就是为学生的发展、创造提供自由广阔的天地，在于引导学生探索获得知识、技能的途径和方法，培养学生的创造力。
（6）“教育情感发展”机制论：教师是导演，学生是演员。 教师要多运用“微笑、激励、共鸣”的教育情感发展机制，通过课堂信息交换形式的多样化，机智应变，及师生角色互换等手法，来使课堂上出现轻松而又富于创造的学习氛围，提高课堂教学效益。
3 实施程序细则
分层教学就是在学生分层的基础上，教师有针对性的分层备课，分层授课，分类指导，使学生进行分层练习，互相交流，共同发展，而使之达到不同层次的教学目标。学生的成绩考核，个别试题也可分层处理，体现分层要求与激励作用。
我校针对学生知识、能力、兴趣等素质的差异，在充分掌握学生实际的基础上，进行了流动式异班同层次的交叉教学，即分层教学时，数学一到四班与对应的数学五到八班课表时间交错，并与相应的外语分层班时间互补，上数学、外语课时，两科程度好与差的学生分班上课。这就要求教师，首先得在上课前充分掌握学情，其次备课中应有意识地认真做好分层教学的宏观、微观和情景这三方面的设计。
3.1 宏观设计
即对一节课的总体考虑与安排，第一，要弄清该课的地位、作用、类型，及所承担的素质教育具体目标，从A班（成绩优异， 思维敏捷活跃）、B班（成绩优良，习惯良好）、C班（成绩不理想、学习欠主动性）的学生实际出发，结合布鲁姆的“了解、理解、掌握、应用、创新”的不同层次要求，确定每节课的具体教学目标；第二，在分析教学内容的性质与特点的基础上，确定该课的概念、命题、解题上的时间比例及相应三者质量要求上的不同侧重点；第三，在前面工作的基础上，细化到如何导入新课，并明确教学中几个要点、环节的具体内容，及如何突出这些内容的教法，通过宏观设计，把解题置于一般数学思想方法的背景之下，把数学内容融于再创造的过程之中，以较好地达到学生素质的提高。
3.2 微观设计
即对一个数学教学对象（概念、命题、公式、法则、例题等）的具体处理建议和教学过程的设计，要体现过程教学精神，让学生在积极参与知识的发现与构造过程中，解答好学生认知中的“是什么，为什么，怎么样，还有什么……”等系列探索性问题。让学生知其然并知其所以然，领会其中的数学思想方法的精髓，提高其思维品质。
3.3 情景设计
“问题是数学的心脏，也是数学的魅力所在”，应尽量多地采用生活中的问题原型，加以改造与发挥，使学生感到问题的真切自然，由此唤起学生的强烈的学习兴趣。进一步设问质疑，呼唤认知上的矛盾冲突，激励求知欲，最终让学生通过问题解决，体会到“数学就是生活”，并让学生感受到“好的猜想（好的问题），直接推动了数学发展的历程”这一重要的观念，使教学迈进“愉快教育”的佳境。
3.4 课堂问题层次流程
分层导学及研究性学习的课堂流程结构图与教学内容展开过程，实际上即为问题的不断提出和解决的过程。课堂内容展开流程，可作如下分类：第一层次问题：引导学生发现并自己推证基础知识内容→第二层次问题：引导学生探索和掌握基本技能与方法→第三层次问题：引导学生不断对命题进行变换与拓展，培养创新思维。
对上述三层次问题的具体涵义与剖析，现结合部分课例，详作说明如下：
（1 ）第一层次问题的教学：由于基础知识中包含较多的概念内容，教师可通过典型事例及自学导读题，先展示一层问题，让学生边看例子边思考，结合要点分析，在不断的判断探索中，获得相应的基础知识。也可设计成“猜想、探索题”的形式，通过学生的发现、归纳、思索等探求的活动，发展学生的能力。
例如在教“反函数的图象”这节课时，一层问题可设计为：①求某些具体函数的反函数；如
②作出原函数和对应反函数的图象；③观察并发现图象间的关系；④一般化，猜测y＝f（x）与y＝f[－1]（x）图象间的关系；⑤能否类同于实例中的方法，证明互为反函数的图象间的对称性。
教学实施过程中：A班的教法是：①～⑤全部由学生独立探索后， 再整理出证明，教师则帮助指点方法上的要点，并推广之（如逆、否命题的正确性）；B班教法是：①～④同于A班，⑤由学生探索，教师讲解，给出证明；对于C班，①中的分段函数可省略， ⑤的处理可课前预习，再听讲解，最后让学生重新整理证明。
（2）第二层次问题的教学：对于基础知识应用的基本类型， 包括一些常见的题型与解题的通法与技巧，可归并为二层问题之中。也是先展示二层问题，通过学生分组独立解决各自的问题（或例题）与相互交流，通过黑板板演或用投影仪等教辅仪器展示学生的优秀解法，再经过同学的对照、反思后，引导学生领悟、吸收、归纳这些解法的规律，从“是什么？怎么做？”到“为什么？还可以怎样做？”以提高思维的深刻性，灵活性。
例如在探讨“点P（a，b），即在y＝f（x），又在y＝f[－1]（x）的图象上，求f（x）系数特征”这类问题时，可设计问题如下：①点（2，1）既在
教学实施过程中：A班的教法是：①～⑥全部由学生独立探索， 再相互讨论，教师点拨，⑥则希望给出新的例证；B 班的教法是：①～④由学生独立完成，⑤师生共同探索，得出结论，⑥则由教师启发学生，给出例子：C班的教法是，①～④为教学重点内容，可边分析边整理，⑤可省略，作课后思考题，⑥则同样由教师启发推出例子。
（3）第三层次问题的教学：首先，精心编制1～2 道难度适中的典型问题，启发学生思考探索，领悟基础知识、基本方法并归纳出一般的规律与结论，接着重点进入第三层问题的探索，即通过引导学生变更问题，帮助学生进行变式探求，如：逆向思维探求其逆命题，通过设常量为变量拓展问题，通过引入参量推广问题，通过强化或弱化条件与结论，揭示出它与某类问题的联系与区别，并变更出新的命题。这样一题多解，一题多变，不仅扩大了学生的视野，也提高了学生数学思维的品质，使学生获益匪浅。
例如在“直线与抛物线的位置关系”这节课中，可调动学生参与变换问题如下：
题 过抛物线y[2]＝2px 的焦点的一条直线与该抛物线的两交点纵坐标分别为y[,1]、y[,2]，求证：
y[,1]y[,2]＝－p[2]。（《平面解析几何》（人教版）第99页）
变题1 抛物线y[2]＝2px上两动点A、B的纵坐标分别是y[,1]、y[,2]，满足y[,1]y[,2]＝－p[2]，试问直线AB是否过焦点F？（过F）
变题2 设M（a，0）是抛物线y[2]＝2px对称轴上任一定点，过M的直线交抛物线于点A、B，其纵坐标为y[,1]、y[,2]，问y[,1]y[,2]是否为定值？若是求出定值。
变题3 设抛物线y[2]＝2px上两动点A（x[,1]，y[,1]）、B（x[,2]，y[,2]），满足y[,1]y[,2]＝k（k≠0），问抛物线对称轴上是否存在一定点M，使得直线AB恒过M点？
变题4 设抛物线y[2]＝2px上两动点A（x[,1]，y[,1]）、B（x[,2]，y[,2]），满足y[,1]y[,2]＝k（k≠0），问：弦长│AB│是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，说明理由。（答仅当k＜0时，存在最小值
.)
探索此类问题重在激发兴趣，强化知识的灵活、综合运用，并培养创造性学习能力。
教学实施过程中：A班的教法是：例题、变题1、2 由三位学生板演，分别给出解答，变题3、4由师生共同讨论，讲清思路，再让学生课后整理出详解；B班的教法是：例题、变题1、2的处理同于A班，变题3、4由老师讲解，学生课后整理，写上作业本；C班的教法是：重点讲解例题及变题1、2，变题3可由老师讲解后，学生整理，写上笔记本，变题4则暂不要求学生掌握。
4 实验的明显效果
经过师生艰辛努力，不断探索，分层教学前期、中期实验已经完成，现阶段仍将不断总结经验，巩固成果，以进一步提高A、B、C 班的教学效益。实验以来，教学考查与学生问卷调查统计数据表明：
对分层教学的满意程度，A、B、C三班均达95％以上； 基础知识掌握情况，分层前后，例如C班已由60％提高到88％以上； 自评能力提高程度，分层前后如B班则由70％提高到90％以上； 作业减负与课外阅读满意度，分层前后A班由70％提高到90％以上。另外， 高一年级分层班已有6人考入美国、日本著名大学预科，有4人在杂志上发表了数学论文；高二年级分层班已有8人考入剑桥及澳洲著名大学预科， 多人在杂志上发表了数学论文。
上述数据，充分说明分层教学有利于大面积提高教学质量和培养尖子人才，是一种行之有效、乐于为师生所接受的好教学方法。
5 实践中的思索
分层教学的实践，使我们增强了信念，提高了认识，并形成了以下共识：
（1 ）分层教学的目的在于促进学生的协调发展：分层并非是让所有的学生经过二年来的分层教学达到同一水平，而是让所有的学生在原有的基础上尽可能地得到较大的发展。学生的差异是客观存在的，分层教学旨在让每个学生的个性和潜能得到充分发挥。
（2）分层教学要抓好两头、带动中间、共同进步。 首先要谨慎稳妥地划分学生的层次，我们采取以入学成绩及三次正式考试的平均值，作为划分的依据，分层前事先告之学生本人，并征得其意见与支持。其次，教学过程要体现抓两头，带中间的总体策略，对C班学生， 更要关心和爱护，使他们成为分层教学的最大得益者。对A 班除较高效地完成课本内容的教学外，更多的应是分类指导，可开展编题改题，妙题巧解、难题征解，数学竞赛，编写小论文等活动，不断拓展其思维空间，发展他们的个性特长。
（3）分层教学中要鼓励成功，容忍失败， 并帮助困难学生：分层不是目的，而是为了更有利于因材施教，以达到最佳教学效果。随着时间的推移，学生学习与身心的变化，教师应及时调整学生层次，让所有同学时时都处于最佳学习状态之中，要鼓励同一层次学生相互竞争，不断从低层次进入高层次。
（4）实施“奖励分＋评语”的弹性评价机制， 在标准分基础上补充“奖励分＋评语”的弹性评价以更好实现对学生认知上的激励。
（5）优化例题、作业题的设计， 加强对解题方法论的掌握：例题习题要精（典型）、活（可拓展）且深（有思想内涵），“不搞题海，而水平超出题海”。要结合纠错训练与作业订正，切实抓好解题中“审、思、解、查”四环节的教学，要引导学生总结解一类问题的通法和常用技巧。
（6）重视拓展性、研究性课程的开设，开拓学生思维空间。在分层教学中，我们不仅重视把尝试还给同学，把编、变题的方法教给学生，还通过诸如“数学方法论选讲”，“创造性思维方法选讲”等研究性课程的开设，通过组织学生阅读报告会及专题写作交流会等活动，开阔学生视野，培养学生阅读、收集、检索和使用数学资料的能力。
二年来，数学分层教学及研究性学习的实践与探索，充分证明，它突破了传统教学的某些僵化模式，汲取了国外小班分层授课的优点与成功经验，实现了面向全体学生和减轻同学过重课业负担的目标，体现了“以人为本，主动发展”的教学理念，是一种值得实践探究，并受到师生欢迎的成功教学法。