例谈代数问题中的几何解法，本文主要内容关键词为：解法论文,代数论文,几何论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
近期笔者在全区开设了一节示范课，旨在研究代数问题中的几何解法，略有收获，现将成果与同行分享. 本节课是一节初三复习课，授课班级为学校“分层教学”中的A层次班级，其学生数学基础较好，应用能力较高.课堂上笔者通过一系列的探索，让学生发现了许多代数问题的几何解法，更将学生的思维从初中书本中的平面图形升华到空间图形，所涉及内容包括数、恒等式、方程、不等式，不仅丰富了课堂的内容结构，也让学生体会到了几何解法在代数问题中的众多体现. 一、原题呈现 1.速算与图形 苏科版教材七年级上册第二章所介绍的内容为有理数，书本上在有理数的运算中明确提出了简便运算.可见速算是学生必须掌握的知识之一，其不仅可以帮助学生节省所需的时间，也可以让学生发现数学的魅力，使学生对数学充满兴趣，事实上，图形在速算中也有它重要的作用. 问题1：37×33，46×44，79×71……是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，它可以找到一种速算的方法，你能用图形加以解决吗？ 几何建模：用矩形的面积表示两个正数的乘积，以37×33为例，画长为37，宽为33的矩形，如图1，将这个37×33的矩形从右边切下长30，宽3的一条，拼接到原矩形的上面.则原矩形面积可以有2种不同的表达方式，37×33的矩形面积为（30+7+3）×30的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即37×33=（30+10）×30+3×7=1221.
分析：此题以小学和七年级的速算入手，通过对问题的研究、推广，得到一系列结论，从而得到一类速算问题的解法.图形的构建对于学生有一定的难度.教师在教学时如给出上述的构图方案，学生便可以模仿得到更多的构图方案.学生通过构图能发现，速算中的两个数有一定的要求，必须十位数字相同，且个位数字相加为10.于是，两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果. 教师在教学时，还可创设问题.例如，用构图的方法来说明77×71不能运用上述速算方法进行计算.这样可以让学生更加深刻地认识这类题的速算要求. 2.恒等式与图形 苏科版教材七年级下册第九章的内容为乘法运算，其中的平方差公式、完全平方公式更是初中数与代数中较为重要的一部分内容，是很多运算的基础.苏科版教材八年级上册第二章的内容为勾股定理，它是数学的重要定理之一.在学习这些内容时，学生利用从整体和部分看面积不变的原则，证明了上述恒等式，使抽象的数量关系因几何直观而形象化. 问题2：试画出一个几何图形，使它的面积能表示
此题以常见公式为载体，通过画图来表示恒等式（如图2），难度适中，且能让学生清晰地感受到代数问题直观化.
3.一元二次方程与图形 苏科版教材九年级上册第四章的内容为一元二次方程，一元二次方程同样是初中数与代数中较为重要的一部分内容，书本上在解方程的时候介绍了4种常用方法，即直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.事实上，花拉子米、赵爽等数学家曾经用图求解过一元二次方程，很多题目就以作图法为载体进行了考查，题目如下. 问题3：怎么用图解一元二次方程
+2x-35=0（x＞0）？ 几何建模： （1）将原式变形，得x（x+2）=35； （2）画4个长为x+2，宽为x的矩形，构造图3所示图形； （3）分析：图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式，
，或4个长为x+2，宽为x的矩形之和，加上中间边长为2的小正方形的面积.
分析：此题以书本一元二次方程的拼图法入手，源于教材又高于教材，以特殊的一元二次方程为背景，拓展为一类一元二次方程的求法，对于学生有一定的难度，故题目铺设了台阶，先让学生了解解决问题的方法，再让学生探讨.事实上，此题用因式分解法解决更为简单，但拼图更加形象直观. 解析：画4个长为x+b，宽为x的矩形，构造图4，则图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式，
，或4个长为x+b，宽为x的矩形面积之和，加上中间边长为b的小正方形面积. 即
=4x（x+b）+
.
在学习方程的过程中，学生经历了从一元一次方程到分式方程、二元一次方程组、一元二次方程的过渡.以后学生还会学到更多种类的方程，如一元三次方程等.于是课堂上笔者让学生说说通过对这道题的解答有什么感想，有位同学站起来说了这样一个假设，通过对同一个图形面积整体和部分的不同表达，探索出一元二次方程的正数解，那么理论上完全有可能解决求一元三次方程的正数解的情况，平面上一个矩形的长、宽可以看做是两个关于x的代数式，从而构建成一元二次方程，空间图形中长方体的体积等于长、宽、高的积，由此便可以构建一元三次方程. 该生的假设刚说完，便让笔者及其余听课师生感到惊讶，这样的思维创新是有价值的，由于笔者未预设过这个问题，故不敢确定他的对与错，但是想想看，这种大胆的假设在理论上完全可行，在场的教师对此处的亮点一致赞赏，也认为这样的创新说不定能探索出很多前人未曾研究过的结论. 4.不等式与图形 苏科版教材九年级上册第三章的内容为二次根式，书本上本章的考查题目难度不大，其在中考中也属于简单题范畴，主要以计算为主，但是二次根式的探索规律、数形结合，与不等式结合的题目却有着一定的价值.课堂上，笔者给出了一道以二次根式的计算为载体，利用图形的构建解释了学生一直存在的误区的题目.
解法1：如图6，先构造一个直角三角形， 在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=a，AC=b， 再以CB为直角边构造另一个直角三角形， 在Rt△CBD中， ∠CBD=90°，BD=c， 因为△ABC为直角三角形， 且∠A=90°，
又因为△CBD为直角三角形， 且∠CBD=90°，
因为三角形两边之和大于第三边， 所以CB+BD＞CD，
解法2：如图7，在长方体ABCD-A′B′C'D′中，AB=a，AA′=b，A′D′=c，
分析：解法1是常规方法，是一种模仿，而解法2的做法不仅让学生眼前一亮，更让所有听课教师感到惊喜，能从平面图形拓展到空间图形，是能力的一大飞跃，更是对知识日积月累的结果. 二、教学启示 心理学研究表明，初中生的思维发展正处于一个由具体到抽象、由低级到高级的过程.学生思维中的形象或表象，通过积累将逐步让位于概念，并由经验型的抽象逻辑思维逐步向理论型的抽象思维发展转化.这一发展转化过程离不开具体的形象，故笔者认为在教学中，要重视“数”或“式”的几何解释，重视“形”的代数表示，这样会有利于学生更形象、直观地理解代数问题，从而加以运用. 荷兰数学家弗赖登塔尔提出，学习数学唯一正确的方法是实行“再创造”.也就是由学生本人把要学的东西自己发现或创造出来.故在数学解题教学中，教师要培养学生有意识地将“形”的问题转化为代数问题来处理，以“数”论“形”；要将“数”的问题用“形”来直观描述，以“形”究“数”，真正达到数由形定，形定而数性不变.这样学生就能实现代数、几何知识之间的转化，获得更多的收获，进而推动数学能力的发展和数学思维的进步.
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