初中数学“问题提出”教学的完善——来自课堂案例的启示，本文主要内容关键词为：启示论文,初中数学论文,课堂论文,案例论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
近年来，“问题提出”（problem posing）教学已经逐渐成为和“问题解决”教学并列的概念.在数学教育的发展中，更多的研究人员开始意识到“问题提出”是数学问题解决中一个不可或缺的基本手段，也是一种相对独立的思维活动.在此活动中，“问题提出”已成为观察、分析具体情境中的数学信息，进而发现和产生数学问题和任务的相对独立的活动.数学发展史上的一些重大突破正是基于对已有知识体系不断提出问题，在问题解决中实现的.
二、提出完善初中数学“问题提出”教学的缘起
舍费尔德（Schoenfled）在反思美国数学课堂“问题解决”教学的经验和实践时指出：“我所考虑的是，单纯的问题解决的思想过于狭窄.我所希望的并非仅仅是教会我的学生解决问题——特别是由别人提出的问题，而是帮助他们学会数学地思维.”[1]正是有着对“问题解决”教学的深刻反思，NCTM（全美数学教师联合会）在随后的一系列相关文件中对教师明确提出了“问题提出”活动的教学要求，要求教师重视学生提出数学问题的活动.在这一指导思想的激励和要求下，“问题提出”开始走进美国的中小学数学课堂.
从20世纪90年代末开始，随着我国对国外关于“问题提出”研究的不断关注和对“问题解决”的不断反思，“问题提出”教学在我国中小学数学课堂中的一系列话题成为我国的数学教育研究者和数学教师共同关注的对象.
然而，相当多的国内数学教育研究者在对中小学数学“问题解决”的教学实践进行研究时发现，虽然中小学数学任课教师花费大量精力专注于“问题解决”的教学，但是一个不容忽视的事实是他们往往“所关注的是解决一个给出的问题”，却“很少对有关数学问题的产生、表达和提出的知识获取过程给予直接的关注”[2].有鉴于此，近几年来，我国中小学数学教育研究者和相当部分的一线教师逐渐关注学生的“问题意识”，挖掘和培养学生的“问题提出”能力，并在“问题提出”教学的理论建构和实验研究方面取得了较丰富的成果.理论建构方面，由吕传汉和汪秉彝提出的“数学情境与提出问题”教学模式[3]在国内数学教育界有较大的影响力；实验研究方面，由吕传汉和汪秉彝主持的“数学情境与提出问题”教学实验研究[4]标志着国内“问题提出”教学进入了实证研究阶段.
但是，笔者在两次观摩课中发现“问题提出”教学有一些亟待关注和完善的地方.我们较为关注的是学生“问题提出”能力的培养，担心学生无法独立提出具有“独创性”和“有意义”的数学问题.但就笔者所观摩的两次课堂教学，学生在表现“问题提出”能力的三个方面：（1）问题的数量——思维的流畅性；（2）问题的种类——思维的灵活性；（3）问题的新颖性——思维的独创性[4]上有所突破.与之相比，教师对“问题提出”教学的把握和准备稍显不足，影响教学的进一步深入.
1.课堂案例1
案例1来自笔者观摩的一节九年级新授课，观摩班级是笔者所任教学校的一个实验班.该班学生成绩较好.本节课讲授“解直角三角形”，其中教师设计的一道课堂练习题是利用“30°角所对的直角边是斜边的一半”解决所涉及的问题.教师在完成该题的师生互动后，提出“如果一直角边是斜边的一半，那么是否该直角边所对的角是30°角？”经过动手操作，相当部分学生顺利解决了该问题.教师让其中一部分同学展示他们的解题过程，组内成员积极讨论，课堂氛围比较活跃.
接着教师请同学回忆过去所学的直角三角形内容中是否还有类似的性质.
学生回忆所学知识，找到类似的性质：“直角三角形斜边上的中线等于其斜边的一半”.此时，一同学提出这样一个问题：“等于直角三角形斜边的一半的线段为直角三角形斜边的中线？”即“假如一个直角三角形ABC，∠BAC=90°，E是BC上一点，且AE=
，那么AE是否为BC边上的中线？”
这个问题提出后，任课教师和班级中绝大部分同学都认为这个命题是对的，可用“同一法”说明这个问题.如图1所示，直角三角形ABC，AD是BC边上的中线，AD=，由于已知AE=，所以自然有AD=AE，即E与D重合（图1）.
这时提出该问题的同学却认为该做法可能有不严密的地方，如图2，三角形EDA可能是等腰三角形.
事实上，对上述问题，若以D为圆心，AD为半径画一个圆，由AD=可知BC正好为所画圆的直径（如图3），再以A点为圆心，AD长为半径画圆弧，圆弧与BC相交于点E，此时AE=AD=，这样也就直观和明了地发现了上述命题的逆命题是假命题.
如果教师对学生提出哪些潜在问题有所掌握，那么即使学生未考虑到上述问题，教师从教学的角度也应引导学生考虑此问题，进而学生也会从教师所提问题涉及的数学情境（图1和图2）提出这样的问题：上述逆命题能否成立？如果要成立，那么成立的条件又是什么？学生通过观察和分析上述图形（图1和图2的对比），会发现∠ABC和∠ACB的角度大小关系或者边AB和AC长度关系是决定逆命题是否成立的关键；另一方面，对“大角对大边”的认识更加直观和深入.这样的“因势利导”会给学生思考问题和提出问题提供良好的契机，“问题提出”教学才会真正在师生间“双向展开”.但是，在实际教学中这一重要的“双向环节”处理不尽如人意.
如果说上述“问题提出”教学案例中教师可能一时“疏忽大意”，错失一个深入挖掘学生所提问题，进而引导学生怎样从已知信息分析、观察，从而发现新的数学问题的机会，那么下面这个案例则说明初中数学“问题提出”教学需要明晰和完善的问题还比较多.
2.课堂案例2
案例2来自笔者参加的一次校级教研活动.该活动组织笔者任教学校教师随堂观摩八年级关于“多边形的内角和与外角和”内容的教学.联系本节课的教学内容，任课教师采用“自主探究”和“问题提出”的教学方式进行授课，学生采取小组合作的学习模式.
“多边形的内角和与外角和”在教材内容的安排上位于三角形相关知识之后.因此，在本节课的复习引入环节中，教师设计了这样一个问题情境：某市新建了四个大型超市，超市间的相对位置如图4所示，为了便于消防，需要在这四个超市间驻扎一个消防中队，请问该中队的驻扎位置怎样安排使得到四个超市的距离之和最短.
解决上述问题需要学生在一系列的“问题串”辅助中逐渐接近正确的“问题表征”，即“到四个超市的距离之和最短的符号表征是什么？”“到四个超市的距离之和最短是否等同于在四边形ABCD内找一点，使得这一点到四个顶点的距离之和最短？”等问题.
在这一系列问题的推动下，学生会画出直观示意图（如下页图5）表征问题，即“到四个超市距离之和最短”等价化为“在四边形ABCD内找一点E，使得EA+EB+EC+ED的和最小”.
当学生能正确表征问题后，联系前面所学的知识“三角形两边之和大于第三边”，四边形ABCD的对角线AC和BD的交点即为驻扎位置（图6所示）.
在上述数学情境的推动下，与笔者毗邻的一个学习小组的学生在解决问题后基于上述问题饶有兴趣地提出了“怎样在三角形内部找一点，使其到三个顶点的距离之和最短”和“四边形可以，那么五边形、六边形等又该怎样找”，而更让笔者感到吃惊的是，可能该班部分同学能力较强，相邻一个组的一位同学对问题的考虑更加全面和细腻，她提出“上述问题中的四边形是凸四边形，如果是凹四边形呢？”
但不无遗憾的是，在实际授课中，一方面教师未引导学生透析上述问题情境中的问题实质，即“到两定点的距离之和最小的点的位置”；另一方面，教师对于学生所提的问题准备不足，未明确指出其中哪些问题现阶段可以解决，怎样解决，哪些问题现阶段解决不了，需要进一步学习.
三、现阶段完善初中“问题提出”教学的策略
基于对国际数学教育发展趋势的研究和我国数学教育自身特点的把握，中小学课堂开始倡导合作探究的教学.这反映到初中数学教学中，就是要培养学生逐渐学会从数学的角度提出问题，理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题.同时，教师要尽可能地为学生提供“真实的”数学活动场景，使他们在教师的指导下以类似数学家的方式进行数学的再创造，以便在积极的参与过程中掌握探究的方法，培养创新精神.波利亚将这种数学家分析问题、解决问题的活动具体化、形式化，写出了数学问题解决的名著《怎样解题》，而他在该书中着力展示的就是这种具体化的数学家思考和探索活动.因此，在初中数学教学中，鼓励和创造条件让学生大胆质疑、猜想，提出自己对问题的看法和观点，进而发现和提出数学问题.这不仅使初中学生的数学活动回归到数学本应该有的面目，而且也成为培养初中学生数学兴趣和爱好的一种有效途径.
有鉴于此，教师如何在初中数学课堂中开展“科学、有效、可靠”的“问题提出”教学成为一个迫切需要解决的问题.目前可供教师作为“问题提出”教学参考的理论和应用依据较多还处于构建和实验论证阶段，那么现阶段初中教师如何在对“问题提出”教学已有认知上完善“问题提出”教学，避免出现前文案例中出现的问题呢？笔者认为可从以下几个方面加以关注和完善.
1.问题情境有利于学生发现和产生新的问题
“问题提出”是人们在解决一个较为棘手的数学问题时，为使问题变得容易理解而进行分解和必要的转化，以及对原问题进行再阐述.在教学过程中，“问题提出”逐渐成为学生对具体数学情境中已有数学信息的观察、分析，进而发现和产生新的数学问题和任务的相对独立的活动.基于此，教师对问题情境的创设应考虑学生的认知情况和知识储备，创设有利于学生进行“问题提出”活动的情境，如案例2中问题情境的信息为四边形，大部分学生在解决四边形后自然会考虑三边形（三角形）、五边形、六边形等，甚至能力较强的同学会就问题中的四边形考虑凹四边形的情况.
文[3]从数学教与学的角度提出了一个培养中小学生创新意识的基本模式.在实际教学中，教师可参考该模式，结合学情创设有利于学生发现和提出新问题的情境.这个数学教学的基本模式如图7所示：
2.了解和掌握影响学生“问题提出”的因素
影响现阶段初中生“问题提出”的主要因素可分为教师因素和学生因素.教师作为课堂教学的主导者，对影响学生“问题提出”的两个因素起主要的调控作用.一方面，教师应通过自身学习，尽可能了解学生的思维过程，帮助学生调控影响“问题提出”的心理因素；另一方面，学生是整个“问题提出”教学的主体，影响初中生“问题提出”的因素较多，教师应了解和掌握这些因素.基于此，教师可参考部分涉及“问题提出”的教学研究成果，设计问卷，收集学优生和学困生“问题提出”方面的主要差异点，通过课堂观察、访谈交流、查阅和收集相关资料，尽可能了解造成这些差异的因素，为教学设计提供必要参考.同时，教师可邀请部分在“问题提出”方面能力较强的学生交流自己观察和分析问题情境，提出问题的经验.对于问卷和教学中反映“缺乏数学问题提出体验”[5]的学生可在一段时间内加以课堂跟踪和观察，有针对性地创设问题情境，便于学困生“质疑和提问”，使班级中各能力层次的学生都有必要的“提问经历和体验”.
3.“问题提出”教学的设计应全面
现阶段初中数学“问题提出”教学中易出现类似案例1和2中的不足.一方面是由于现阶段初中数学“问题提出”教学中可靠、科学的理论构建和实证研究滞后于课堂教学的实际，教师往往关注学生能否解决教师所创设的问题，忽视了学生可能使用不同角度思考问题；另一方面是由于“问题提出”教学的开展时间较短，教师未脱离传统教学模式，关注点落在如何“教”和学生如何“学”，容易忽视学生的“问”，在教学设计中对学生可能的质疑和提问准备不足，影响教学的实施.
因此，教师在创设高质量的问题情境吸引学生加入“问题提出”教学设计中时，应全面考虑和准备当学生提出的问题与所授内容无关，或者虽有关但已超出学生现有认知能力所能接受的范围时教师的处理办法，如案例2中学生考虑的五边形、六边形，甚至是n边形的情况.教师在充分肯定学生问题的基础上，应明确该问题可以解决，但现阶段可以暂不考虑，后续的学习能解决该问题；应对学生提出问题的实质（如案例1中学生提出的关于直角三角形斜边上的中线问题和案例2创设情境中的问题）加以剖析和阐释，使学生能从此过程中联系前后知识，明晰知识点间的脉络.同时，教师务必考虑当学生无法从问题情境或者已解决的问题中提出新的有意义的问题、开展新的数学任务时（如案例2探究情境中问题的实质），教师应如何给学生搭建“脚手架”，使之能顺利实施提出问题的数学活动.
值得注意的是，“问题提出”教学中师生间的关系不同于传统的教学模式.传统教学中，提问的一方是教师，答的一方是学生.但在“问题提出”教学中，师生间的清晰界定变得模糊.在某些环节将教师置于“学生”位置，即“解问”一方.这就需要教师考虑和重视学生的潜在问题，不可轻视学生的质疑和提问.以案例2中学生考虑的三角形情况为例，实际上该问题是费马给伽利略的学生和助手托里拆利考虑的一个几何难题（费马点问题），运用现在的初中知识是可以解决的.如果教师对此情况不加考虑和准备，极易造成教学中的被动.
需要强调的是，初中阶段学生处于“心理敏感”期，极易在学习中产生不安和焦虑.相关研究也已表明，初中学生“问题提出”教学中所提问题的数量和质量同焦虑程度呈负相关[6].因此，教师在“问题提出”教学中应特别注意平等、民主的课堂氛围的创设.