注重数学概念与思维的稳定性考试--2014年高考“广东数学试题”的问答分析_数学论文

在稳定中注重数学概念和思维的考查——2014年高考数学广东卷试题和答卷分析，本文主要内容关键词为：数学论文,答卷论文,广东论文,试题论文,注重论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      2014年广东省高考数学试题延续了2011年以来的试卷结构，解答题的考查内容、顺序与近三年完全相同.试卷立足于高中数学基础知识，重点考查主干内容，比较切合广东数学教学的实际情况.本文就2014年广东卷试题（以下简称2014年试题）的试卷设计、试题特点和考生答卷情况进行分析，希望有助于高中数学教学及2015年的高考备考.

      一、试卷设计分析

      2014年的试卷结构与往年保持了高度的一致，从表1、表2来看，无论是文科还是理科，今年解答题的考查内容和顺序与前两年完全一致，只是在概率统计与立体几何两部分有少许分值上的差异，因此考生也普遍觉得题型熟悉，内容常规.

      

      

      2014年广东省高考数学试题在重点考查基础知识的前提下，支撑学科知识体系的主干内容如函数与导数、数列、三角函数、立体几何、解析几何、概率与统计等重点知识在试卷中占主导地位.其中主干知识文科分值达到130分，理科分值也达到125分（详见表3）.

      

      二、试题特点分析

      1.注重主干知识，强调基本概念

      从表4、表5中的数学知识目标结构分析，2014年文科卷的基础题所占分值超过了总分的66.7%，理科卷的基础分值则达到68.6%.从表6、表7可以看出，2012～2014这三年的数学试题基础题分值与比例都是保持稳定的，文科卷的基础题比例保持在67%左右，理科卷则保持在70%左右，浮动的幅度都在3%以内.这反映了命题者对基础的重视，希望广大考生回归基础的良好愿望.

      

      

      

      

      2014年试题尤其加强了对基本概念的考查.如理科第2题和文科第4题，考查复数模的概念；理科第6题，以实际问题为背景考查了饼图，识图和分层抽样的理解；理科第11题则对中位数、组合、概率进行综合考查；理科第13题，考查了等比数列和对数的性质.今年的概率统计解答题尤其体现了对基本概念的理解的考查.文科第17题第1、3问考查了众数、极差和方差的概念，第2问则让学生画出茎叶图，理科第17题让学生画出频率分布直方图等等.在平时的概率题中，学生经常要观察频率分布直方图或者求其中的一些量，但作为画图的要求提出则是首次，反映了让学生在训练解题之余重视基本概念的理解的命题意图.

      2.加强了数学思维能力的考查

      《普通高中数学课程标准（实验）》（简称《标准》）指出，“数学思维能力有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和作出判断，在形成理性思维中发挥着独特的作用.”2014年试题在考查数学基础知识和基本技能的基础上，在把握概念的本质属性和运用数学思想方面提出了较高的要求.全卷深入地考查数学思想，同时贯穿对空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力、应用意识和创新意识的考查.文科第7题把三角、不等式与逻辑命题融合在一起，要求学生要有很好的逻辑推理能力和严谨的数学思维.文科第10题是涉及了新定义运算与复数的结合，要求学生将新旧知识联系起来，考查学生对新知识的学习能力以及创新思维.文理科第17题则考查了学生对概率统计中的基础概念的理解以及识图作图的能力.文科第18题的翻折对学生的空间想象能力提出了较高的要求，而理科第18题空间向量法的使用则体现了数形结合的思想方法.理科第19题数列通项公式的求解考查了数学归纳法的应用，要求学生的思维灵活，具有合情推理和归纳的数学思维和能力；文科第19题要求考生要有很好的不等式证明能力，与去年相比，可谓“年年岁岁题相似，岁岁年年解不同”.文理科的第20题尤其考查了数形结合、函数与方程、化归与转化的思想.理科第21题的函数较为复杂，包含了四次多项式、根式、分式等形式，要求学生掌握不等式的求解，函数单调性的定义证明，函数与方程思想，分类讨论等思想方法，且计算量大，对学生的运算推演能力提出了较高要求.

      三、考生的答卷情况分析

      1.考生答卷总体情况

      2014年文理科考卷在总体上的答题情况如表8、表9所示.今年文理科卷难度适中，文科卷的难度为0.50，理科卷的难度为0.58，部分题目的难度较大，如文理科的第21题难度分别达到了0.08和0.06.

      

      

      结合表10可以看出，2014年文科考生的平均分与2012年、2013年基本持平起伏不大，理科考生的平均分从2012年开始逐年下降，今年试题的难度有所提高，但降幅在4.8%，不算太大.综合起来，今年平均分与去年基本保持稳定，没有大起大落.

      

      2.文科非选择题考生典型错误分析

      第11题考查切线方程与求导，第12题考查组合与概率的综合，第13题考查等比数列与对数的性质和计算，第11～13题考生主要错误是基本概念和性质不清楚，统计中的概念综合在一起理解困难；第14题考查参数方程与极坐标，主要错误是横纵坐标写反，或者因极坐标方程变形出错而出现的计算错误；第15题平面几何中的相似，主要是没注意到周长比等于边长比，或是比例写反、数值计算出错.

      第16题主要考查三角函数的计算、特殊角的三角函数值、诱导公式、同角的平方关系、两角和与差的正弦公式.主要典型错误：

      

      （2）将f（x）看作奇函数，因此得到2f（θ）=

.

      第17题考查茎叶图，众数、极差、平均数、方差的概念及计算.主要错误：

      （1）基本概念没有掌握：如把众数误认为频数，把平均数误认为众数，把标准差误认为极差，不按照加权来计算平均数和方差.

      （2）茎叶图不熟悉，理解不透：把叶子列在茎的双侧；茎的数据出错，写成了“10，20，30，40”；叶子没有按照频次列举；不是分区间列数据，而是按每一个数列一行地作图.

      第18题考查图形的翻折问题，直线与平面垂直的性质，立体图形的体积，解三角形等知识点，主要典型错误有：

      （1）线线垂直，线面垂直和面面垂直关系不清晰，垂直判定定理和性质定理理解不透，应用时条件不足.

      （2）缺乏空间图形平面化的思想，导致在解直角三角形时线段之间的关系平行、垂直和大小混乱.

      （3）计算能力薄弱，解直角三角形时计算线段长度出错.

      第19题考查数列的通项公式、方程、放缩法证明不等式.主要错误在：

      （1）思维不够灵活，盲目套用公式

，看不出所给条件是关于前n项和的一元二次方程.所以得3～4的考生居多.

      （2）只会裂项不会放缩证明不等式，导致8～10分段考生居多.

      第20题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆相切、利用导数求直线斜率、一元二次方程的判别式等知识点.典型错误有：

      

.

      整理得

，这些简单的思路但复杂的运算难倒不少学生，使5～9分段的考生占很大比例.

      （2）数学严谨性不够，不少人在设出切线方程

之前或之后没有充分论证切线斜率不存在或等于0的情形.

      （3）计算水平低，应试水平高.本题的最后答案容易猜到.由轨迹图形的对称性，部分人容易猜测轨迹为以原点为心的圆，再由四个特殊点得到具体方程，因此在运算乏力的情况下，考生罗列出一些条件在一片混乱的运算或叙述过程中得到清晰的答案.

      第21题考查导数的求导法则，利用导数确定函数的单调区间，一元二次方程根与系数的讨论，对含参字母的分类讨论等.主要典型错误在于：求导公式不熟悉，求导错误；没有讨论判别式，直接求根，或求根错误；当a＜1时单调区间写错；没有正确对

所在区间分类，f（0）＞

不等式解错等等.

      3.理科非选择题考生典型错误分析

      第9题主要考查学生绝对值不等式，第10题主要考查学生导数的几何意义以及求导法则、直线的斜率等知识，第9、10题考生主要错误是书写不规范，式子变形出错；第11题主要考查中位数的概念、组合与概率的综合，考生的主要错误在于对中位数、组合、概率综合在一起理解困难；第12题主要考查解三角形，主要错误在与对正弦定理及其变形的不熟悉，或者是求反了比例；第13题主要考查等比数列、对数的性质和计算，主要错误在于等比数列和对数性质的不熟悉，或对数的计算出错，如

等；第14题考查参数方程与极坐标，主要错误在对极坐标概念的理解不到位，如

，及计算出错如（-1，1）.第15题考查平面几何中的相似，主要错误在对面积比等于边长比的平方不熟悉，或比例的计算出错.

      第16题考查三角函数的计算、特殊角的三角函数值、诱导公式、同角的平方关系、两角和与差的正弦公式.主要典型错误有：

      

      

      第17题考查样本频数和频率的计算，频率分布直方图的画法，统计推断及概率的计算等.考生典型错误有：

      （1）近8成的考生不能准确画出频率分布直方图；如横轴用区间表示，纵轴计算或表示错误，将频率分布图化成条形图.

      （2）不能正确理解抽样的概念，误讨论25人中抽取4人的概率问题，出现

之类的式子.

      （3）没有真正理解二项分布，不能准确写出二项分布的概率分布，不会计算落在区间（30，35]的概率.

      第18题考查空间中线面、面面的垂直的判定，二面角的计算，空间向量勾股定理等知识.典型错误：

      大部分是计算错误，如第（1）问的计算结果为

，又如使用向量法时计算平面AEF的法向量出错；少数出现逻辑推理错误，论证不足，理由不充分，对性质定理的理解不够透彻.

      第19题考查数列前n项和的意义，及其与数列通项的关系，合情推理及用数学归纳法证明等内容.主要典型错误有：

      

      （3）8～9分段的考生能够使用数学归纳法，但归纳变形时出错，或写法不完整，有部分考生代入归纳假设后，推理出错，但仍能写出最后结果.

      第20题同文科第20题.

      第21题考查学生函数的定义域，定义法求函数单调性，一元二次不等式的解法等.主要典型错误有：

      （1）懂得定义域，但是解一元二次方程或一元二次不等式时错误，计算能力薄弱，基本功不扎实.

      （2）思维灵活性不够，讨论函数单调性只想到求导没有想到基本的定义法，由于所给函数的复杂性，考生缺乏换元思想只能束手无策，能得分的考生中以4分居多.

      四、对命题和中学数学教学的启示

      1.磨刀不误砍柴工，基础知识宜先行

      2014年试题体现了课程标准和考试大纲的要求，强调了对基础知识和基本技能的回归.但是，现今高一高二数学教学存在着“赶时间，轻概念，重训练”的现象，调查显示，高一学生学习数学的最大困难是“高中讲课速度太快和课堂容量太大”、“高中赶课，知识难度加深”.这导致了学生对高一高二知识的理解如蜻蜓点水，似懂非懂，而教材内容又呈现螺旋式上升，高一高二的基础知识对很多学生来说是一锅“夹生饭”，这锅夹生饭在高三的题海训练中如何炒也不会变香.例如有理科考生解答题几乎全对，就在绘制频率分布直方图失手；很多考生对众数，中位数，平均数，极差，对数，茎叶图这些概念的理解模糊.

      2.增强问题意识，注重数学思想的培养

      从前面的试卷分析可知，2014年试题在题型结构上非常稳定，大部分题目都是学生看起来不陌生的.但是考生的答卷情况却显示出学生在解题上存在的许多问题，需要我们重视和深思.如文理科20题（解析几何）在学生平时的练习或模拟题中出现过类似的题目，可是我们的考生拿到题目还是没有思路，或者是在转化的过程渐渐思路混乱，还有的学生记住了题目的结果，但是不懂得思路，在考试过程中牵强硬凑出答案.这说明了学生在平时机械练习而导致了归纳方法、总结同类问题规律的意识不强，没有真正理解到题目中所体现出来的函数与方程、化归与转化、数形结合等思想，只好生搬硬套.

      从近几年广东高考数学试题呈现稳定的情况来看，教师在备考中猜题押题没有必要的，关键是如何提高学生备考中的做题效果.一方面，教师应该以问题为驱动，培养学生提出问题，分析问题和解决问题的能力；另一方面，教师自身要有研究问题的意识，在教学中提出问题，分析问题和解决问题，特别是讲清楚问题或者解题方法的来龙去脉及其规律，交给学生一把钥匙——数学的思想，只有它才能真正带领学生叩开数学的大门.

      3.提高数学与语言文字理解能力

      从2014年试题评卷过程来看，数学语言的运用与表达是中学教学的一个薄弱环节.如区间、集合与不等式不分，表述也不规范，解答题中的逻辑关系不清，数学推理过程不完整或逻辑顺序颠倒.解答过程中的“能意会但不能言传”成为很多考生的一个通病.

      

      4.课标、教学和命题要且行且近

      课程标准制定、中学数学教学和高考命题都是为了数学教育、选拔人才，但现今这三者在一些方面还存在着不相协调的地方，这不利于教育教学的展开和持续发展.例如，《标准》提出，数学教学要使学生“获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验.体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力.”2014年高考对基础的考查也达到70%.可见高考命题和课程标准都重视数学基础知识，但是在教学中如何落实重视基础知识这不一件容易的事.高一高二教学过程中，为了应付各类期末统考，普遍存在赶课时、重训练，轻基础的现象，这是课程标准制定时没有顾及中学教学的实际.

      新课标的一个变化是教学内容上的“宽而浅”，但是命题人员为了体现出学生的能力常常出现高难度的试题，这对学生备考而言变为学习上的“宽又深”，“课程标准的减负”反而导致“高考试题加压”，新课程标准下的高考数学命题对高考命题专家而言是一个需要研究的课题.

      再如高考中的韦达定理，在新课程标准中初中是选讲内容，那到底选讲还是必讲？自然地如果中考要考，那就必讲，如果中考不考，那就选讲甚至不讲.现在的问题是高考跟着中考走还是中考跟着高考走？有研究者指出，近几年各省高考试题基本上不回避韦达定理，广东省2013，2014年高考试卷命题也是如此.课标与命题的这种冲突，是课标自身有缺陷导致权威性不够，还是各省的命题专家更权威？

      如何让课标、高考和教学且行且近？这是课标制订专家、命题专家和一线教师都要考虑的课题.

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