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从数学发展史来看，公元5世纪末到公元15世纪这段大约1000 年的时间内，以古希腊为代表的西方数学进入了黑暗的中世纪时期，渐渐退出了历史的舞台；而以中国为代表的东方数学异军突起，逐步取代了以古希腊为代表的西方数学， 占据了世界数学舞台的中心位置。 然而从15世纪开始，欧洲多数国家开始从中世纪文化向近代文化过渡，史称文艺复兴。文艺复兴对西方数学的发展产生了极其深刻的影响：毕达哥拉斯（Pythagoras）—柏拉图（Plato）传统开始复兴，数学的价值重新被确认，技术的数学化倾向出现，对传统和权威的批判以及实验方法论和归纳方法论的产生等，这一切都表明西方数学已经摆脱了长达千年的罗马中世纪文化的桎梏，开始了真正的复兴，逐渐地西方数学又取代东方数学而成为世界数学的中心。下面我们将从数学与科学相互促进、相互联系的内在本质出发，探讨15世纪以来数学观所发生的重大变化，以期进一步提高人们对数学的认识。
1 数学：科学的本质（15～17世纪）
15世纪初，随着欧洲经济的增长以及新文化思潮的发展，从经院哲学家开始出现的反叛思想逐渐扩展成一种有意识的革命行动——反对中世纪生活的整个范型，努力创造一种尽可能接近古典古代的范型。于是，中世纪树立的亚里士多德（Aristotle）的权威受到了批判， 而以毕达哥拉斯和柏拉图为代表的古代思想成为欧洲学者的思想准则，即强调数量关系是现实的本质。它使文艺复兴时期大多数自然科学家都坚定地相信自然界是按数学方式设计的，并且这个设计是和谐优美的内部真理。这种认识无论对神学家还是对离经叛道的经院哲学家都十分可取。因为只要把上帝放在了最高数学家的位置上，科学家就可以完满地解释神学中关于上帝创造世界的学说。而那些企图为新文化和新思想建立牢靠基础的反判者，便可以直接从数学中寻求立足点，同时使寻找大自然的数学规律一事成为一件合法的宗教活动。这个理论鼓舞了16至17世纪、甚至18世纪的数学家。寻找大自然的数学规律是一项虔诚的工作，它是为了研究上帝的本性和做法以及上帝安排宇宙的方案。这个时期的自然科学家都是神学家，用自然代替《圣经》作为他们研究的对象，哥白尼（Copernicus N）、开普勒（Kepler I）、伽利略（Galileo G）、帕斯卡（Pascal E）、笛卡尔（Descartes R）、牛顿（Newton I ）和莱布尼兹（Leibniz G W ）等都再三谈到上帝通过他们的数学方案给予宇宙以和谐。数学知识因为它本身是宇宙的真理，就像《圣经》里的每行文字那样神圣不可侵犯；甚至高于《圣经》里的每行文字，因为它是明确的、无可非议的知识。对此，伽利略写道：“上帝在自然界的规律中令人赞美地体现出来的并不亚于他在《圣经》字句中所表现的。”莱布尼兹则曾指出，上帝按照数学法则建造了整个宇宙，所以上帝是世界上一位最伟大的数学家，而研究数学的道路则就是通向上帝、逼近上帝之路。在谈到虚数时，他又说：圣灵在分析学这个奇迹上，在理想世界这个怪物上，在存在与非存在之间这个两栖类上，找到一条绝妙的出路，我们称之为负一的虚根。这些人寻找数学规律以宣扬上帝创造工作的崇高和光荣。人不能希望像上帝自己一样清楚地了解那些神圣的计划，但通过谦虚和谨慎，人至少能够近似地了解上帝的心意。〔1〕
值得指出的是，上帝按数学方式设计大自然，只是一种信念，绝不是事实。但这种信念以及由此而表现的数学观念，却十分有利于人们对数学的重视和研究，也有利于人们对数学真理的确认。因为科学家们确信上帝在构造宇宙时已经把数学规律放在其中，他们所要做的只是寻找隐藏在自然现象背后的数学规律；而每一条规律的发现，都被认为是展示上帝的伟大和智慧而非研究者的智慧。这样，自然科学家在普遍地接受了上帝是按数学方式设计大自然的观点之后，都把探索自然界的数学结构视为自己的神圣使命。例如，开普勒就曾多次谈到上帝通过他的数学方案给宇宙以和谐，并希望能通过自己的工作来揭示上帝创造宇宙时所采用的数学方案。这样，毕达哥拉斯—柏拉图关于数量关系是现实本质的思想事实上就形成了一种传统。这就如同著名数学史学家克莱因（Kline M）所指出：“毕达哥拉斯—柏拉图强调数量关系作为现实精髓的思想逐渐占据了统治地位。哥白尼、开普勒、伽利略、笛卡尔、惠更斯（Huygens）和牛顿实质上在这方面都是毕达哥拉斯主义者， 并且在他们的著作中确立了这样的原则：科学工作的最终目标是确立定量的数学上的规律。”〔2〕
事实上，15至17世纪的数学观是比较一致和十分鲜明的。即科学的本质是数学，一切现象都可用数学描写出来。伽利略则认为：大自然乃至整个宇宙这本书都是用数学语言写出的，符号是三角形、圆形或别的几何图形；自然界按照完美的不变的数学规律活动着，因而自然界是简单而有秩序的：数学知识具有超越《圣经》的真理性，对《圣经》可以有许多不同的意见，而对数学的真理则意见是一致的。牛顿坚信自然界是用数学设计的，没有理由不按照数学家搞数学的程序去进行科学研究。这种数学观的又一个明显的佐证，就是当时科学家毅然决然地摒弃地心说而接受日心说。当时日心说仅仅具有数学优越性，而在解释天文现象方面还不如地心说有效。
特别要指出的是，这个时期的另一个重要发展是上述数学观与实验精神相结合。事实上，“数学精神与实验方法的结合”常被说成近代科学发展的定性特点。这就如同李约瑟（Needham J）所指出的“当我们说，近代科学是在伽利略时代的西欧发展起来的，我想，我们是指仅在那里产生了数学化的假设应用于自然的基本原理，以及数学在所提出的问题中的应用。总而言之，是数学与实验的结合。”〔3 〕伽利略认为基本原理必须来自经验与实验，这种精神被牛顿所继承，并进而成为近现代科学精神。但是这种精神只有与数学观结合才会产生出近代科学。如果认为伽利略仅仅是一个经验论者，那就大错特错了。实际上，伽利略很少做实验，他做实验的目的主要是为了驳斥那些不遵循数学的人，他更多地是按照数学原理做思想中的实验——理想实验。
这一时期，从开普勒、笛卡尔、伽利略到牛顿，他们在一般方法上或具体研究中都是以数学家的身份去探索自然的。在一般人的心目中，似乎他们所以能推动科学发展主要是由于观测和实验，但实际上他们是在薄弱的观察和实验的基础上，依靠数学观的指导，建立定量化的规律，从而导出了极有价值的成果。这一时期的巨大成就主要是天文学和力学，观测只给出了极其有限的新材料，甚至更有利于地心学说，就是可供建立开普勒三定律和万有引力定律的材料也极少；而力学方面则几乎没有什么决定性的实验。但是由于当时的数学理论具有了较高的水平，因此就使得科学家们能根据极其有限的观测和实验给出正确的自然定律。当时在科学家的观念中，数学观的作用比实验精神要大得多。经典力学是这一时期的最高成就，也是这一时期科学发展特征的最完整的体现。
由此我们看到15～17世纪是把自然科学作为数学的组成部分。牛顿的《自然哲学的数学原理》其实质是研究作为数学内容的自然哲学，这样，科学就在“科学的本质是数学”这一观念下得到突飞猛进地发展。这是十分重要的，数学的发展把各种不同的现象归结成定律，从而提出了统一自然的愿望，这一愿望由于牛顿而成为现实。在这里，自然界表现为量的形式，经得起数学的推敲，从而才能获得比《圣经》更为确实的力量，才能获得一系列巨大的成果进而推动科学与技术的发展。这是比古希腊数学更加发挥其重要作用的辉煌时期。数学也在科学的发展中得到了突飞猛进的发展。不可思议的是：根据少数几个实验，用数学方法发现的定量的自然规律是正确的；从科学实际问题出发，发现严重缺乏基础的数学竟然也能取得一系列光辉成就（如不顾缺乏基础的微积分理论、级数理论等等）。这才是科学史上真正的“英雄时代”——无拘无束、充满生气。这一时期，数学才是真正的科学皇后。
2 数学：自然科学（17～19世纪）
从17世纪以后，科学由实验精神与数学精神结合而开始发展之后，很快就从数学王国中脱颖而出，人们开始从自然的角度来看待数学。数学也开始发生转变，渐渐地，数学直接受到物理问题的激励，人们研究数学的目的开始转向于求解物理问题。
这种转变很难找出一个确切的时间，但法国数学的崛起即是一个重要标志。像伽利略、牛顿那样以数学家身份去探索自然，认为自然界是按照数学原理设计的时代已经过去。法国百科全书派称科学已从数学时代过渡到力学时代，拉普拉斯（Laplace ）则认为数学只是物理的一个工具。当时的数学观是：数学只有为科学服务时才是普遍有用的。
数学属于自然科学，是自然科学的一个分支。这一观点就是在这一时期提出的。百科全书派的领袖人物之一、 数学家达朗贝尔（D'Alembert）明确地把数学划归在自然科学之内， 从理论上确立了数学是自然科学的一个门类。这种科学分类法的影响至今仍存。
这一时期数学被看作是自然科学的工具，主要表现在数学更多的是以数学物理为主要内容以及数学家的指导思想（用数学揭示自然界的规律）。牛顿那个时期，数学家的观点是去揭示自然界的数学规律。但到了这个时期，科学家是利用数学去揭示自然界的力学设计、机械设计。法国著名的“三L”（拉格朗日（Lagrange J）、拉普拉斯、 勒让德（Legendre））都主要是力学家，他们主要是解决一系列力学问题。这一时期是真正的力学时期，人们的兴趣主要在与力学有关的问题上面。
最能表明这一时期数学是科学的工具的莫过于这样的事实：判断数学可靠性的标准是物理上是否正确。我们应该充分注意其中的差异：在古希腊，数学是不受实际问题检验的；牛顿时代人们用数学标准去决定科学理论的取舍，哥白尼和开普勒因为日心说更富有数学上的简明性而毅然提出并拥护日心说；只有到了这一时期，物理标准才作为数学的评判标准。
由于这一时期人们把数学看作是科学的工具，因此就有意或者无意地（更大程度上是无力）没有讨论数学本身的严密性。但这一时期科学与数学都获得了巨大的进步。
我们认为，数学纯粹作为科学的工具这是唯一的时期，这种数学观对科学的发展固然有一定好处，但对数学的发展却不尽然。在这种情况下，数学的发展处于一种被动的状态，长期这样下去对科学的发展也不利。〔4〕
3 数学：独立于自然科学的分支（19世纪以后）
数学无论如何也不会长期只作为科学的工具，更不会无视数学基础的严重缺乏。数学这种人类智慧的最高形式，在19世纪后发生了急剧的变化。
非欧几何与抽象代数的建立，分析的严密化运动，标志着现代数学的产生，更主要是标志着数学观的重大转变。非欧几何告诉人们，空间形式远非只有欧氏几何形式，固定不变的公理系统是可以改变的；抽象代数则表明，能作运算的决不只是数，代数学更主要地应该是研究各种结构问题。四元数的出现，高维空间的引进，数学的研究对象远远地突破了现实世界中的空间形式和数量关系，数学再也不拘泥于物质世界而作为科学的一个分支了。否则，在19世纪人们利用数学而不能容忍负数和复数（因为他们认为两者在自然界中没有实在性），这样怎么能推动数学前进呢？
终于，在19世纪20年代以后，一系列数学革命的冲击使数学从自然界和科学界中解脱出来了，继续它自己的历程〔5〕， 数学成为一个独立于自然科学的分支。尽管这种独立很久后才被认识甚至直到今天还未完全被人们认识，但是数学无论从内容到形式都已不是一门自然科学了，而是与自然科学处于同等地位的一大部类学科。
数学的独立首先表现在数学观念的深刻变革。这一时期，数学家既不坚信数学是真实现象的准确描述、数学家的目的就是揭示万事万物数学设计的牛顿时代的观念，也不像法国百科全书派时期那样，认为数学是研究科学的工具、数学只为科学服务，而是坚持认为：数学与自然界的概念和法则根本没有必要完全相同；数学是一种思维，它所建立的结构可以有也可以没有物理应用；数学更多的是一种人的创造物，是一种“任意的”结构；数学与科学不同，它没有经验的内容，它只依赖于证明。其次是数学结构、数学特征发生了深刻的变化。
任何一种观念的革命都将引起人们思想上的震动。数学观的改变——数学从自然科学中的分离，数学研究的自由化倾向，使人们在思想观念上担心数学走上心灵的自我设计的道路，而在具体应用上担心数学脱离了自然科学会一事无成。
数学观的转变也引起人们深深的苦恼：不使数学从自然科学中脱离就不能开辟新的数学方向，而且新的数学观的确使数学取得了一系列以往任何世纪都无法比拟的成就。但是数学家们又担心数学的自由创造对科学发展不利，担心数学发展偏离了揭示自然界真正设计的目的这个方向。
幸亏这一灾难性的数学家思维中的二律背反在数学发展中、科学发展中都不存在！新的数学观带来的是数学、科学的齐头并进。新的数学观至少到今天还在数学发展与科学发展中保持着一种恰到好处的“张力”。
在这种新的数学观指导下，当然首先出现了数学研究与科学研究的分离。这种分离的结果是：出现了一批专门从事纯数学研究的数学家，如阿贝尔（Abel）、伽罗华（Galos）、康托尔（Gantor G ）以及今天的许多纯粹数学家。而且科学的研究也依然取得了前进，尤其是像庞加莱〔Poincar'e（J-）H〕、希尔伯特（Hilbert D）、魏尔（Weyl H）、冯·诺伊曼（Von Neumann）等等，他们都是通晓科学与数学的通才。这种情况标志着这样一个趋势：科学的数学化。这种数学化不同于以往的任何形式，既不是把全部现象归结为数学，也不是把数学仅仅作为一个工具，而是赋予了新的内容：只有当一门现代科学（主要是物理学）的新的数学理论被作为模式而加以接受时，这门科学才成为一个独立的领域。数学化成了科学理论建立的标志，从热力学的数学化、电磁学的数学化，直到相对论和量子力学都说明了这一点。
今日的数学观，在本质上是毕达哥拉斯—柏拉图传统在一个更高层次上的复归。柏拉图曾坚信：数学只不过是一堆建立在假设基础上推导出来的结果。无论是本世纪初的直觉派、逻辑派、形式派，还是今日的先验论、经验论，或是拟经验论都无法代表一种统一的数学观，但是折衷的比较能被人们接受的观点，在本质上就是柏拉图的数学观。
数学与科学的关系怎样呢？这是一个令人头痛的问题，但是人们的信念是：科学越来越数学化。数学设计出理论模型，然后在理论模型与科学事实中间建立同构关系，促进科学发展。 魏尔认为：数学化（Mathematizing）很可能是人的一种创造性活动，像语言或音乐一样，具有原始的独创性。因此数学永远是推动科学取得进步的两种方法之一（另一为实验和观察方法），如果她是科学的皇后，则她就不能失掉臣民；如果她是工具和奴婢，就应该为主人效力。但今天这种高度抽象化、自由化的数学还能对科学发展有贡献吗？有的话，将怎样推动科学发展呢？
不管数学怎样抽象化、自由化，不管哲学家怎样拚命渲染什么“数学危机”，今天数学依然对科学发展起着推动作用，甚至人们追求的纯数学形式也直接成为科学发展的原因之一。狄拉克（Dirac P A M ）就直言不讳地说，他的许多物理学研究“只不过是为了美妙的数学的追求，可能后来它确有某种用途，那算是有好运气”。他曾利用纯数学的研究得到了电子的波动方程和磁单极子的概念。他认为从纯粹数学研究引向新理论就会有开创新局面的机会，而仅仅靠发展旧理论是不够的。
自由化的纯数学研究是怎样推动科学发展的呢？一般的方法是选择那种将会构成新理论基础的数学分支和数学方法，如理论性学科在理论构造时就几乎都选用了数学中的公理化方法，以致公理方法成了一种科学方法，公理化成了理论发展的目标。牛顿时代人们选择方程作为数学基础；而今天，变换则在理论物理中比方程更加重要，如相对论和量子力学都选择变换群作为基础。人们发现，数论的研究与单复变函数有着密切的联系，所以有人预料单复变函数也许将会成为把原子论与宇宙论联系起来的未来物理学的基础。今天，选择合适的数学内容作为科学的基础已成为科学发展的重要条件。
数学在科学中的地位我们可以进一步描述为：数学家进行自由创造，在自由创造中他自己发明规律；与此同时，科学家也在创造，在创造中的规律是自然界提供的。这两种创造之间的联系是：数学自由创造中的最简单、最和谐、最深刻——最美的原理就是自然界的设计，也就是科学创造的基础。这种联系很难诉诸理性，而只能诉诸于信念——一种有用的、十分美妙的、形而上学的信念。〔6〕
注释：
* 本文系作者博士学位论文《文化视野中的数学与数学课程的重建》的第二章第二节的删改稿，导师为李秉德教授、李定仁教授。
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