黑龙江省汤原县永发乡学校 154700
摘 要：本文归纳了以往所学关于角和边的知识，提出解决全等三角形问题的基本思路，介绍了全等三角形问题中常用的作辅助线的方法和技巧。
关键词：全等三角形 已知条件 辅助线
全等三角形问题是初中数学几何部分中非常重要的知识点，是后期进一步学习几何知识的基础。从全等三角形开始，学生开始接触复杂的几何图形，并逐步形成几何解题思维。因此，全等三角形部分是各地中考数学的重中之重。下面我总结一下怎样运用全等三角形的知识解题。
一、全等三角形判定的基本方法
全等三角形问题最主要的是找到题中需要证明哪两个三角形全等，然后通过SSS、SAS、ASA、AAS、HL等方法证明三角形全等。我们发现，证明全等所需条件就是找对应边相等、对应角相等。那么证明边相等、角相等都有哪些方法呢？
1.在八年级所学数学知识中，常用的证明角相等的方法有以下几种：（1）等量代换。（2）对顶角相等。（3）同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。（4）平行线中的同位角和内错角都分别相等。（5）角平分线分得的两个角相等。（6）特殊图形中的角相等。如矩形四个内角相等，正多边形内角相等，等腰三角形两底角相等，等腰梯形在同一底上的两个角相等。
另外，我们在证明角相等时，也经常使用“三角形的外角等于不相邻的两个内角之和”这个性质进行等量代换。
2.常用的证明边相等的方法有以下几种：（1）等量代换。（2）三角形中位线等于第三边的一半。（3）一条线段的中点将这条线段分为长度相等的两条线段。（4）直角三角形斜边中线等于斜边的一半。（5）角平分线上的点到角的两边距离相等。（6）等腰三角形、等边三角形、平行四边形、含30°角、45°角的直角三角形等特殊图形中的边与边的关系。
在寻找全等条件时，我们需要注意：在使用SAS的证明方法时，对于边和角的位置有着严格的要求，千万不可随便找两组边、一组角对应相等就用来证明两个三角形全等；而ASA和AAS这两种证明方法都是找两个角、一条边对应相等，区别就在于边的位置。总的来说，在证明三角形全等时，证明出两组角对应相等后，只要再找出任意一组边对应相等即可。
二、全等三角形解题思路分析
1.由已知条件推导出结论。几何题一定要结合图形读题，没有给定图形的需要自己画出图形。自己画图的题要注意思维严谨，考虑是否存在多种可能性，避免漏掉答案。
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2.由结论推导至已知条件。在证明题中，一般会有这样几种要求证明的方向：证明两线平行或垂直；证明线段相等、角相等；证明度数、线段或者线段的和、差、倍、分关系。我们将题目要求证的方向转化为证明两个三角形全等，再找出证明三角形全等的依据，以此类推，直至推导至已知条件为止。
3.综合已知条件与结论分析。在一些复杂的几何图形中，单纯地运用前两种方法，在推导过程中会出现多种情况，分岔太多，难以直接达到目的，这时，就需要我们综合已知条件与结论分析。首先，从结论出发，找出可能全等的两个三角形；然后，利用已知条件进行分析，找到所有的已知条件和隐藏条件。如已知等腰三角形，则隐藏有“三线合一”的条件。
三、构造全等三角形时作辅助线的一般方法
当题目中出现角平分线时，考虑以下几种方法：1.通过角平分线上的某个已知点，向两边作垂线，尤其是已经具备角平分线上一点到一边的垂线时，更应该考虑做另一边的垂线。这是利用角平分线的性质定理或者逆定理来构造的全等三角形。2.在角平分线上存在某个已知点，作角平分线的垂线和两边相交，构造等腰三角形，利用“三线合一”的性质构造全等三角形。3.在该角的两边，距离角的顶点相等长度的位置上截取两点，分别连接这两点与角平分线上的某已知点，构造全等三角形。
当题目中出现中点或者中线时，考虑倍长中线法，把中线延长至二倍位置，连接相关顶点，利用SAS证明全等三角形；或者平行线法，过中点作某一条边的平行线，形成三角形的中位线，构造角之间的关系。
当题目中出现等腰或者等边三角形时考虑这样几种方法：找中点，倍长中线；过顶点作底边的垂线；过某已知点作一条边的平行线；利用“三线合一”作辅助线。
当题目中出现三条线段之间的关系，或者要求证明三条线段之间的关系时，通常用截长补短法，在某条线段上截取一段线段，使之与特定的线段相等，或者将某条线段延长，使之与特定线段相等。这种方法，在证明多条线段的和、差、倍、分关系时，效果非常好。
当题目中出现垂直平分线时，考虑把线段两端点与垂直平分线上的某点连接，构造等腰三角形证明全等。
全等三角形的证明是初中数学几何部分的重点，同时也是难点。学生初次面对复杂几何图形，往往不能将以往所学知识融会贯通，面对证明问题不知从哪里着手。本文归纳了以往关于角和边的知识，提出解决全等三角形问题的思路，并对全等三角形问题中的难点——作辅助线的方法和技巧加以分析总结，有助于学生快速掌握全等三角形知识，面对几何问题形成清晰的解题思路，为以后的几何学习奠定扎实的基础。
论文作者:杜名杨
论文发表刊物:《素质教育》2019年9月总第320期
论文发表时间:2019/8/17
标签：角形论文; 全等论文; 线段论文; 条件论文; 方法论文; 垂线论文; 几何论文; 《素质教育》2019年9月总第320期论文;