对数学概念形成过程实施局部探究的实践与思考，本文主要内容关键词为：局部论文,概念论文,过程论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学概念是进行数学推理、判断、证明的依据，是建立数学定理、法则、公式的基础，也是形成数学思想方法的出发点，数学概念的建立也是解决数学问题的前提，因此，数学概念的教学在数学教学中有着重要的地位.反观某些数学课堂，不注意概念的引入，对定义的表述一掠而过，只重概念的应用，匆匆转入练习.以至于学生对概念只习得一些具体解题技能，缺乏从感性到理性的认识，难以形成数学能力；另外，由于新概念的引入没能以学生原有认知结构为基础，又没有大量实例揭露概念的关键特征，因此新概念不能较好地纳入到认知结构中，缺乏系统化，不仅记忆难以长期保持①，而且不利于知识的迁移应用，不利于思维能力的提高.教学实践表明：概念的引入是概念的形成过程的重要一环，是概念教学的基础和重点，有时也是个难点.
新课标倡导自主探索、动手实践、合作交流的教学方式.在日常数学教学中，由于课堂的限时性，我们常选用局部探究的形式②，即根据教材的特点，围绕某个小专题或某一问题，选好1-2个探究点，从一堂课中拿出5-15分钟，在教师的组织、引导下，让学生用自我探究与合作交流的方式学习.对概念的引入实施局部探究，可以充分展示概念的形成过程，能有效突破概念教学的难点、强化重点.以下对我校“PCK”课题③研讨的两个概念教学的片段进行分析、思考，供同行参考.
一、通过“问题驱动+合作交流”，实施局部探究
【课例1】高中数学必修2“二面角的平面角”的概念
概念的简要分析
“二面角及其平面角”的概念是立体几何的重要概念，其中“二面角的平面角”的定义是教学难点.苏教版教材通过卫星、笔记本电脑引出“二面角”的概念，让学生感受科学的力量，学生也很容易理解.而在给出棱、面的定义和记法之后，以笔记本电脑打开时，感到两个面所构成的二面角在变化，提出问题：如何刻画这个二面角的大小呢？观察：随着张口的增大，∠MAN逐渐增大，当二面角确定时，∠MAN也随之确定，故可用∠MAN度量二面角.由此得出二面角的平面角的定义：一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
上述对“二面角的平面角”概念的处理很简约，有了笔记本的张开、逐渐变大，学生对于问题1“有了二面角，为什么还要研究二面角的平面角”？理解是不困难的，但对于问题2“怎么想到这样来定义二面角的平面角的”？心存疑惑，对于从笔记本模型，直接过渡到∠MAN，AM⊥AB，AN⊥AB，学生感到有点突然，不利于学生形成“二面角的平面角”的概念，且蕴含的思维资源没能很好地挖掘，难免有些遗憾！
鉴于此，需要我们对教材进行“再加工”，对“二面角的平面角”的概念设置一个局部探究的过程.
对概念实施局部探究
第一步，创设情境，提出问题，明确目标
教师把笔记本电脑缓缓打开，边操作，边提问：大家是否感觉到这两个面所组成的二面角在逐渐变——（大），停止到如图的位置，提出问题：这个二面角是多大？如何刻画一个二面角的大小呢？
第二步，师生对话探究，解决问题1“为什么要研究二面角的平面角？”
教师再翻开一本书到某一位置（与笔记本展开的角相当），问学生：这本书张开的角与笔记本电脑展开的角哪一个较大？何以见得？
生A：需要量一量！
师：如何度量一个空间角呢？（略为停顿）前面有没有这样的先例？
生B：可以转化为平面角；前面学习过异面直线所成的角、斜线与平面所成的角.
师：你说说看，这两种空间角是如何定义的？
生B：异面直线所成的角是通过平移，转化为两条相交直线所成的锐角或直角，而斜线与平面所成的角是指斜线和斜线在平面内的射影所成的锐角.
师（追问）：为什么要用“和射影所成的角”来定义斜线与平面所成的角？
生B：因为和射影所成的角是最小的，是确定的.
师：很好！确定的，在这里也是唯一的，所以定义是合理的.因此，对于二面角的大小，需要用一个确定的平面角去刻画、去度量.
第三步，小组合作探究，解决问题2“怎么想到这样来定义二面角的平面角的？”
师：哪一个平面角可以承担这一重任呢？这样的平面角有几个？是否唯一？
教师见有些同学面露难色，则以课件投影出一组提示性的问题：
（1）考虑角的两条射线落在什么位置？在某一个半平面上行吗？
（2）角的端点应该落在什么位置？
（3）具体的，这两条射线该如何放置，才能合理地刻画这个二面角呢？请大家试一试，前后四人一组讨论一下.
小组合作显示：对于问题（1）（2）比较容易达成共识：即两条射线落在两个平面上，端点落在棱上.而对于问题（3），学生在尝试画图的过程中，有几个小组发现结论，教师遂请小组代表发言.
生C：在棱AB上取一点P，在两个半平面内作两条射线PE，PF，使得PE⊥AB，PF⊥AB，这两条射线组成的角∠EPF是确定的，可以刻画二面角的大小.
生D（反问）：何以见得∠EPF是确定的？
生C：在棱上另取一点Q，同样在两个面内分别引棱的垂线QH，QG，……
生：（不少人）哦！发出赞叹声！
生C（得意）：大家都知道啦！原因是……
生：（大家齐声）等——角——定——理.
师：这两个角是相等的，所以∠EPF是确定的，也就是这个平面角只与二面角α-AB-β的大小有关，与点P在棱AB上的位置无关.其实，这种二面角的平面角的操作也很方便.
如果把这个角定义为二面角的平面角，大家有意见吗？
生：（大家齐声）没意见！
第四步，学生归纳“二面角的平面角”的定义，解决初始问题.
师：哪位同学给“二面角的平面角”下一个完整的定义？
生E答，生F补充、完善（略）.
师：二面角是个空间角，它的大小可以用平面角来度量.对于讲台上的这台笔记本，哪位能说出二面角的平面角是哪一个？
不少同学都在指指、点点，指着笔记本左端（或右端）的相邻两条边沿所成的角.
师：为什么？
生G：因为正方形邻边互相垂直，满足二面角的平面角的定义.
师：如果量出这个角是72°，请问笔记本张开的这个二面角是多少度？
生（齐答）：72°.
师：这种把空间角转化为平面角，体现了降维、转化的思想，是立体几何中最基本的思想方法.
师：弄清了二面角的平面角的含义，请大家思考一下，二面角的平面角的取值范围如何？
生H说、生I补充得：0°，90°，180°，锐角，钝角都可以，因此二面角的范围是[0，π]……
局部探究后评说
以上对“二面角的平面角”的概念进行了一次局部探究，主要是通过问题驱动，并辅助于对话、合作交流完成的.第一步，创设情境、提出问题“如何刻画二面角的大小？”是为了明确研究目标.第二步，通过“把空间角转化到平面角，有没有先例”这一问题，不仅是为了复习旧知，更重要的是给学生一个类比、发现的提醒（最小角、唯一性），为解决问题2作铺垫，便于合理有效地利用思维资源，同时体现“降维、转化”的重要思想.第三步，为解决难点（问题2），先提出“哪一个平面角可以承担这一重任呢”？的问题，教师发现同学面露难色，则提出一组带提示性的3个问题.与问题2组成“问题串”，是运用由远及近、由指向不明到指向逐步明朗的“分级提问”来促使不同层次学生的思考，使每一位学生的思维得到不同程度地激活.对于个别问题有困难，则安排分组讨论，旨在借助同学之间的相互探讨、提醒，让学生的智慧在这里产生碰撞.其中学生的质疑、小组代表的回答，既复习了“等角定理”，又让学生对定义合理性达成了共识.第四步，请学生给“二面角的平面角”下定义，是水到渠成，同时呼应了初始问题；之后在弄清“二面角的平面角”内涵的基础上，议一议，得出了二面角的外延（范围）.
二、通过“尝试操作+类比探求”，实施局部探究
【课例2】高中数学选修1“双曲线的定义”④
概念的简要分析
对于“圆锥曲线”一章，苏教版教材是按“先整体再局部”的思路，先介绍“2.1圆锥曲线”，由一个平面截一个圆锥面，得到不同的曲线，遂定义椭圆、双曲线、抛物线等，然后再分别学习椭圆、双曲线和抛物线的方程、性质.教学实践表明：这样处理，因第一堂课时间太紧，不利于这些曲线概念的形成.因此，将它调整为先具体曲线（椭圆、双曲线、抛物线），后整体圆锥曲线的思路.“双曲线定义”是在学习了椭圆之后研究的，蕴含着丰富的思维资源有待挖掘，可组织一次局部探究.
对概念实施局部探究
第一步，学生画图尝试，教师操作拉链、演示《画板》③.
师：前面，我们研究了椭圆，请同学们回忆一下，椭圆是怎样定义的？
生：平面内与两个定点
，
的距离之和等于常数（大于||）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.
师：很好！请大家想一想，如果把“和”改为“差”，动点的轨迹是什么呢？
学生探索，教师提示：我们不妨画张草图试一试.
课堂反馈：不少同学从特殊化入手，发现了当动点M与两个定点，共线且常数=||时，轨迹为两条射线，当动点M与两个定点，不共线时，感觉是曲线，但不太确定.此时，教师用一条事先准备好的拉链钉在木条上，拉链拉开画出曲线时，M与M增加的长度相同，观察此时点M的轨迹是什么？教师左右交换演示.
生（大部分）：是双曲线.
师：哪位同学来描述一下点M满足什么条件？
生A：|M|-|M|为定值，|M|-|M|也为定值.
教师用《几何画板》演示，请大家仔细观察动点的轨迹图形.
第二步，学生通过类比，归纳双曲线的定义.
师：与椭圆相类比，哪位同学尝试给双曲线下一个定义.
生B：（略）
第三步，学生通过交流、反思，完善双曲线的定义.
师：对刚才学生B的回答，哪位同学要补充？
生C：漏掉了常数应满足小于||这个条件.通过画图我得出了当常数等于||时，轨迹是两条射线；而当常数大于||时，无轨迹.
生D：为什么没有轨迹？
生C：两边之和小于第三边嘛！（大家在频频点头）
师：精彩！
师：请大家观察图形，再反思：还有其他情形吗？
同学E站起来问：当常数等于零时，轨迹是什么？
生F：是线段的垂直平分线.
师（评价）：同学E问得太好了！你有一双慧眼，这种特殊情形，也逃不过你的眼睛！
师：因此，这个常数应满足什么条件？
生（齐答）：应该是小于||的正数.
教师强调说，这个条件非常重要.让学生归纳出完整的双曲线定义，教师投影（略）.
之后，学生类比椭圆得出双曲线的焦点、焦距等相关概念.
局部探究后评说
由上不难发现，对“到两个定点的距离之差的动点轨迹是什么？”这一未知曲线的探求，构成了一个完整的局部探究的过程.第一步先让学生画图尝试，有困难时，教师启用拉链，再通过《几何画板》，直观、动态的教具演示等操作活动，激发起学生探究的兴趣和求知欲，突出了双曲线的形成过程；第二步，主要是让学生尝试归纳，通过类比椭圆初步得出双曲线的定义，以训练知识、方法的迁移；第三步，学生C能马上答出：漏掉“小于||”的条件，是缘于部分学生已经会进行方法的类比迁移，由椭圆的常数有限制条件，类比、猜想出双曲线也应有.然后师生借助图形，对常数应满足的条件的一些“退化”情形进行分析、探究，经过交流、反思和补充，完善了双曲线的定义.
三、对概念的形成过程实施局部探究的几点思考
上述两个课例的局部探究主要是通过精心预设系列问题，运用动手操作、演示、小组合作、对话、交流、评价等方式，让学生经历观察、思考、尝试、归纳、类比、质疑，以及分析、综合、抽象等活动过程，不仅有助于学生概念的形成、深化理解和迁移应用，更重要的是让学生通过亲身参与、成功体验，有助于培养学生思维的全面性、深刻性、批判性和创造性，有助于弥补学生的质疑缺失.上述课例为今后更好地实施局部探究，提供了如下方法论的启示：
对概念的形成过程实施局部探究，往往离不开问题，其主要标准，一是提出的问题要能引发学生积极思考和探究热情，二是提出的问题要符合学生认知的最近发展区，具有层次性.侧重以问题驱动实施局部探究的概念有很多，如函数单调性的定义、函数的零点、直线的斜率、数列等.
对概念的形成过程实施局部探究，往往伴随着尝试、特殊化、类比推理等.尝试、特殊化是局部探究的先行者，类比推理能启迪人们思维，是局部探究的助推器，是数学发现、发明的主要源泉.许多数学概念，如等比数列，对数函数，双曲线、抛物线的定义之间等，都可以用类比获得.但类比是否为真，需逻辑论证.
对概念的形成过程实施局部探究，常常需要借助动手操作、演示，以体现“做中学”的理念.立体几何中的异面直线、线面平行（垂直）、面面平行（垂直）、点面（线面、面面）距离等许多概念，都可以借助于实验、演示、操作以及不同数学语言间的转化形成.当然，代数、三角分支中也不乏这方面的概念.
对概念的形成过程实施局部探究，当然要考虑有效性.在教学预设时，需要把握不同概念的特点，选取合适的探究方式；在实施过程中，教师要给予学生适时地引导、点拨，化解探究活动中的障碍，促进局部探究的顺利实施；对问题探究后的交流、评价以及小组合作，既有益于同伴之间的思维碰撞，也有益于培养学生概括能力，但需控制好时间.其实，实施局部探究也是将学科知识转化为教学知识的重要途径.
质疑意识是中学生普遍缺失的，在某些课堂，师讲、生听，师问、生答的现象大量存在，学生成天忙于应付作业，鲜有自己的想法，亟待我们的教师为他们补上“质疑”这一课！课例中的反问：“何以见得∠EPF是确定的？”“为什么没有轨迹？”学生问得好！课例中教师一句“哪位同学要补充？”“还有其他情形吗？”教师提醒得到位！在培养学生质疑意识、完善认知结构方面，上述课例已迈出成功的一步.同时，对概念的来龙去脉进行了局部探究，这种返璞归真的教学方式可以影响学生的学习方式，有助于学生养成严谨、务实的良好习惯，这正是新课改所期盼的.
注释：
①朱水根，王延文.中学数学教学导论.北京：教育科学出版社，2001.
②王华民.让局部探究成为数学课堂教学的常态.中学数学教学参考，2008，（8上）.
③王华民.2010年度全国教育科学规划数学教育专项研究课题：高中数学学科教学知识（PCK）的案例研究.
④华志远.“超前尝试、同伴成长”课堂教学设计的案例研究.数学通讯，2010，（4下）.