基于偏微分方程框架分析下期权定价中Black-Scholes模型与二叉树模型
◆石雨辰
摘要： 近年来，期权定价理论和衍生的产品越来越广泛。期权的定价原理基本上可以分为蒙特卡罗模拟法、偏微分方程方法、动态规划法，有限差分方法等。关于期权定价，其中最著名和适用最广泛的方法有两种，一种是动态规划法中的二叉树期权定价模型，另一种是偏微分方程法中的Black-Scholes期权定价模型，两种方法在实际中都得到了大量应用。本文通过对两个数学模型的整合和分析，做优缺点对比，整理总结两个模型各自的适用范围。
关键词： 期权定价；二叉树模型；Black-Scholes模型
一、期权理论在国内外的发展
最早期权定价的研究大概是上世纪60年代，Bachelor 在其博士论文中提出了股票价格的布朗运动假设，并运用其对欧式期权进行定价，然而模型中有几点假设与实际市场不符：股票没有回报、买进价格可能大于股票实际价格、股票价格可能为负。自从1965年F.Black从事认股权证定价研究，与传统方法不同他希望一些简单的假设：1.忽略交易费用；2.借贷利率相同且为常数；3.股票价格是常数波动率下的几何布朗运动。他通过无风险对冲技巧，建立了认股权众偏微分方程，即Black-Scholes方程。1970年，M.Scholes与R.Merton及F.Black为最后一段公式进行了补充说明认识到只有在不存在套利情况下，期权价值才可以在此公式下进行定价。事实上，若假设股票的期望收益率是无风险利率，则相应期权的期望收益率也是无风险利率。这个公式使Scholes 与 Merton 于1997 年获得诺贝尔经济学奖。
3月21日，青岛莱西经济开发区与北京鸥瑞智诺能源科技公司签订战略合作框架协议，在莱西经济开发区建设总投资100亿元的新能源汽车整车制造项目。项目将于2018年10月开工建设，2019年峻工投产。该项目将在青岛莱西经济开发区内投资建设年产20万辆新能源汽车及其配套产业园，项目全部建成投产后，预计可实现新能源汽车年产值300亿元；附属零部件企业9家，年产值200亿元。此外，项目还将建立新能源汽车研发中心（中国汽车工业发展研究中心莱西分中心）和国家实验室。成立新能源产业基金，主要用于新能源汽车产业园区的开发及建设。
对如今比较流行的定价方法比如Black-Scholes偏微分方程解、二叉树方法、蒙特卡洛模拟、有限差分方法和解析近似方法等。但由于Black-Scholes模型假设条件比较苛刻，涉及的数学知识很深，而且适用条件十分有限，因此在1979年，Cox，Ross，Rubinstein提出了期权定价的二叉树模型。该模型易于理解，方便计算，理论比较直观，不仅适用于欧式期权的定价，而且也适用于美式期权的定价，应用比较广泛，已经成为金融界最基本的期权定价方法之一。而后随着研究的深入，解析近似方法，Monte-Carlo模拟，有限差分方法逐渐进入人们的视线。
二、研究期权定价的目的及其意义
首先，在日益波动的全球经济环境下，经济全球化和许多心情国家的迅速 崛起，海边了原有的商品市场格局，带来了经济发展的不确定性。物价波动造成的名义利率与实际利率相脱节，金融自由化的趋势，信息技术的进步使得市场价格波动进一步加快，使得许多金融工程和金融技术进一步发展。期权作为金融基础产品中的重要一员，虽然在国内发展还不太完善，以欧美为主的期权市场占据了世界市场，但是我国的期权交易市场也进入了新的时段，市场的参与者的结构也会发生相应的变化，市场价格的走向预测就是交易的动力。
不合理低价游是旅游业的“痼疾”，给旅游市场造成许多问题。第一，导致了企业之间的恶性竞争，扰乱了正常的旅游市场秩序，破坏了行业规范和商业生态，损害了行业声誉。第二，导游擅自缩减游览项目、增加购物点、诱导胁迫游客购物，导致游客投诉，降低了旅游服务质量，也损害了旅游者合法权益。原国家旅游局监督管理司司长彭志凯曾在2015年2月公开表示，“不合理低价”问题是我国旅游市场秩序的“百病之源”。这足以说明不合理低价游对整个旅游市场带来的危害。因此，如何消除旅游市场不合理低价游现象是一个非常迫切的关乎旅游业未来发展的问题。
其次，由因为金融市场的高风险性与不确定性,人们不断在研究如何利用各种条件准确评估期权和资产风险或衍生证券价格。金融数学模型的建立,对金融市场风险分析、监控与预测起着重要的作用。而定价是期权的核心，是期权领域最有使用价值的研究方向。而Black-Scholes公式和二叉树方法是期权定价领域最基础和拓展最常用的两个模型。
黄连解毒汤为唐代王焘所著《外台秘要》中所收载的名方，由黄连、黄柏、黄芩、栀子组成，功能为清热燥湿、泻火解毒，主治三焦火毒热盛证，症见大热烦躁、口燥咽干、错语不眠；或热病吐血、衄血；或热甚发斑、或身热下痢、湿热黄疸；或外科痈疡疔毒、小便黄赤、舌红苔黄、脉数有力。方中以黄连为君，既入上焦以清泻心火，盖因心为君火之脏，泻火必先清心，心火宁，则诸经之火自降；又入中焦，泻中焦之火。臣以黄芩清上焦之火，黄柏泻下焦之火。栀子淸泻三焦之火，导热下行，用为佐使。诸药相伍，共奏泻火解毒之效。
1.在一般情况下，如果人们对期权定价理解不是很透彻，就可以直接应用二叉树方法求出期权价格，这种方法要求的数学知识不难，只要通过适合算法进行大量的迭代计算得到比较精确的答案。2.二叉树模型的应用特别广泛：不仅可以为无收益资产定价，也可以为有收益资产定价。从二叉树的末端开始推到可以得到期权价格。3.通过离散时间模型中对时间分隔的进一步求极限，CRR期权定价模型可推广到一般的连续时间模型，适用范围广。4.对于美式期权中的提前执行的情形定价较差，因为抽取样本越少，运算就越少，难得到期权的价格的精确值。5.为了定价更加精确，需要大量的迭代，当变量较少时，该方法计算收敛性差。
三、相关结论
（一）二叉树模型的主要优缺点：
综上所述，期权作为当下金融领域中广泛应用的金融衍生工具，在金融市场投资产业链等方面产生了深远的影响，通过结合随机过程，偏微分数值解等数学领域知识，对期权定价模型作进一步的分析与研究，帮助加深对金融市场更准确的风险分析，预测和监控。
（二） Black-Scholes 期权定价优缺点
1.只适用于欧式期权和美式看涨期权，美式看跌期权只能得到解析近似解。2.偏微分方程求解复杂。非数学专业人士可能对求解方程有一些困难。3.只适用于连续时间模型。4.对欧式期权定价计算准确简单，可直接代入Black-Scholes 期权定价公式进行计算。
（三）二叉树模型与Black-Scholes模型的关系
实际上，当二叉树模型连续两个步骤之间的的时间间隔趋于0，该模型将会收敛到连续的对数正态函数，即Black-Scholes偏微分方程。
四、结语
因时间问题，本文只对典型模型,CRR模型和B-S模型做了印证和分析，对其他期权定价模型并未全部介绍，日后若有时间，希望可以对期权定价问题做全面的了解，并对本文没介绍的蒙特卡洛模拟法，有限差分方法等作进一步的学习。
（作者单位：首都经济贸易大学金融学院）