活用信息技术突破数学教学难点，本文主要内容关键词为：信息技术论文,难点论文,数学教学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
随着信息化程度的不断提高，借助信息技术突破数学教学难点，已不是要不要的问题，而是如何做的问题.如何用技术更好地呈现数学的内容？如何借助技术帮助学生理解数学的本质？如何用活技术促进学生思维的发展？本文列举几个案例以期抛砖引玉.
一、技术为突破概念学习难点添砖加瓦
全面、准确地理解概念是数学学习的关键.技术可视化的特点使得数、式、图、表等形式能直观、动态、相关联地得以呈现，这种多元联系表示为数学概念的认知提供了有力的支持.
案例1：任意角三角函数的单位圆定义[1].
为什么要引进任意角三角函数？任意角三角函数并不是锐角三角函数的简单推广，它是刻画现实世界中周期变化现象的重要函数模型.由于匀速圆周运动是最典型、最常见的周期现象，因此借用质点作匀速圆周运动时所涉及的变量关系来构建新函数是自然合理的.
由于三角函数是超越函数，不能用有限次的代数运算进行符号表示，因此要理解概念重在借助单位圆来刻画角与坐标（或比值）之间的对应关系，并将其转化为实数与实数之间的对应关系.要理解形与数的联系、变换，是学习中的一大难点.
借助“几何画板”可以直观呈现质点的匀速圆周运动，观察运动中涉及的相关变量，如质点运动所经过的弧长，该弧所对的圆心角、质点的坐标等，再测量这些变量的值，分析点P的运动引起的各种图形变化和数量变化及其关系.
为了更好地呈现任意角三角函数是实数与实数之间的对应，以正弦函数为例，可以新建参数a作为自变量，将点（1，0）绕着原点O按a弧度大小旋转到点P位置，测量出点P的坐标；以a和
为变量制表，再以a为横坐标，点P的纵坐标为纵坐标，画出点M（a，）.则可以任意给定一个实数a的值，按照作图规则，都有唯一确定的实数与之对应（图1）.
若建立运动控制台变化参数a的值，就能在一个页面上观察到数a变——角度在变——终边OP在旋转——点P作圆周运动——点P坐标（x，y）变——变量a和列表对应——画点M（a，）——点动成线得到关于a的函数图象——定义sina=.这种多元的对应、联系和变化的整体印象，所造成的视觉冲击和心灵震撼是传统教学工具很难比拟的.
二、技术为突破解析几何数与形关系保驾护航
解析几何的基本原理是用代数方法研究几何问题.学生往往会因解析几何题作图繁、运算难，而“望式兴叹”“一筹莫展”，导致某些自然合理的想法难以实现，降低了对核心思想方法重要性的认识、而图形计算器等现代技术兼具几何表述与代数运算两项功能，是学习解析几何的强有力的工具，它可以有效地保障学生在数学思想的指导下“一做到底”，也为学生更深刻地领悟其核心思想而保驾护航
案例2：双曲线的定义与方程.
首先，用图形计算器探究一定条件下的轨迹生成.
问题1 我们知道平面上到两定点距离之和等于常数（大于两定点距离）的点的轨迹是椭圆，如果将“和”这种运算进行类比推广，你可以提出哪些新的问题？
分析：利用类比，提出下列问题是自然的：
（1）平面内，到两个定点的距离之差为常数的点的轨迹是什么图形？
（2）平面内，到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是什么图形？
（3）平面内，到两个定点的距离之商为常数的点的轨迹是什么图形？
由“和”自然想到“差”“积”“商”等问题，根据几何条件，描一些点容易，画成线则难，但如果借助图形计算器，就可以“敢想”“敢做”，轻松地实现点动成线.下面以“差”为例进行操作：
（1）在“图形”界面内，任意取一点M，画出点A和点B；
（2）作出线段AM、BM，并测量出它们的长度；
（3）用“文本”工具输入a-b，通过计算，分别赋予a、b为AM、BM所测量出的值，得到｜AM｜-｜BM的值，显然当点M变化时差值也随之变化，可移动点M使差值达到需要的定值；
（4）选择这个差的属性，并且“锁定”这个对象，于是点M的运动必须符合两线段之差等于这个被“固定”了的常数；
（5）选择点M，确定M为“几何跟踪”的对象；拖动点M，观测点M的运动轨迹发现是双曲线的一支（图2）.
类似地，可以改变其几何条件，对轨迹形状进行研究.如用“文本”工具输入“｜a-b｜”（图3）或“a·b”（图4）“a/b”（图5）等，进行相似操作，就可得点M的不同轨迹.
这种“锁定”功能，让变与不变直接沟通，为学生进行自主探究提供了切实的保障.
其次，利用技术，实现曲线与方程的“无缝对接”.
问题2 根据定义求方程，根据方程研究曲线是数学学科的重要内容，它充分体现了解析几何的核心思想.同一条曲线，选择不同的直角坐标系会有不同的方程形式.为了用方程更好地研究曲线，求方程时自然追求方程形式的简单、优美，那么该如何选择坐标系呢？
分析：学生往往只凭直觉判断选择坐标系，虽然熟悉求方程的程序，但若理性地分析“为什么”，却总是碍于运算而显得有心无力.
借助GeoGebra软件，可以使具体的曲线与方程能跨过繁杂的运算而做到“无缝对接”（图3），让学生能更直接地在“做”中观察，在“思考”中领悟道理，让学生看得更“远”，想得更“深”.
操作：（1）如图6，直接在Graphics（绘图区）页面由两焦点A、B和双曲线上一点C画出双曲线，此时在Algebra（代数区）页面就直接显示出点A、B、C的坐标以及双曲线c的方程；
（2）移动点A、B或点C的位置，可以改变双曲线的形状大小，也可直接选定双曲线作平移或绕某点作旋转变换而不改变其形状大小，在这些变化过程中可随时观察到双曲线方程的相应变化；
（3）通过观察、猜想、检验，发现移动点A、B到坐标轴上且关于原点对称时，所得的曲线方程形式最简单.
最后，借助技术，突破运算难点.
问题3 在任意建立的直角坐标系下，双曲线的方程具有怎样的一般形式？
分析：设双曲线两焦点的坐标为A（m，n）、B（k，g），曲线上的点到两焦点的距离之差的绝对值为2a，设双曲线上任意一点P的坐标为（x，y），则
要化简此式，令人望而生畏，但有技术支撑，即使运算能力弱的学生也可手到擒来.
用图形计算器整理结果是：
其一般形式为x、y的二元二次方程
，要使此方程形式更简单，只需适当调整A（m，n）、B（k，g）的坐标即可.
在解析几何运算中，往往算理简单，但计算繁杂.为此教学中常引进了很多“迂回技巧”，造成学习中一些不必要的难点，偏离了学生对于通性通法的理解.有了技术，“想”到就能“做”到，难点无需回避；有了技术，可以削枝强干，让思想走得更远.
三、技术为突破问题解决难点提供认知工具
数学教学是思维的教学，为了在中学数学教学中进行创新教育，把“听”数学改变成“做”数学，加强学生自主探究、创新应用的环节，“问题解决”应当成为基本模式.即让学生主动经历提出问题、分析问题、解决问题、理性归纳等几个程序.而信息技术可以结合教学内容，有机地运用到其中一个或几个环节中，为其更好地提供服务.
案例3：最小二乘法.
最小二乘法是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和来寻求最佳的函数匹配，作为统计中的重要方法，其教学过程有以下一些难点：统计源于真实问题，有效的统计需要大容量的样本才能反映出总体的规律，这给数据的采集以及图表分析带来困难，构成操作上的难点；寻求线性函数近似表示变量间的相关关系时，探究最优化的定量标准，并剖析其中的科学性与合理性，是策略上的难点；研究最小化误差的平方和，即含两个变量且运算繁杂的函数的最小值，是对数学技能的极大挑战.
学生在掌握技术的环境下，能轻松突破一些操作性的技能，将更多的精力投入到一些策略性知识的思考与运用上.
技术辅助下的教学设计：
发现并提出问题：一位学生的数学成绩与物理成绩之间有着怎样的关系？说说你的初步观点以及数学研究的思路.
研究的思路遵循统计的思想和方法，经历采集样本数据—画散点图—根据图形特点作出定性的判断—探求回归直线的方程进行定量刻画.
思考1：如何获取一组真实而有效的数据呢？
操作1：借助TI图形计算器可以实现当场采集全班（校）学生在某次考试中的真实数据，在电子表格中汇总后将样本数据传输到每一位学生的计算器上，方便每位学生进行独立分析.
思考2：如何处理数据以便能更直观地判断这两个变量之间的关系呢？
操作2：利用图表作定性判断.在电子表格上将数据中“数学成绩”按从高到低排列，观察“物理成绩”的变化规律，x轴表示数学成绩、y轴表示物理成绩，作散点图，利用技术可以又准确又快捷地实现.（图7）
思考3：该散点图呈现出哪些特点？结合图象，你会用怎样的一条直线来近似地刻画这两个变量之间的关系？
操作3：在散点图中添加一条可移动直线，尝试着移动直线，使得散点图中点的分布从整体上大致在这条直线附近，测量出这条直线的方程，并相互展示操作结果.
思考4：这条直线一般称为回归直线.但仅根据观察，面对同样的数据，不同的学生有不同的判断结果.客观上，哪一个函数更能代表这两个变量的关系呢？这需要确立一个比较科学合理的评价标准.
操作4：借助技术，可在页面上移动添加的直线，对实际值
与预报值b
+a的偏差进行直观的分析；也可对偏差的平方和（用正方形面积）进行可视化和数量化的分析（下页图8）.逐步实现定性到定量的过渡，并对定量化标准进行讨论、评价、调整.
思考5：你能借助计算器，进一步求出问题中各点到直线y=bx+a的“整体距离”最小时a、b的值吗？
操作5：如果确定“实测点与预报值之间的偏差的平方和最小”为评价标准，即求a、b的值，使得
的值最小.利用图形计算器中的运算功能，对具体函数进行代数运算的设计.
如图9所示，x、y表示数组，其中
，先用函数sum（）求和m（a，b）；将其看成是a的函数，利用函数
，求得函数取最小值时a的值
；再将此值代回m（a，b）得到关于b的函数；求此函数取最小值时b的值，由求得a值.
如果用
刻画“各点与此直线的距离”，以Q（a，b）的最小值作为优化的标准，理论上也是可行的，通常称其为“最小一乘法”，但学生用技术进行操作时会发现，当样本数据过多时，机器会进入死机状态，技术也有为难的时候.这也为“二乘法”的合理性做了另类的解释.
思考6：反思求回归方程的过程，你获得了哪些知识与方法？有什么体会？
以上设计以统计思想为主导，以问题引导为主线，以学生的观察猜想、抽象概括、质疑推断为核心，以学生自主操作技术为辅助，从而达到解决实际问题并提炼出数学方法的教学目标.
四、对技术使用的认识
在高中阶段，涉及有关函数、解析几何、统计、微积分等知识的教学和研究性学习中可以广泛地应用图形计算器等技术，另外，随着课程、教材改革的深入，更多的综合性课程、教材正在形成，在这些综合性学科中，把信息技术整合进去，也是势在必行.
技术的可视化特点可以直观地体现数学的整体性和联系性，帮助学生更深刻地理解数学的本质；技术使得数学教育摆脱了一些运算、作图的束缚，真正指向问题解决能力的培养；技术越来越成为学生进行数学学习强有力的认知工具，它使得学生的学习可以更为自由主动，数学思维得以真正的解放，思考更为深远，为创造性思维的培养创造了更有利的环境；技术支撑的数学实验也在一定程度上改变着学生的数学观[2].
但技术是“死”的，用“活”技术还需要“思想”的指导.针对不同数学内容的学习特点，灵活地选用合适的技术，合理地呈现数学对象，帮助学生更好地理解数学.这需要教师理解和掌握技术，基于对数学知识、学生学习和教学的理解基础上运用技术，并将它们进行有机的融合.没有思想指导下的技术使用必将是死板的、低效的.