悖论的自指性与循环性，本文主要内容关键词为：悖论论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：B81 文献标识码：A 文章编号：1674-3202(2014)-02-0001-19 一组语句要导致悖论，这组语句是否一定是自指的，是否必定基于某种循环性？很长一段时间，人们都倾向于肯定地回答这两个问题：自指性、循环性是导致悖论的一个必要条件。但自从亚布鲁提出一个含有无穷多个语句的悖论之后，分歧无可避免地产生了。分歧产生于亚布鲁悖论究竟是不是自指的，其矛盾性是否基于循环性。亚布鲁自己对这两个问题的回答都是否定的。([12])围绕者这两个问题，不同的阵营产生了，有些人支持亚布鲁对其悖论作出的非自指非循环论点，当然也有人不同意亚布鲁的观点，认为亚布鲁悖论只是说谎者的一个巧妙变形，把说谎者在语句上的自指通过隐秘的方式转移到谓词上而已([9])。 笔者在[4]中已就亚布鲁悖论是否自指是否基于循环进行了分析，这里无意于再次纠缠于亚布鲁悖论。本文要对所有的真理论悖论进行通盘考虑，分析究竟哪些悖论必定是自指的，哪些悖论必定依赖于循环性。在这两个问题上，将会看到悖论中含有语句是否有无穷多是至关重要的。本文的主要目的就是要证明：有穷悖论，也就是那些只含有有穷多个语句的悖论，一定是自指的；同时，有穷悖论的矛盾性必定依赖于循环性。当然，我们还会指出在无穷悖论的范围内，非自指(但基于循环性)的悖论是存在的——此时，亚布鲁悖论又闪亮登场了；不基于循环性(但又自指)的悖论也是存在的——这一次，亚布鲁悖论要靠边站了，下文要给出的超穷赫兹伯格悖论和麦基悖论才是真正的明星。这一切将表明自指性和循环性对悖论而言是完全不同的概念！ 本文的结构如下。第1节在命题逻辑的范围内引入语句网用以表达悖论。第2节讨论悖论与自指性之间的关系，主要证明有穷悖论必然是自指的。最后，第3节讨论悖论与循环性之间的关系，主要的结论是有穷悖论发生矛盾的条件必然包含循环性条件。 在本文中，框架指的是二元有序组
，其中W为非空集，R为W上的二元关系。为简单起见，将用
1 语句网与悖论 表达悖论的标准语言是带真谓词符的一阶算术语言，但是在文献中事实上还有一种更简单的语言，使用这种语言，也可以对各种真理论悖论进行表达。这种语言之所以简单，就在于它本质上是一种命题语言，其中甚至不含表达真谓词的符号。 1.1 语句网
下面借助二元算子符号“∶”(称为“指向算子”)来规定语句网，这个概念正是用来表达悖论及其相关对象的形式手段。① 定义2 子句规定为形如π∶A的表达式，其中π是变元，A是公式。语句网规定为满足一致性条件的子句集，即满足条件：如果π∶A和π∶B都属于这个子句集，那么A和B是同一公式。特别地，当语句网中仅含一子句时，约定集合括弧省略。 下面通过克里语句来说明语句网构造的思想。克里语句如下： 如果语句(1)为真，那么圣诞老人存在。 (1) 首先，这个语句中出现了“圣诞老人存在”这种常规的原子语句，如常可用一个命题变元去表示，这里用
表示。这个语句中还出现了“语句(1)”，这个词项被用来代指某个带有标签的语句，无妨把这种词项称为交叉指称项。 克里语句的特殊之处正在于交叉指称项的出现，语句网的引入也正是要表达出克里语句中交叉指称项对语句的指称关系。如果我们用
表示交叉指称项“语句(1)”，那么。
所指的不是别的正是“如果
为真，那么
”。因为在当前所使用的语言中并没有特定的符号表示真谓词，这里约定：断定一个语句为真相当于断定这个语句本身，反之，断定一个语句为假相当于断定这个语句的否定。这样，
所指相当于“如果
，那么
”。由此，很自然地，克里语句就表达为语句网
。因为这个语句网是单元集，也可把它记为
。 类似地，不难看出说谎者语句对应语句网
，诚实者语句对应
。佐丹卡片悖论或明信片悖论由下面两个语句构成： 语句(2-2)为假， (2-1) 语句(2-1)为真。 (2-2) 这个悖论对应语句网
。文兰[14]提出如下悖论： 语句(3-2)为真，但语句(3-3)为假， (3-1) 或者语句(3-1)为假，或者语句(3-3)为真， (3-2) 语句(3-1)、(3-2)都为真。 (3-3)文兰悖论对应的语句网为：
以上所讨论的悖论都是有穷悖论，即只含有有穷多个语句的悖论。下面讨论无穷悖论。亚布鲁在[11]，第340页提出的悖论就是一个典型的无穷悖论。对任何自然数n，令
顺便指出，当α是有穷序数n－1时(n≥1)，在α-元赫兹伯格悖论的规定中去掉第三个条件，则相应地规定出来n-卡片悖论，这是佐丹卡片悖论的推广(佐丹卡片悖论就是2-卡片悖论)。读者不难用语句网表达这些悖论。 从上面的例子可以看出，任何真理论悖论都可由一个语句网来表达，这个语句网所展示的是悖论所含语句之间相互的指称关系，它代表了悖论特殊的一面。 1.2 可容许赋值 接下来考虑语句网的语义。首先对公式作出解释。下面的解释本质上是经典二值的，即按命题联结词的通常意义(真值函数)在关系框架上进行解释。 定义3 框架
中的赋值指从变元集到
(W)(W的幂集)的一个映射V。可把它唯一地拓展到整个公式集上(拓展后的映射仍称为赋值，仍使用原先的记号V)，使之满足：
如通常，V(A)将被称为是A在κ相对于V的值。 定义4 令V是框架
上一赋值。称V是语句网∑在κ中的一个可容许赋值，如果对所有的π∶A∈∑，都有
下一定义源自[3]和[16]。 定义5 如果语句网在一个框架上不存在可容许赋值，那么就称这个语句网在这个框架上是矛盾的。若∑在极小自返框架中是矛盾的，则称∑是悖论的。 这个定义实际明确了悖论发生矛盾是基于一定的框架条件的。例如，对于说谎者悖论，有下面的结论成立：说谎者悖论
在一个框架上是矛盾的，当且仅当这个框架含有奇循环。[15]对于佐丹卡片悖论，
在一个框架上是矛盾的，当且仅当这个框架含有高度不能被4整除的循环。[17]亚布鲁悖论与说谎者悖论的矛盾程度相同，即它也在同时也仅在含有奇循环的框架上是矛盾的。[4]一般地，可以证明： 定理1 对任意正整数n，n-行亚布鲁式悖论与n-卡片悖论的矛盾程度都是相同的，即它们在任何框架上或者同时是矛盾的或者同时是不矛盾的。 定理2 对任意正整数
，n-卡片悖论在一个框架上是矛盾的，当且仅当这个框架中含有高度不能被
整除的循环。 这两个结论的证明分别参见[4]和[5]。 2 悖论与自指 这一节探讨悖论与自指的关系。我们旨在澄清两点：第一，自指是可形式化的，而且仅仅从语句的形式就可对语句的自指性作出判断；第二，证明悖论如果是有穷的，那么就必然是自指的，同时指出存在某些非自指的无穷悖论，比如亚布鲁悖论。 2.1 直接自指与间接自指 我们还需要一些图论概念。 定义6 给定框架
。对W中点的序列
，如果对任何
都成立，那么称它(在κ中)是一个长度为n的有向路，并分别称点，
为它的起点、终点。特别地，起终点相同的有向路称为是闭的；一个有向路，如果其中除了两个端点之外，任何两个点都没有重复出现，那么称之为有向轨道。有向循环是指有向的闭轨道。 下面两个定义来自于[1]。 定义7 对于语句网∑，规定其依赖框架为框架
如下②： (1)W=｛π存在A使得，π∶A∈∑｝。
定义8 如果语句网的依赖框架中含有有向循环，那就称这个语句网是自指的。特别地，如果这个语句网所含有向循环至少有一个长度为l，那么就称这个语句网是直接自指的；否则，称之为是间接自指的。 例如，说谎者语句
、诚实者语句
∶
以及克里语句
的依赖框架显然都是单点自返框架，因此它们都是直接自指的。而佐丹卡片悖论
的依赖框架中含有两个点，这两个点相互通达对方，但不通达自己。因而，佐丹卡片悖论是间接自指的。更一般地，对任意n≥2时，每个n-卡片悖论都是间接自指的。 此外，根据定义3对超穷赫兹伯格悖论的形式化，可以看出，对每个超穷序数α，α-元赫兹伯格悖论的依赖框架中都含有有向循环
。所以，每个超穷赫兹伯格悖论都是间接自指的。类似地，麦基悖论也是间接自指的。 下面讨论亚布鲁悖论的自指性。我们将一般性地讨论亚布鲁式悖论及其更一般的变形。为此，对任何正整数n，规定语句矩阵
如下：
命题1 对所有的正整数n，n-行亚布鲁式悖论都不是非自指的。 证明：注意到，否定符号在n-行亚布鲁式悖论中的出现不会对其自指性产生任何影响，因此，可考虑下面的语句网：
亚布鲁悖论的非自指性早在亚布鲁刚刚构造这个悖论之初即已指出。事实上，当初亚布鲁构造这个悖论的基本目的即是要给出一个非自指的悖论[12]，第251页。但那时，对自指的认识还只是停留在直观水平，亚布鲁本人没有对这个悖论的非自指性以及他所声明的另一特征——非循环性——做过任何实质性的说明。之后，人们就亚布鲁悖论究竟是否有这两个特征展开了激烈的争论。上一命题可看作是对亚布鲁直观认识的一个严格证明。 2.2 有穷悖论的自指性 刚刚证明了亚布鲁悖论是非自指的，这与先前见到的其它悖论形成对照，尤其对有穷悖论的考查，我们猜测有穷悖论只能是自指的。本节将证明这个结论。 先给出一个似是而非的“反例”：子句集
是悖论但非自指的。这个例子的证明是显然的，略去。在这个例子中，变元
指向两个不同的公式。而且被指的两个公式是相互矛盾的，这是这个例子悖论性所在。但是，在自然语言中，当我们建立悖论时，永远不会用使用一个语句名称同时指称两个不同的语句对象。因此，上面的例子是人为地造出来的，不会是任何悖论的语句网。这也是语句网的规定中有一致性条件的缘由。
定义9 给定变元集X，语句网∑的由X生成的(长度为ω的)修正序列定义如下：
定理3 有穷语句网若是悖论的，则必定是自指的。
为证论断，首先注意∑是有穷的，所以它的依赖框架κ也是有穷的。其次，我们证明：在框架κ中，一定存在这样的点，没有任何一个点通达它。为简便起见，可称这样的点为源点。假设κ中没有源点，则κ中的点必定会形成序列
，使得
，如此等等。但κ中只含有有穷多个点，所以上一序列中的点必定重复。于是，上述序列中必定包含一个有向循环，矛盾。
上面一个定理说的是，如果想到构造非自指的悖论，仅仅使用有穷多个语句是不可能做到的。这就表明，亚布鲁悖论(以及其它任何一个n-行亚布鲁式悖论)作为一个非自指的悖论是“极小”的：至少需要借助可数无穷多个语句才有可能构造这种悖论。 3 悖论与循环 本节探讨悖论发生矛盾是否基于一定的循环性条件。我们首先规定在何意义下，悖论发生矛盾依赖于一定的条件，然后，分有穷、无穷悖论探讨悖论矛盾与循环性之间的关系，我们将指出两种无穷悖论，其矛盾性不必基于循环性，同时还要证明有穷悖论的矛盾性必定基于循环性。 3.1 循环依赖性 在图论中，不含循环的图叫做森林。下面的规定是在框架上作出的。 定义10 在一个框架中，任何相邻的两个点u、v都能形成一个循环u v u，这样的循环成为非真循环；除此之外的循环都叫真循环。如果一个框架中任何两点之间最多只有一条轨道相连，那么称这样的框架为森林。森林的一种特例叫树，它的特点是其中任何两点之间有且只有一条轨道相连。 定义11 如果语句网在森林中总是不矛盾的(换言之，使语句网矛盾的框架一定不会是森林)，那么称之为循环依赖的，否则称之为是循环独立的。 直观上，循环依赖的悖论就是那种矛盾性必然依赖于某种真循环的悖论，反之，循环独立的悖论则不必基于循环性也会发生矛盾。根据刚刚提到的结论，说谎者悖论、佐丹卡片悖论、亚布鲁悖论都是循环依赖的。更一般地，根据定理1和定理2，对任意正整数n，n-行亚布鲁式悖论和n-卡片悖论都是循环依赖的而且还是依赖于相同的循环性。一个自然的问题是：是否存在循环独立的悖论呢？回答是肯定的，我们将给出两个例子。
命题2 对无穷序数α，α-元赫兹伯格悖论在所有非良基的框架中都是矛盾的。 证明：令
是框架。首先注意，赋值V是κ中α-元赫兹伯格悖论的可容许赋值，当且仅当下列条件成立：
命题3 麦基悖论在所有非良基的框架中都是矛盾的。 证明：首先注意，V是κ中麦基悖论的可容许赋值，当且仅当
上述两个结论表明，超穷α-元赫兹伯格悖论和麦基悖论不但可以在含有有向循环的框架中是矛盾的，而且还可在含有无穷有向路的框架中也是矛盾的。因此，即便框架不含任何真循环，它们也可能在这样的框架中矛盾。所以，它们都是循环独立的。 3.2 有穷悖论的循环性
因为不论何种子句集，它在空关系的框架中都不是矛盾的，所以，上面的结论意味着子句集
在矛盾程度上必定不弱于任何其它子句集。在这个意义上，此子句集的矛盾程度是最大的。但这个子句集在自然语言中没有对应的悖论，因为它不满足一致性条件。事实上，我们将证明任何有穷悖论必定是循环依赖的。 定理4 悖论语句网若是有穷的则必定是循环依赖的。 显然，为证定理4，只需证有穷语句网在树中都不是矛盾的。下面通过一个例子来说明证明的基本想法。
图1：定理4证明思想 从上面的计算过程可以看出，寻找符合要求的赋值过程就好像是以一个猜测作为起点的搜索过程。搜索的关键在于如何从相关命题变元在一点处的真值“跳到”命题变元在与之相邻的点处的真值，而且还得保证这种跳跃总能无穷尽地持续下去(因为树可能是无穷的)。这种跳跃(按箭头指向)可能是“向前的”(比如，从
到
)，也可能是“向后的”(比如，从，
到
)。显然，向前的跳跃总是可行的，但向后的跳跃却不然。寻找赋值的过程主要的难点就在于不是每次向后的跳跃都能成功。
为了解决上述困难，可使最初的猜测不那么随意，以便在以后的各次跳跃中都能顺利的进行下去。解决之道是去寻找相关命题变元真值列的一个“循环链条”，使得此链条中的任何真值列都是它(紧接着的)之前真值列的一次成功的向前跳跃。对于上一例子中的公式，这样一个链条已依序显示在点
(此处真值列为：
为真，
为假，
为真)、
最后到
(此处真值列重复之前刚刚提到的那个)。显然，选取这个链条中任何一个真值列作为初始猜测，由此猜测出发，按照链条中的次序，不难“历遍”整个树的其它所有点，逐步计算命题变元
在各点处的真值。整个计算过程不过是例行的归纳过程。 余下的问题是如何事先确定出相关命题变元真值列的一个“循环链条”。有意思的是，回答仍然是进行“猜测”。但这次，可从相关命题变元的任何真值列出发来进行。正如先前从
到
所做的跳跃那样，我们总可以从此真值列出发“向前”进行跳跃。不断地向前跳跃，一定会出现所需的“循环链条”，因为相关的命题变元只有有穷多个，它们的真值列只有有穷多种可能！这也同时解释了为什么了整个定理的条件要求悖论中只能含有有穷多个公式。
定理4表明所有有穷的悖论都是循环依赖的，也就是说，不可能出现这样的悖论，它的承载者是有穷多个语句，但它出现矛盾的场合完全不依赖于任何真循环。考虑到麦基悖论所含语句有可数无穷多个，可以认为在所有悖论中，就其具有循环独立性而言，它是极小的。当然，就语句的个数多少来说，ω-元赫兹伯格悖论也只含有可数无穷多个语句，因而也是极小的。但是，ω-元赫兹伯格悖论中语句的编号使用了超穷序数ω，而麦基悖论中语句的编号只使用了自然数，所以，后者比前者更简单。 4 结论 我们用语句网表达悖论，并分析了悖论与自指性、循环性的关系问题。总括起来，此问题的回答有否定和肯定两个方面。肯定方面，我们证明了有穷悖论必然是自指的，同时有穷悖论在发生矛盾的时候必然基于特定的循环性。否定方面，我们证明了存在非自指但不基于循环性的悖论，比如亚布鲁悖论及其一般变形n-行亚布鲁式悖论(n≥1)；还证明了存在不基于循环性但自指的悖论，比如超穷赫兹伯格悖论和麦基悖论。 肯定的方面表明虽然自指性和循环性确实不是产生无穷悖论的必要条件，但它们一定是产生有穷悖论的必要条件，因此，还不能把悖论与自指性和循环性绝对地分割开来。否定的方面则表明自指性和循环性对悖论是两个不同的概念，两者不可混淆。从直观上，我们即能发现这两个概念对于悖论的意义是不同的：前者是仅仅是悖论在句法上表达出的性质，与悖论发不发生矛盾无关，而后者则是悖论发生矛盾的条件。本文的论述正是对这一直观的严格表达。 收稿日期：2014-01-06 注释： ①语句网概念来自于Bolander，参见[1]，第87页以下。类似的概念或记法也曾见于[6，10，13]。相关概念史可参见[1]，第108页以下。 ②Bolander的叫法是“依赖(有向)图”(dependence(di)graph)，参见[1]，第91页。 ③这里出现的循环链条有些类似于赫兹伯格的“巨循环”，后者出现在[2]，第150－153页，但我们的循环链条是有穷的，并且只需经过有穷多步计算即可达到。
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