在几何证明中，利用对称的性质来进行论证就是一种形象思维，它起着化抽象为形象、化复杂为简单的作用。因此，巧妙地挖掘数学问题中隐含的对称性，对我们解决相应的几何证明问题有着重要的意义。本文立足于发挥学生个人思维能力、发展对称思想、对打破思维定势，研究对称思想在中学几何证明中的应用有利于学生多层次、多角度地思考数学问题。
一、对称思想在平面几何证明中的应用
从小学刚接触几何图形开始，就要学习图形的对称，可见对称是几何的根本。高中以前，我们遇到的几何对称全部是平面上的对称，那么对称思想在几何证明中又起着什么样的作用呢？
1.轴对称在平面几何中的应用
例：如图1，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的动点，且AE=AF证明在运动过程中，△CEF始终是等腰三角形。
分析:
解法2：∵四边形ABCD是菱形，∴AB与AD关于AC对称。∵动点E、F分别在AB、AD上，且AE=AD, ∴点E与点F始终关于AC对称，∴EC与FC始终关于AC对称，∴运动过程中始终有FC=EC,∴△CEF始终是等腰三角形。
说明：对于此题，绝大部分学生首先能想到运用全等中SAS的来解答，需要考虑线段互补，步骤繁多。但如果用对称性来解答的话，不仅思路清晰而且步骤简短，大大提高解题效率，只是很少有同学能想到。
2.中心对称在平面几何证明中的应用。中心对称在几何中也会经常用到，不仅仅是图形的对称，两点关于定点对称也是中心对称的一种，通过构造点的对称来构造图形的对称。
例：如图2，在△ABC，∠B=90°，点D为AC中点，点E、F分别在AB、BC上，且∠EDF=90°，试证明：AE2+CF2=EF2。
∴AE=MC, ∠A=∠MCD;又∵在RT△ABC中，∠A+∠ACB=90°,∴∠MCD+∠ACB=90°，即∠BCM=90°，在RT△MCF中，利用勾股定理，即MC2+FC2=MF2，AE2+CF2=EF2。
说明：此题运用了轴对称和中心对称，若不利用△AED和△CDM关于D点中心对称，则就必须利用三角形全等，步骤相对繁多，同时也考察了勾股定理和余角互余的知识点的运用。
3.旋转对称的应用。有些图形不是对称图形，但是在解题过程中我们如果运用对称的思想去证明的话将会事半功倍，大大提高解题的速度，提高学习效率。通过旋转可以使图形达到对称的目的，从而快速的完成解题。旋转对称性问题是一类用运动的观点、运动的思想去研究图形性质或图形位置变化的数学问题，这类数学问题常常要运用“动”的思想去观察、猜想、推理、分析，从中寻找规律，把分散的条件相对集中，从而达到解决问题的目的。
例：如图3，以△ABC三边分别作等边△ABD，△BCF，△ACE，求证：DF=AE。
分析：本题中由于DF与AE在不同的图形中，因此欲证DF=AE，可考虑两种方法：（1）证DF，AE分别所在的图形具有全等关系；（2）此题可运用旋转变换使两个图形相互联系，通过中间量替换间接证明DF=AE，以便尽快的找到全等图形。图中有大量的等边三角形，故60°角的出现就成了特殊标志， 因而旋转关系也就建立了。把△ABC绕B点逆时针旋转60°则重叠于△DBF,很明显DF与AC为对应边，可获证。
证明：以B点为中心，把△ABC绕B点逆时针旋转60°与△DBF重叠，则△ABC≌△DBF，∴AC=DF，∵△ACE为等边三角形，∴AC=AE ，∴DF=AE。
说明：此题运用旋转的思想借助中间变量快速的找到全等形，利用旋转的图形的对应边、对应角相等的性质，实现中间变量的转换，快速证明DF=AE。
二、结语
对称思想是中学里一类非常重要的数学思想，从本文可以看出，对称思想更是中学几何中一种重要的思想方法，在证明线段、面积相等时起着非常重要的作用。无论是图形的对称，还是条件或者结论的对称，都能起到简化证明过程的作用，提高学习效率。
论文作者:张美花
论文发表刊物:《素质教育》2016年2月总第195期
论文发表时间:2016/3/31
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