碳捕获与碳封存机制下跨界污染控制微分博弈
程粟粟1,易永锡2,李寿德3
(1.西安交通大学 经济与金融学院,西安 710061;2.南华大学 经济管理与法学学院,湖南 衡阳421001;3.上海交通大学 安泰经济与管理学院,上海 200030)
【摘要】 考虑碳捕获与碳封存过程中知识积累的影响,扩展Bertinelli等的跨界污染控制微分博弈模型,分析两个对称国家在开环战略、马尔科夫纳什均衡战略以及合作3种博弈战略下的碳捕获与碳封存博弈行为及博弈结果。研究发现,在合作战略下博弈参与国捕获与封存的二氧化碳数量最多,马尔科夫纳什均衡战略次之,开环战略下捕获与封存的二氧化碳数量最少。此外,知识积累对跨界污染治理行为具有重要影响,随着知识积累的增加,碳捕获与碳封存的成本降低,尤其是知识积累效率的提高,促使博弈参与国进行更多的碳捕获与碳封存。
关键词： 跨界污染;碳捕获与碳封存;微分博弈
美国环境保护署认定,二氧化碳等温室气体是“危害公众健康与人类福祉”的空气污染物,人类大规模排放温室气体足以引发全球变暖等气候变化。目前,治理温室气体过度积聚的主要途径有两条：①“事前碳治理”途径,即用更清洁能源替代传统化石能源以及提高能源利用效率以减少能源的使用,此途径被关注最多。但是由于技术等约束,传统化石能源在一个相当长的时期内还不得不大量使用,故仅靠这一途径难以达到温室气体零净排放的目标。②碳捕获与碳封存(Carbon Capture and Storage,CCS)。CCS属于“事后碳治理”,是在火力发电厂等碳排放集中点安装特殊设施“捕获”二氧化碳等温室气体,然后通过一定方式将其封存于土壤或海洋中,以及通过扩大森林面积以吸收更多的二氧化碳。据文献[1]中估算,通过两条途径相结合的治理,有望在2050年之前实行温室气体零净排放,且把2010～2050年全球平均气温上升幅度控制在2℃以内。
二氧化碳等温室气体具有动态扩散的性质。微分博弈方法能够分析参与人的战略行为与污染物动态进化的关系,为污染控制问题的研究提供了一个很好的研究工具。文献[2-8]中分别运用微分博弈方法研究了合作污染控制问题。文献[9-10]中是从政府和企业两个不同层面提出了一个跨界污染控制微分博弈模型,在其模型中,各国政府和本国企业进行关于污染控制的斯塔克伯格博弈的同时,各国政府之间又进行跨界污染控制的合作博弈,通过模型分析得出两个层面博弈的均衡解。文献[11]在文献[10]的基础上构建了一个无限计划水平的随机微分博弈跨界污染控制模型,分析发现,相对于不合作,参与博弈的国家合作时会对企业征收更高的污染税率,同时进行更多的污染治理投资。因此,在合作博弈下将有更清洁的生态环境。
运用微分博弈方法,Bertinelli等[12]研究了通过CCS途径的跨界污染控制博弈问题,在文献[12]中,产生二氧化碳跨界污染的两个国家进行非合作博弈,分别采用开环战略和马尔科夫纳什均衡战略,通过对比分析发现,当污染造成的损害成本相对于治理的成本比较高(低)时,参与人采用马尔科夫纳什均衡战略比采用开环战略有更多(少)的污染治理投资。这一研究结论与先前的研究[4,13]有所不同,文献[4,13]中发现,关于跨界污染控制的3种战略即合作战略、开环战略和马尔可夫纳什均衡战略中,以第1种战略最有效率,而马尔可夫纳什均衡战略的效率最低。本文扩展文献[12]中的研究,把碳捕获与碳封存(CCS)投资过程中的知识积累纳入模型中,研究两个相邻国家在开环战略、马尔科夫纳什均衡战略与合作战略3种博弈模式下,最优CCS数量和知识积累数量以及二氧化碳存量水平,并对比分析3种博弈模式的效率。
1 基本模型
假设两个相邻的对称国家生产相同的商品以满足消费者需求,且共同受到生产过程中所排放的二氧化碳的影响。假定二氧化碳存量x (t )随时间t ∈[0,∞)的变化服从如下动态方程：
式中：
为两个国家总的二氧化碳瞬时排放量,由于本文重点研究CCS问题,故将二氧化碳瞬时排放数量视为外生变量来处理;ui (t )为在t 时国家i (i= 1,2)通过CCS所减少的二氧化碳数量;δ 是正的常数,为自然对二氧化碳的吸收率。
国家i (i =1,2)的问题是选择最优的CCS数量以最小化式(5)或最大化式(5)的负值的折现值,即：
二氧化碳等温室气体的积聚超过一定程度,就会造成气候异常变化等不利影响。假定二氧化碳的积聚给国家i (i= 1,2)带来的影响成本是二氧化碳存量x (t )的递增凹函数cx 2(t )/2,其中c 是大于0的常数。
2.2.4 项目学习的结果： 项目展示，提升成就感 项目学习区别于传统学习的“从理论到理论”不可见的结果不同，学习结束后会有作品产生，再通过多种形式的作品展示和交流，从而使学生能体会到成功的喜悦[4]。例如前文所述的思维导图、收集的历次选考题、自主命制的试题或是学生制作的汇报PPT等通过教室黑板开辟的学习栏、课堂汇报、小组交流等多样的方式给予学生展示的机会，既达到了相互学习交流的效果又提升了展示者的成就感，从而使学习者有更大的热情投入到之后的复习中去。
为了降低温室气体的不利影响,两个国家可以投资CCS以降低温室气体存量。根据文献[12],假定国家i (i= 1,2)的CCS瞬时成本为u 2i (t )/2+bx (t )ui (t ),其中：u 2i (t )/2为CCS的瞬时调整成本,包括CCS设施的安装和运行等成本;bx (t )ui (t )是与CCS技术有关的成本,一般而言,随着碳捕获和封存二氧化碳的数量增多,增加新的封存能力会越来越难,此项中正的系数b 测度开发新的二氧化碳封存能力的难度。CCS的边际成本为ui (t )+bx (t )＞0,表明随着CCS数量增加,其治理难度是增加的。文献[14-15]中也使用了与本文假设相类似的状态依存污染削减成本函数。
在CCS过程中将产生知识积累。文献[16]中认为知识积累即干中学对生产和投资具有重要影响,并且随着技术使用过程中积累的经验越来越多,投资成本呈下降趋势。根据文献[16-17],国家i (i= 1,2)CCS中的知识积累由如下指数平滑函数给出：
查尔斯·狄更斯晚期代表作《远大前程》一直被视为“成长小说”的典范，诚如巴里·韦斯特伯格在《查尔斯·狄更斯的自白小说》一文中指出的：“这些激进地探索成长、时间与生活的小说成了狄更斯创造力的主旨”。[1]根据蔡熙《当代英美狄更斯学术史》中所做的归纳分析，英美学界对狄更斯的研究经历了两次大的转向：从传统批评到后现代批评的演变，期间各种批评理论都对《远大前程》做了多角度的文本分析和解读，而其中尤以萨义德的后殖民批评值得关注：首次将狄更斯笔下的“海外领土”作为批评的切入点，将其关注的焦点从《东方主义》中的以印度为代表的第三世界拓展到了澳大利亚（当时的英国殖民地）。
式中：Ai 0≥0为国家i (i= 1,2)初始CCS的知识积累量;ξ ,γ ＞0分别为知识积累增长率和衰减因子。对式(2)两边求时间t 的导数,可得如下动态方程：
因此,根据文献[12,16-17],可得国家i (i= 1,2)的CCS的成本函数为
广西在1971年以后开始大规模地开展农田基本建设，农村社队按10%的比例抽调劳动力，组织农田基本建设常年施工队，在冬春季节进行突击。1974年秋，全区基建上工人数高达810万人，动工3.6万处，包括修水库，战石海，平整耕地，搞人造平原，打涵洞，架渡槽等，是广西历史上农田基本建设规模最大、投入资金和劳动力最多的一年。[注]高言弘编：《广西水利史》，北京：新时代出版社，1988年，第323页。
注射剂口服：①氯化钾注射剂口服。临床上常使用口服氯化钾注射液补钾[10]，认为比较直接、方便、简单易行。缺点是口感苦涩，难以咽下，易出现恶心、呕吐，引起消化液丢失；应稀释于冷开水或饮料中，分次服用。②榄香稀乳注射剂口服。榄香稀乳有口服液和注射剂两种剂型。医师开具处方时恰逢口服剂型缺货，于是用注射剂代替口服剂型给患者服用。榄香稀乳注射剂说明书明确载明：该剂型口服吸收差，生物利用度仅为18.8%。药师不建议使用。
式中,η ＞0为知识积累中的学习率。
第一，企业贷款困难。中小企业贷款困难是中小企业国际贸易融资中的最基本问题，之所以中小企业贷款困难，主要在于抵押和担保两项因素。具体来讲，中小企业抵押贷款办理过程中，需要相关部门对企业的抵押物进行资产评估，这样之后，中小企业贷款才能生效。但是，我国已有的相关评估部门缺乏较为全面的评估系统，这就导致在对中小企业抵押物评估过程中，产生一系列问题。评估程序繁琐，评估结果不准确，与当前的市场调研结果存在较大的差距，收费的标准高。
综上所述,国家i (i =1,2)的二氧化碳不利影响成本和CCS的成本合计为
“属下以为开弓没有回头剑。”大幻剑不但打破沉默，而且单膝点右拳贴左胸庄严地道：“三少剑指之处，属下义无反顾。”
她说，中国文字不具备既定的严格苛刻的规则，到你掌握它到一定程度，你就可以用想象力来打开它的范围。它会随着意识和情感而流动、变化、发展，它将由你而定。这就是它的生命力和超越性。
式中,r ∈[0,1]为不变的且两个国家相同的折现因子。
接下来,将提出两个国家的开环战略和马尔可夫纳什策略以及合作战略,并比较分析3种战略的差异。
2 模型求解
本部分将分别求解两个国家的开环战略、马尔可夫纳什均衡战略以及合作战略。在开环战略下,博弈开始时,两个国家各自承诺在整个博弈时期的CCS水平ui=ui (t ),该治理水平与时间相关而与状态x (t )无关。例如,在巴黎气候大会上我国宣布了各个时期的减排目标,无论今后各个时期的状态如何,我国都承诺完成自己的目标。文献[4]中认为,跨界污染控制博弈中,开环战略这种跨时期的维度战略能够有效减少免费搭车者问题。马尔可夫纳什均衡战略则是一种状态依存战略,参与人的战略选择不仅与时间有关,而且与状态也有关,即ui=ui [x (t ),t ]。对比开环战略,马尔可夫纳什均衡战略给参与人以更大的灵活性,可以根据新的信息随时调整自己的战略选择。因此,参与人可能违背原先的承诺,因而马尔可夫纳什均衡战略下的治理投资比开环战略下的治理投资要少。那么,在CCS博弈中,参与人战略的选择到底对博弈结果有怎样的影响?这是本文关心的重要问题。
2.1 开环战略
假定两个对称国家均在博弈开始时承诺一个仅与时间t 相关的CCS战略。国家i (i =1,2)的问题是在约束条件式(1)、(3)下,寻找使自己效用最大化的CCS轨迹
定义1 如果存在一对由开环战略ui (t )=ϕi (t ),i= 1,2给出的最优控制路径ui (·),则函数对(ϕi ,ϕj )是一个开环纳什均衡,其中,ϕi ：[0,∞)→R+ ,i= 1,2。
给定国家j 的最优战略ϕj ,国家i 的现值汉密尔顿函数为
最大化现值汉密尔顿函数式(7)的一阶条件、共态方程和横截条件分别为：
由式(18)～(21)及式(1)可以构成如下动态控制系统：
由式(8)～(12)及式(1),在对称性假设下可得如下动态控制系统：
已得均衡解
,下面分析均衡解的稳定性,由式(13)可得命题2。
考察二氧化碳排放与二氧化碳存量及最优治理数量的关系,有命题1。
命题1 在其他条件不变情况下：①二氧化碳排放增加,则二氧化碳存量是增加的;②最优的CCS数量是非负的。
证明 ①二氧化碳排放增加时,如果其他条件不变,显然其存量将增加。②二氧化碳排放增加时,二氧化碳存量也随之增加,使得其不利影响加重,如果其增加的边际不利影响大于边际CCS成本,则参与人的理性决策是进行治理;如果边际不利影响小于边际治理成本,则理性选择是不治理,所以其最优治理数量是非负的。 证毕
由命题1,式(14)、(15)的参数必须满足下列两种情况之一。
参数条件①：
参数条件②：
至于参数条件中哪一种情况会出现,将在稳定性证明中进行讨论。
由稳态均衡条件
(t )= 0和式(3)、(15)易得稳态均衡的知识积累存量为
根据动态控制系统式(13),可求得在稳态均衡条件
下的开环战略ui (t )=ϕi (t ),以及二氧化碳存量状态x (t )的稳态均衡解。用上标“∧”表示稳态均衡,下标“o”表示开环战略,动态控制系统式(13)的稳态均衡解为：
命题2 当参数条件①出现时,在两个对称国家采用开环战略下,存在可容纳的参数集合,使得稳态均衡解
是一个鞍点均衡;在参数条件②下,开环战略下的稳态均衡解
是不稳定的。
证明见附录A。
由于参数条件②下不存在稳定的稳态均衡解,随后的分析中只考虑参数条件①的情况。
由式(14)～(16)可知,CCS中知识积累学习率η 和增长率ξ 对CCS投资和相应的碳存量、CCS知识积累存量的影响是相同的。在稳态均衡条件下,根据式(14)～(16)可得推论1。
推论1 在开环战略下,CCS中知识积累学习率η 和增长率ξ 对CCS投资和相应的碳存量的影响为：
,即η 或ξ 上升,稳态最优的CCS数量增加,CCS知识积累增加,二氧化碳存量减少。
2.2 马尔科夫纳什均衡战略
如果两个国家均可以根据二氧化碳的存量状态来调整其战略,则关于博弈均衡有定义2。
定义2 对于国家i (i= 1,2),存在一个由马尔科夫战略ui (t )=ψi [x (t ),t ]给出的最优控制路径,则对于函数对(ψi ,ψj ),
参数条件⑤：
文献[12,16]中认为,博弈参与人通过推测对手的潜在最佳策略选择开环战略和马尔科夫战略的混合战略,可以产生一个马尔科夫战略(可能有许多)。根据文献[12,16],对两个国家CCS的马尔科夫战略进行分析。
给定j 的最优策略为例,国家i 的现值汉密尔顿函数为
式中,λi (t )和θi (t )为分别与状态变量x (t )和Ai (t )相联系的共态变量。
为了达到最优的控制路径,汉密尔顿函数式(17)必须满足如下一阶条件：
由式(18)知,国家j 的最优CCS战略为
因此,推测竞争对手潜在最优战略下的共态方程为：
下面求解马尔科夫战略下的稳态均衡解。如果稳态均衡存在,则由式(20)有
下面求解现值汉密尔顿函数式(7)的稳态均衡解。如果稳态均衡存在,则由式(10)必有
由式(22)可求得在稳态均衡条件
(t )=
(t )= 0下的马尔科夫战略ui (t )=ψi [x (t ),t ]及二氧化碳状态x (t )。用上标“∧”表示稳态均衡,下标“m”表示马尔科夫战略,动态控制系统的稳态均衡解为：
由命题1,式(23)、(24)中的参数必须满足下列两个条件之一。
利用T-text分析本科毕业于985或211院校的研究生对于初级知识、中级知识、高级知识、初级技能、中级技能、高级技能、态度的差异情况，在初级知识、中级知识、初级技能、中级技能、高级技能以及态度P值均高于0.05没有显著性差异，高级知识P值小于0.05存在显著差异，本科毕业于985或211院校的研究生得分高于本科不是985或211院校毕业的研究生。
参数条件③：
参数条件④：
师:还有其他做法吗？如果从刚才点到直线的本原定义来看的话，我们可以先将点到直线上任意一点的距离表示出来，再求这个距离的最小值即可.要求距离最小值，那么我们可以从什么地方切入呢？(引出目标函数法)
上述两个条件下均衡解的稳定性问题,将在稳定性证明中进行讨论。
由稳态均衡条件
(t )= 0和式(3)、(23)易得稳态均衡时的知识积累量为
已得稳态均衡解
下面考虑均衡的稳定性,有命题3。
从图8中可以看出，在超高加入不平顺之后，各轴向加速度都出现了不同程度的波动，尤其是竖向加速度波动最为明显，而纵横轴向加速度虽然有一定的波动，但是基本上都是在未加不平顺的加速度曲线上下一定范围内波动，其中在曲线路段，不平顺使得各加速度的波动显著增大。所以，实际公路运营期间，当曲线路段出现问题时，要及时进行修整，否则会造成严重的不良后果。此外，汽车行驶时还可以对其轮胎的受力与滑动进行监测，对公路线形存在不合理的位置进行修改，减小车辆的损耗，进而提高汽车行驶的安全性和稳定性。
当拍摄整张动物肖像特写时，需要控制镜头与前面的动物保持安全拍摄距离，考虑一支300mm或更长焦距的镜头，甚至超远距变焦镜头，如150mm-600mm镜头，这样就可以在更远距离下不惊扰动物，又能拍摄更细致的特写。
命题3 在马尔科夫纳什均衡战略下,当参数条件③出现时,存在可容纳的参数集合,使得稳态均衡
是一个鞍点均衡;当参数条件④出现时,均衡解
是不稳定的。
证明见附录B。
由于参数条件④下不存在稳定的稳态均衡解,故在随后的分析中只考虑参数条件③这种有稳定的均衡解的情况。
考察知识积累参数对稳定均衡结果的影响,由式(23)～(25)可得推论2。
推论2 在马尔科夫纳什均衡战略下,CCS中知识积累学习率η 和增长率ξ 对CCS投资和相应的碳存量的影响为：
即η 或ξ 上升,稳态最优的CCS数量增加,CCS知识积累增加,二氧化碳存量减少。
2.3 合作战略
假定两个对称国家在博弈开始时承诺一个仅与时间t 相关的CCS战略。国家i (i =1,2)的问题是在约束条件式(1)、(3)下,寻找使自己效用最大化的CCS轨迹
虽然常规潜艇环境未增加肾结石的患病率，但是肾结石作为外科急腹症，仍是影响潜艇战斗力的疾病之一。平时需积极落实体检制度，积极宣教，做好预防工作及紧急处置预案，减少非战斗减员。
定义3 如果存在一对由合作战略ui (t )=ϕi (t ),i= 1,2给出的最优控制路径ui (·),则函数对(ϕi ,ϕj )是一个合作战略纳什均衡,其中,ϕi ：[0,∞)→R+ ,i= 1,2。
在合作战略模式下,两个对称国家分别选择ui (t )和uj (t ),使两国效用之和最大化。表达式为：
最大化现值汉密尔顿函数式(27)的一阶条件、共态方程为：
下面求解合作战略下的稳态均衡解。如果稳态均衡存在,则由式(31)、(32)有
由式(28)～(33)及式(1),在对称性假设条件下可得如下动态控制系统：
参数条件⑥：
由命题1,式(35)、(36)需满足如下两个参数条件之一。
是一个马尔科夫纳什均衡。
在稳态均衡条件
(t )=
(t )= 0下,根据式(34)可求得两个国家在合作战略下的稳态均衡解。用上标“∧”表示稳态均衡,下标“c”表示合作博弈,则合作博弈下式(34)的稳态均衡解为：
在均衡解的稳定性证明中,本文证明了只有在参数条件⑤下才是稳定的,而在参数条件⑥下,均衡解不稳定。因此,在后面的分析中,只考虑参数条件⑤这一情况,
建议每日碳水化合物摄入量不低于200克。碳水化合物的众多功能中对孕妇而言预防低血糖作用和抗生酮作用非常重要。当孕妇体内血糖低于3.7毫摩尔/升时，宝宝体内可能没有血糖供给，这样宝宝就有低血糖的风险，而人体大脑、神经系统和红细胞唯一的能量来源就是血糖，成人低血糖可以导致昏迷甚至死亡，对宝宝而言可能影响其发育，特别是大脑的发育，孕妇每日摄入足够的碳水化合物可以有效地预防低血糖的发生。
由稳态均衡条件
(t )= 0和式(3)、(35)易得稳态均衡的知识积累存量为
已得稳态均衡解
下面考虑均衡的稳定性,有命题4。
命题4 在CCS合作博弈下,当参数条件⑤满足时,存在可容纳的参数集合,使得稳态均衡解
}是一个鞍点均衡;在参数条件⑥下,稳态均衡解
是不稳定的。证明见附录C。
在稳态均衡件下,由式(35)～(37)可得推论3。
推论3 在合作战略下,CCS中知识积累学习率η 和增长率ξ 对CCS投资和相应的碳存量的影响为：
,即η 或ξ 上升,稳态最优的CCS数量增加,CCS知识积累增加,二氧化碳存量减少。
3 博弈结果对比分析
本文已经获得了两个对称国家在开环战略、马尔科夫纳什均衡战略和合作战略3种模式下的稳态均衡解,本部分将对3种战略模式下的均衡解进行对比分析。
3.1 二氧化碳存量的对比分析
对比分析稳态均衡下两个对称国家的开环战略、马尔科夫纳什均衡战略与合作战略博弈下的二氧化碳存量,有命题5。
命题5 当b= 0时,相对于合作战略,开环战略与马尔科夫战略下两个对称国家有较高的二氧化碳存量,并且开环战略与马尔科夫战略下二氧化碳存量相同,即
当b ＞0时,相对于马尔科夫战略模式,合作战略有较低的二氧化碳存量,开环战略有较高的二氧化碳存量,即
证明 该部分证明分为两部分进行,首先比较开环战略与马尔科夫战略模式下二氧化碳存量大小关系;然后比较合作战略与马尔科夫战略模式下二氧化碳存量大小关系。
(1)由式(14)、(22)可得式中：
当b= 0时,显然,有
,即
;当b ＞0时,由
的非负性,即
≥0,可得
由稳定性参数条件①和③：
将式(39)、(40)代入式(38),可得
由参数条件①和③知,式(41)的分母大于0。通过简单变换和参数条件③知,式(41)的分子括号中的代数式大于0,即
(2)由式(22)、(33)可得
式中,F 3(b )= 4c+δr+δ 2- 2br- 3δb ＞0。
由参数条件①和式(40)可得
由式(39)、(43)及式(42)的分子部分可得下列不等式：
由参数条件⑤及式(40)可得2c-bδ ＞0,则可以得到
由式(44)、(45),知式(42)的分子大于0,即因此,有
,即
综上可证,当b= 0时,
;当b ＞0时
证毕
3.2 CCS数量对比分析
对比分析稳态均衡下两个对称国家在开环战略、马尔科夫战略与合作战略下的CCS数量,有命题6。
命题6 当b= 0时,相对于合作战略,开环战略与马尔科夫战略下CCS数量较少,并且开环战略与马尔科夫博弈下减少二氧化碳的数量相同,即
当b ＞0时,相对于马尔科夫战略模式,合作战略可以减少较多的二氧化碳数量,开环战略减少较少的二氧化碳数量,即
证明 在稳态均衡条件下,由式(6)可得
= 
由式(20)可得
;由式(31)可得
。由命题5可知,当b= 0时,
,显然,有
;当b ＞0时,
,显然,有
。 证毕
3.3 知识积累数量的对比分析
对比分析稳态均衡下两个对称国家的开环战略、马尔科夫战略与合作战略下的CCS知识积累,有命题7。
命题7 当b= 0时,相对于合作战略,开环战略与马尔科夫战略下两个对称国家通过CCS所获得的知识积累较少,并且开环战略与马尔科夫博弈下知识积累相同,即
;当b ＞0时,相对于马尔科夫战略模式,合作战略通过CCS可以获得较多的知识积累,开环战略通过CCS获得较少的知识积累,即
证明 根据式(3)有：
结合命题8,易得当b= 0时
,显然,有
;当b ＞0时
显然,有
。 证毕
4 结论
本文把国家在碳捕获与碳封存中的知识积累引入到跨界污染控制微分博弈模型中,分别分析了博弈参与国采取开环战略、马尔科夫纳什均衡战略以及合作战略3种战略下的碳捕获与碳封存行为,并对3种战略下的稳态均衡解进行对比分析,有两个主要研究结论：
(1)知识积累对国家跨界污染治理行为产生重要影响,随着知识积累的增加,碳捕获与碳封存的成本下降。此外,知识积累效率的提高促使博弈参与国进行更多的碳捕获和碳固投资,因而有更好的生态环境。
(2)如果博弈参与国分别进行开环战略、马尔科夫纳什均衡战略以及合作战略3种战略,在合作战略下捕获和碳封存的二氧化碳最多,马尔科夫纳什均衡战略次之,开环战略下捕获和碳封存的数量最少。因此,合作战略导致最高的环境质量,马尔科夫纳什均衡战略下的环境质量次之,开环战略导致的环境质量再次之。
本文第2个结论与先前的相关研究[4,13]有所不同。文献[4]中认为,如果参与人能够根据污染状态即时调整自己的污染削减数量,则可能出现“免费的搭车者”行为。因此,参与人实行开环战略比实行马尔科夫战略削减的污染数量更多。但是,本文的结论显示,如果参与人能够根据污染损害成本和削减成本(包括削减经验积聚对削减成本的影响)调整自己即时削减数量,则参与人实行马尔科夫战略比实行开环战略削减更多污染。最新的相关研究[12]注意到了马尔科夫战略激励参与人削减更多污染的可能性,文献[12]中认为只要污染损害成本相对于削减成本足够高,则马尔科夫战略下比参与人实行开环战略削减更多的污染。但是,本文认为,只要在稳态均衡的路径下,参与人实行马尔科夫战略比实行开环战略削减更多污染。
附录A
证明 用
表示动态控制系统式(13)在对称性假设下的雅可比矩阵,则
由矩阵的特征值的积等于对应行列式的值可得
再由矩阵的特征值的和等于对应行列式主对角线元素的和可得
当参数条件①：r+δ-b ＞0,c-br-bδ ＞0,2c+δr+δ 2- 2br- 3bδ ＞0时,由式(A2),有
,则特征值
中必定有一个正的实数部分和一个负的实数部分。因此,可得矩阵特征值中至少有一个负的实数部分和一个正的实数部分,则式(13)是鞍点均衡的。
当参数条件②：r+δ-b ＜0,br+bδ-c ＞0,2br+ 3bδ- 2c-δr-δ 2＞0时,由式(A1)可得
,故可得特征值
的实部必定为正,则雅可比矩阵的两个特征值都为正。因此,可得该情况动态控制系统式(13)是不稳定的。 证毕
附录B
证明 用
表示动态控制系统式(22)在对称性假设下的雅可比矩阵,则
由矩阵的特征值的积等于对应行列式的值可得
再由矩阵的特征值的和等于对应行列式主对角线元素的和可得
当参数条件③：r+δ- 2b ＞0,br+bδ-c-b 2＜0,2br+ 4bδ- 2c- 2b 2-δr-δ 2＜0时,由式(B2)可得
＜0,则特征值
中必定有一个正的实数部分和一个负的实数部分。因此,可得矩阵特征值中至少有一个负的实数部分和一个正的实数部分,则式(22)是鞍点均衡的。
当参数条件④：r+δ- 2b ＜0,br+bδ-c-b 2＞0,2br+ 4bδ- 2c- 2b 2-δr-δ 2＞0时,由式(B2)可得
＞0,故可得特征值
的实部必定均为正,则雅可比矩阵的两个特征值都为正。因此,可得该情况动态控制系统式(22)是不稳定的。 证毕
附录C
证明 用
表示动态控制系统式(34)在对称性假设下的雅可比矩阵,则
由矩阵的特征值的积等于对应行列式的值可得
再由矩阵的特征值的和等于对应行列式主对角线元素的和可得
当参数条件⑤：r+δ-b ＞0,2br+ 3δb- 4c-δr-δ 2＜0,br+δb- 2c ＜0时,由式(C2)可得
,则特征值
中必定有一个正的实数部分和一个负的实数部分。因此,可得矩阵特征值中至少有一个负的实数部分和一个正的实数部分,则式(34)是鞍点均衡的。
当参数条件⑥：r+δ-b ＜0,2br+ 3δb- 4c-δr-δ 2＞0,br+δb- 2c ＞0时,由式(C2)可得
,故特征值
的实部必定均为正,则雅可比矩阵的两个特征值均为正。因此,可得该情况动态控制系统式(34)是不稳定的。证毕
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A Differential Game of Transboundary Pollution for Carbon Capture and Storage
CHENG Susu 1,YI Yongxi 2,LI Shoude 3
(1.School of Economics and Finance,Xi’an Jiaotong University,Xi’an 710061,China;2.School of Economics Management and Law,University of South China,Hengyang 421001,Hunan,China;3.Antai College of Economics and Management,Shanghai Jiao Tong University,Shanghai 200030,China)
【Abstract】 Considering the influence of knowledge accumulation on carbon capture and storage,this paper extended the transboundary pollution control differential game model of Bertinelli to analyze the game behavior and game results in carbon capture and storage of two symmetrical countries which adopted the open-loop,the Markovian Nash,and the cooperation strategy,respectively.The results show that the cooperation strategy can lead to the highest overall environmental quality,followed by the Markovian Nash equilibrium strategy.The participants who adopt the open-loop strategy make the least effort in carbon capture and storage.In addition,knowledge accumulation has an important influence on transboundary pollution control.The cost of carbon capture and storage declines with the increase of knowledge accumulation.In particular,improving the efficiency of knowledge accumulation leads to more carbon capture and storage.
Key words： transboundary pollution;carbon capture and storage;differential games
中图分类号： F 224.32
文献标志码： A
DOI： 10.3969/j.issn.1005-2542.2019.05.008
文章编号： 1005-2542(2019)05-0864-09
收稿日期： 2017-10-30 修订日期：2018-01-04
基金项目： 国家社会科学基金重点项目(18AJY004);湖南省自然科学基金资助项目(2018JJ2335);湖南省哲学社会科学基金资助项目(18YBA368);陕西省软科学重点项目(2019KRZ001)
作者简介： 程粟粟(1992-),男,博士生。研究方向为产业经济与产业政策。
通信作者： 易永锡(1965-),男,博士,教授。E-mail：yyx19999@126.com
标签：跨界污染论文; 碳捕获与碳封存论文; 微分博弈论文; 西安交通大学经济与金融学院论文; 南华大学经济管理与法学学院论文; 上海交通大学安泰经济与管理学院论文;