教材是开展高中数学探究性学习的重要资源，本文主要内容关键词为：高中数学论文,探究性论文,教材论文,资源论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、问题的提出
高中数学探究性学习已成为一种学习模式进入到数学的课堂.数学探究即数学探究性课题学习是指学生围绕某个数学问题，自主探究、学习、研究问题本质的过程.这种学习方式在于让学生有足够的时间和空间经历观察、实验、猜想、计算、推理、验证等活动过程.
长期以来，相当一部分教师的教学观念和教学行为形成定势，在教学内容和教学条件变化不大的情况下，要实现教学行为方式的重大转变从而指导学生改变学习方式，需要一个较长的适应过程.事实上，目前高中数学教学中进行的探究性学习只浮于表面，为数不少的教师由于自身的教学观念、业务水平以及高中的教学时间紧、高考指挥棒下的功利主义影响、缺乏开展探究性学习的经验、开展探究性学习的课题难找等主、客观原因，往往回避这个话题或者对这一学习方式持抵触的态度，致使高中数学探究性学习成为一种“摆设”，或者是纯粹的“画虎类犬”的形式主义探究.对于新教材中关于探究性学习的内容，大多数教师并没有按照探究性学习的方式让学生亲历知识的发现、检验与论证的过程，而是采用变相灌输的方式促使学生记住结论而已，有的甚至出现“束之高阁”的现象，这些都是与课改的要求相悖的.出现上述情况的原因，教师的教学观念、业务能力果然是重要的因素，找不到合适的选题可能是制约高中数学探究性学习开展的“瓶颈”，本文重点探讨这一问题及其延伸的问题.
二、从高中数学探究性学习选题的原则看教材的内容编排
著名数学教育家G.波利亚指出：“拿一个有意义又不复杂的题目，去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的领域.”由此可见选题的重要性.数学探究性学习如何选题？选题应该遵循什么样的原则？我们认为，高中数学探究性学习选题的原则有这样三个：
·价值性原则 选题要有一定的创造价值和社会价值，能促进学生的发展和提高.
·问题性原则 问题是科学思维的起点，让学生运用所学知识通过数学建模去解决问题.
·可行性原则 选择的课题适合学生的能力和知识水平及相关物质条件.
具体而言，用于数学探究性学习的材料应是建立在学生现有知识经验基础之上，能够激起学生解决问题的欲望，体现数学研究的思想方法和应用价值，有利于营造广阔的思维活动空间，使学生的思路越走越宽，思维的空间越来越大的一种材料.
从选题的原则出发，体现“以人为本”的教育理念是根本，数学教育必须面向全体学生，实现“不同的人在数学上得到不同的发展”是核心.教材是学习活动的主要载体，选题最直接的途径应该是教材，“就地取材”对教师来说相对比较方便.由此，利用教材提供的素材，以问题为中心组织教学内容，精心设计探索性的教学过程是进行探究性学习的基础.这里不妨看两种主流教材关于这方面内容的编排.
人教社高中数学教材中几乎在每一章节后都安排了阅读材料或实习作业或探究性课题，其中阅读材料往往是对本章知识的产生和发展作简要的介绍，可以要求学生通过网络、图书馆、专家访谈等方式，收集资料，作出详细的报告；实习作业往往给一种思路，要求学生根据这个思路，自己提出一个问题，设计解决方案，调查收集数据，分析解决问题；而研究性课题给出了研究内容，要求学生展开研究并得出结论.这些都是开展研究性学习的很好的内容.
江苏教育出版社出版的高中数学教材（以下简称苏教版教材）不仅在知识内容中编排了探究问题，课后习题“探究·拓展”栏目更是为学生提供了一些富有挑战性的问题，搭建了探究和思考的舞台.如苏教版教材《数学1》第33页探究·拓展第13题：已知一个函数的解析式为y=
，它的值域是[1，4]，这样的函数有多少个？试写出其中的两个函数.
一般的问题是已知函数解析式的定义域，求函数的值域.而本题要求写出满足解析式y=，值域是[1，4]的函数.它将课本中一道看似简单但富有探索价值的问题作为探究性学习的素材，组织学生开展探究性学习活动.一方面加深了学生对函数的三要素（定义域、值域、对应法则）的理解，数形结合思想的渗透；另一方面培养了学生独立思考，自主探究解决问题的能力.同时使学生经历了探索发现的学习过程，培养了他们的发散性思维能力.
三、以教材为蓝本开展数学探究性学习例说
以课本上的数学知识为内容进行选题不仅可行，而且有效，教材是开展探究性学习的“资源库”.具体来说，可以针对教材内容，把一些知识形成过程的典型材料设计为探究性课题.这些材料可以是数学概念、公式、定理、法则的提出过程，结论的推导过程，知识的发生、发展和形成的过程，解题思路的探索过程，解题方法和规律的概括过程等.教师可以把这些知识形成过程的教学设计为学生再发现、再创造的探究性学习活动.例如，在讲等差数列时，放手让学生自己去归纳通项公式与前n项和公式；三角函数中学习了倍角公式后，让学生自己推导半角公式；立体几何中线面垂直的学习，也可让学生由现实生活中的实例和教具模型讨论探究出线面垂直的判定定理.这样，可使学生在自己的分析探究中总结出一些抽象的数学公式、定理，从而能更好地理解、记忆和掌握.
课本直接提供的探究性课题我们更可以加以利用.如，数列在分期付款中的应用，向量在物理中的应用，线性规划的实际应用，多面体欧拉定理的发现.还有那些从数学概念、公式、方法等引申出的数学问题.又如，有的学生在学习等差数列概念时，产生联想，主动探讨等和数列、等积数列、等商数列的存在，由此而开发出课题.在例、习题教学中，对例、习题的结论进行引申、推广、拓展而形成的各种猜想.再如，课本定义球面距离为：“在球面上，两点间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做这两点的球面距离.”两点的球面距离为何最短？教材并没有说明，这一问题也是进行探究性学习可选择的较好内容.下面看一个教材上的具体例子：
问题 在同一平面直角坐标系中，画出指数函数
及其反函数y=
的图像.你能发现这两个函数的图像有什么对称关系吗？
教师通过深入研究教材，从教材中取得探究的内容和课题.而且该课题的特点非常明显，让学生利用所学的数学知识，通过探究与合作，教师作适当的指导，很快地解决问题，这种“短、平、快”的形式和探究性学习的特点相吻合.
四、数学开放题是开展探究性学习的好素材
数学开放题被数学教育界认为是最富有教育价值的一种数学问题，因为数学开放题能够激起学生的求知欲和学习兴趣，而强烈的求知欲望和浓厚的学习兴趣是创新能力发展的内在动力.“数学开放题能体现数学研究的思想方法，解答过程是探究的过程，能体现数学问题的形成过程，体现解答对象的实际状态，数学开放题有利于因材施教”[1].将教材资源中的数学开放题用于学生研究性学习是一条行之有效的途径，也是十分有意义的.
需要指出的是，用于研究性学习的开放题尽量能有利于解题者充分利用自己已有的数学知识和能力解决问题.编制的开放题应体现某一完整的数学思想方法，具有鲜明的数学特色，帮助解题者理解什么是数学，为什么要学习数学，以及怎样学习数学.这里也举一个根据课本题目改编的例子：
题目 如果一个四面体的三个面是直角三角形，那么，第四个面可能是：①直角三角形；②锐角三角形；③钝角三角形；④等腰三角形；⑤等腰直角三角形；⑥等边三角形.请说出你认为正确的那些序号.
探索1 从同一顶点出发的三个面都是直角三角形，且都以该顶点为直角顶点，如下页图1.
所以∠BAC是锐角，同理∠ABC，∠ACB也是锐角，故△ABC是锐角三形，②正确.当a=b=c时，△ABC是等边三角形，⑥正确.
探索2 如图2所示，∠ADB=∠ADC=∠DBC=90°.
因为AD⊥BD，AD⊥DC，所以AD⊥面DBC，故BD是AB在平面DBC内的射影.由三垂线定理知BC⊥AB，因此第四个面△ABC是直角三角形，①正确.
探索3 如图3所示，∠ADC=∠BDC=∠ACB=90°.
所以∠ADB＞90°，△ABD是钝角三角形，③正确.
显然在第二种情形下，AB和BC可以相等，所以三角形ABC可以是等腰直角三角形，⑤正确，从而④也正确.故答案是①②③④⑤⑥.
此题是一道高考模拟试题，是一道考查学生空间想象能力、探索能力的好试题.其中第三种情形容易被忽视，标准答案中也没有“钝角三角形”.第三种情形的存在性可以这样来验证：先作三角形ABD，使∠ADB是钝角，然后过D作直线DC垂直于面ABD.以AB为直径作一球，则D必在球的内部，设C是直线DC与球面的一个交点，则∠ACB是直角，图3的四面体存在.
五、探究性学习需要处理好的两个关系问题
探究活动的价值不仅是使学生获得知识，而且应引导学生在探究过程中感受数学思想，获得数学活动经验，发展能力.“提出并设计问题是进行数学探究性学习的关键点”[2]，文[2]中列举的几个案例中有一个是对课本题目（案例3）的探究，可能给人造成误解的是探究就是对题目的探究.浏览众多关于高中数学探究性学习方面的文章，大多数也是把探究内容的选择定位在一些具体数学题目上，似乎探究只是对数学题目而言的，只是解那些新而难的题，这是一个认识上的误区.文[3]指出，“数学探究活动贯穿于日常教学活动中，可以在概念教学中、定理和公式的推导过程中、解题教学中、纠错教学中开展数学探究”.因此，数学探究性学习需要正确处理好这样两个关系.
（1）“探”与“究”的关系
“探究”，顾名思义包含了“探”与“究”两层意思.其中的“探”是“探索”、“探寻”，其要义是“提出问题”；“究”是“研究”、“深究”，其要义是“解决问题”.从这个角度来说，“探”更重要，因为大科学家爱因斯坦说得好：“提出一个问题往往比解决一个问题更为重要，因为解决一个问题也许只是一个数学上或实验上的技巧问题.而提出新的问题、新的可能性，从新的角度看旧问题，却需要创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步.”从探究性学习的概念去审视“探究”，关键在于“探”，就是由教师提出情境或问题，让学生进行“探”，在“探”中尝试提出新的问题，哪怕是错的，通过“探”发现问题，充分发挥了学生的主观能动性，在经历观察、实验、猜想、计算、推理、验证等活动过程中，培养他们思维的广阔性和独创性.如文[2]中的案例3，立足点在“探索”课本题目的结构上，学生通过对题目的条件与结论的探索得到了许多新的问题和结论.而不是“究”题目本身怎么解，即由条件向结论转化有哪些途径？如果这样的话，“探究”就变成了非常具体的解题诚然，该题的求解过程体现了“化归”这一重要的数学思想方法，但这仅仅只是一道题的孤立解法，没有呈现出探究性学习内容选择上的“开放性”这个主要特点，与探究性学习的主旨不符.
（2）“探究”与“解题”的关系
探究性学习的开展需要有合适的载体，即使是学生提出的问题也要加以整理归类.作为探究性学习的载体应有利于调动学生学习数学的积极性，有利于学生创造潜能的发挥.如前所述，在解题教学中开展探究性学习是许多教师经常采用的，也是目前探究性学习在高中数学教学中运用的一个主流.确实，对于探究性学习而言，把数学问题解决作为课题是教学实践的一个很好的切入点，也是比较容易开展的一个内容苏教版教材“探究·拓展”栏目在这方面提供了蓝本和素材，从数学教学的实践看，数学开放题用于探究性学习是合适的.问题是：用什么样的开放题作为我们教学的内容？总的来讲，选择的问题难度应尽可能处在学生的“最近发展区”内，以真正吸引学生参与到探究活动中.具体说，用于探究性学习的开放题应尽量能有利于学生充分利用自己已有的数学知识和能力解决问题.由此，也带来了“探究”与“解题”的关系问题.
就独立的数学问题而言，“探究”包含了“解题”这个环节，但绝不是单纯的解题或者解题思路的探求，而是比解题更加宽泛的题目变形和类比、结论引申和推广、数学方法运用和移植，通过探究一个题达到解决一类题，通过解决该问题的一种数学方法延伸到多种数学方法的应用，通过体现一个数学思想到数学思想贯穿探究的全过程，使学生感受从特殊到一般的研究解决问题的方法和化整为零、各个击破的研究解决问题的策略，亲身体验到数学探究的激情和成功的乐趣.从教学目标看，“探究”与“解题”虽然有着一定的关联性，但是有区别的.探究性学习的教学目标是：学会提出问题和明确探究方向；学会交流、分享与合作，体验研究探索的数学活动过程；培养发现问题和解决问题的能力，提高创新精神和应用能力.下面通过一个案例佐证“探究”不仅仅是“解题”这个论点，同时说明问题性是探究性学习内容呈现的主要方式.
题1 不查表求sin75°的值.
对于此题的求解可利用公式sin（α+β）得到，教师马上出示下一个题目：
探究1 引导学生从题型角度思考（问题的表象），用下面的数学题让学生探究：
题3 已知sinα=
，cosβ=
，α是第一象限角，0＜β＜π，求sin（α+β）的值.
在本题中可以变换哪些条件或结论？对应的解答方法和书写过程怎样？取消角的取值范围后，解题应作怎样的处理？这些问题是探究的重点.
探究2 从公式的字母意义角度思考（问题的表征），出示下面题目让学生探究：
题4 已知sin（α+β）= 
，cos（α-β）= ，α，β都是锐角，求sin 2α，cos2β的值.
关键是让学生探究出sin 2α=sin[（α+β）+（α-β）]，然后仿上题解答.再让学生变换有关的条件或结论，从而使学生明确解此类题的一般模式.
探究3 从思维角度思考（问题的本征），用下面的数学题让学生探究：
题5 已知cos（α+β）= ，sinα=
，α，β都是锐角，求sinβ.
由于思维定势作用，学生会按公式
展开sin（α+β），在展开式中就含有五个量，而由题设只能获知其中的三个，故此路不通.为克服由思维定势带来的解题障碍，进一步引导学生观察结论中的β，和条件中的α+β与α之间的联系，使之获得sinβ=sin[（α+β）-α]，从而抓住了解决本题的关键，便可利用已有的解题模式处理.
探究4 迁移到方程（问题的内涵与外延），引导学生探究下列数学题的解答：
求sin（x-y）的值.
若展开sin（x-y）有sinxcosy-cosxsiny，涉及“四个量”，而题设只给出了两个方程，不能由解方程组获得sinx，cosy，cosx，siny的值.如求sinxcosy与cosxsiny这两个积的值也不行.引导学生从整体上探究，若先求出了cos（x-y）的值，则运用同角三角函数公式就能求出sin（x-y）的值.这就需要先求出cos x cos y+sin x sin y这个整体的值.显然由①与②的平方和可立即求得.当然还不能立即得到本题的解答，还需让学生分别对题目进行题型的一般化和特殊化探究，最后得出其解法.
探究性学习使学生有了更多积极探索的空间，思维呈现多维性，教师引导学生从多角度、多方位、多层次地探究问题，层层深入，环环相扣，积极探求解题方法的多样性和应用的广泛性，不仅仅简单地寻求一题多解，而是在多题一解、问题的递进、方法的移植等方面作深入探究，启发学生对数学题之间进行比较分析，把握本质，区别异同.
有意义的数学学习过程不单纯依赖模仿与记忆，而在于学生主动地进行观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动，从而形成对数学知识的理解和有效的学习策略.从这一意义上来说，探究性学习模式是有意义的接受式学习的极好补充，值得倡导.