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[中图分类号]B016 [文献标识码]A [文章编号]1006-642X(2001)02-0014-07
一、引言：必要的省略
科学史家和方法论专家们曾注意到，伽利略由于有意无意地略掉了实验中的一些次要的因素，如种种摩擦力等等，而获得了前所未有的崭新的科学认识。可以说，若没有省略便没有实验科学，伽利略对实验所采取的这种态度，使G·霍尔顿想起了一句古老的妙语：“要发展科学，学会忽略几乎比严密考虑更有益”[1](P128)。事实上，伽利略所省略的远不至此，他把自己的研究限制在现象之中，且仅仅是可测量的现象之中；由于伽利略作了大刀阔斧的削减，物理学便从哲学的统一体中分离出来，成为一门独立的学科，它把现象作为对象，而把本质问题留给哲学。后来的牛顿正是沿着伽利略所预先制定的路线才把科学认识推向前进并赢得全面胜利的。
现象—本质，这是哲学长期形成的一对范畴，但其对称性在新的科学认识中被破坏了，科学的全部注意力都集中在现象方面。如果说哲学是时代精神的反映的话，那么康德的哲学是紧追时代潮流的。他的“物自体”（德文，Ding(e) an sich；英文，thing(s) in itself）概念所反映的正是走在时代前面的科学精神。康德对“物自体”的规定实质上是从相反的方面对科学认识性质的哲学说明。
然而，不管哲学家们在什么意义上挽留这种概念，都不能阻止科学的省略，当科学界在现象的直观内容和现象的逻辑形式之间决定取舍以进一步作省略的时候，科学认识又孕育着一次新的飞跃。
二、通向新时代的桥梁——第5公设的探索
公设5：倘若一条直线与两条直线相交，使得在同侧所成的内角之和小于两直角，那么这两条直线如果无限制地延长下去，就在内角之和小于两直角的一侧相交（注：据L·戈丁：《数学概观》，1984，科学出版社，P131-132，公设5的这种陈述“是欧几里德关于平行线的第5公设的逐字的翻译”。）。
据有关考察，这条公设是欧几里德自己提出来的，是一个杰出的贡献。但是，因为它不是那么“一望而知”，所以，在欧几里德的时代就遭至反对，甚至向欧几里德提出挑战的第一个人就是欧几里德本人。[2](P140)不少几何学家企图用别的公理来证明它，这当然是一种最简化的要求。但其意义远不限于这一点，这个由亚里士多德提出的方法论原则的实施，把直观的不确切性压到最低限度，从而更有效地避免了悖论，使空间直观有更充分的逻辑分析。可见，简化主要是简化直观，这无疑促进了几何学形式化的进程。
在欧几里德之后2000年间，几乎所有的大数学家都曾从事过公设5的研究。其研究主要可分为两大阶段：
第一个阶段为“承认”阶段，学者们同意欧几里德所说的“事实”，但因其繁杂晦涩，人们试图找到更为自明的公设来代替它，或用其余五个公理和四个公设来推导它。
第二个阶段为“否定”阶段，这个阶段是由于人们企图用反证法证明公设5而达到的，其结果是一系列非—欧几里德几何学（以下简称非—欧几何学）的创立。
第一个阶段的工作，如上所述，显然是为了避免模糊的直观所引起的悖论，使更多的几何学内容成为逻辑形式推论。在“承认”阶段，人们获得了很多与公设5等价的命题，但更有意义的是企图把公设5作为其余公理推论的形式使人们最后从直观的束缚下解放出来。
在与公设5有关的工作中，最引人注目的是意大利数学家G·萨开里(Girolamo Saccheri,1667-1733)，瑞士数学家J·H·伦倍脱(Johann Heinrich Lambert,1728-1777)和法国数学家A·M·勒祥德儿(Adrien Marie Legendre,1752-1833)的，后来非—欧几何学的创立，正是他们工作方向的继续。所以，他们被誉为非—欧几何学的先驱。这些先驱者通过自己的工作展示出直观与逻辑一致性或不矛盾性的悖论，而非—欧几何学的诞生正是对悖论的一个解决。
G·萨开里1733年发表的《从消除一切缺陷和经验性而建立起普通几何学的最初原则的欧几里德》(Euclides ad Omni Naevo Vindicatus)，企图用反证法证明公设5。
萨开里以欧几里德《原本》第一卷最初26个命题作基础。他从讨论底边AB上的两角都是直角且侧边BC和AD等的四角形出发。萨开里首先证明了这个四角形的中线EF垂直于双方底边并且上底边上的角α和α′相等。然后他提出三个假设：
(1)钝角假设：α＞d；
(2)直角假设：α=d；
(3)锐角假设：α＜d
因钝角假设导致矛盾，故被否证。他为了证明公设5，必须要否证锐角假设，但是他没有推出与前提相矛盾的合乎逻辑的结论。然而，他以逻辑以外的理由认为自己的第33命题是“谬误的”推论：
若锐角假设是对的话，则在平面上存在两条直线1[,1]和1[,2]，它们在一方向无限地相互接近而在反方向无限地分开。所以，萨开里断言：1[,1]和1[,2]在无限远点P∞将有共同的垂线1，但这与直线的本质相矛盾，所以，锐角假设不成立。
当然数学家萨开里也感觉到锐角假设的“逻辑矛盾”并没有证出来，所以后来又作了些补救工作。
J·H·伦倍脱以类似的方式作了同样的工作，只是他的几何观念更加形式化了。他认识到任何一组假设如果不导致矛盾的话，必存在一种可能的几何。显然，伦倍脱的几何观念已脱离了直观，为几何学进一步形式化奠定了基础。
三、罗卜切夫斯基几何学的创立
由于人们在所谓“承认”阶段没有达到目的，所以，迫使人们从相反的方向去研究公设5，这就是“否定”阶段，其直接结果就是非—欧几里德几何学的发现。
H·赖欣巴哈曾认为，几何学的发展，即从欧几里德几何学到非—欧几里德几何学表明综合先天判断的解体[3](P100-115)。关于这个过程是否说明了综合先天判断的解体，尚须要进一步地研究，但无论如何，它没有证明逻辑经验主义是正确的。
第5公设的探索者们或非—欧几何的先驱们之所以不敢轻易否定第5公设即平行公里，并不是由于他们缺乏经验，因为非—欧几何的创始人与他们的先驱相比并没有在这方面增加什么新的东西。有史以来人类第一次“经验”（也许用解释更恰当些）空间弯曲是在1919年5月29日，当时由英国天文学家爱丁顿(A.S.Eddington,1882-1944)和克罗姆林(Andrew Claude de la Cherois Crommelin,1865-1939)领导的两个日全食观测队在西非几内亚湾的普林西比(Pricipe)岛和巴西的索布腊尔(Sobral)分别测得光在太阳边缘出现1.61±0.30秒和1.98±0.12秒的弯曲[4](P45-46)；而这与非—欧几何思想相差一个世纪，这是非—欧几何学创始人所无法超前经验的。
习惯于从希腊式的直观思考问题的头脑，还不善于分析，还不善于割裂对象——因为这与他们的谐和统一观不相容：“欧几里德的公理作为一个整体来看，似乎是那么自然，那么明快，以致使得人们觉得它们在逻辑上是必须的，或者按照康德的说法是综合先验的(Synthetica Prioni)。”（注：Wahg Hao:A Survey of Mathematical Logio,P2，引文重点号为引者所加。）希腊人试图用其它公理或公设来推导第5公设，说明他们还没有认识到公设在逻辑上的独立性。事实上，也许反过来说更合乎希腊人的认识，他们知道“公设”在逻辑上没有独立性，因为公设与公理是不同的，后者是无法证明的，而前者是未经证明但需要证明的。当然，他们的证明在逻辑上并没有达到目的，只是增加了些与公设5等价的且在他们看来更具直观明显性的命题。
我们知道意大利数学家G·萨开里第一个企图用反证法来证明第5公设[5](P99)，后来的探索者们也都采用了否定的方法，数学史家不只一次地陈述了这个事实，但没有一位数学史家把应用反证法作为一个问题来考虑，即为什么在萨开里之前人们不应用这个方法证明第5公设——我们知道远在毕达哥拉斯的时代数学家就运用反证法了——而非要经过2000年的时间，人们才对这种方法普遍感兴趣？
如果立足于方法且从发展的眼光来看，证明方式的转变是带有必然性的——专家们之所以没有注意到这个问题，主要是由于他们根本就没有意识到方法还有一个历史，还是不断发展的。我们知道，自牛顿以来实验方法已风靡知识界，到处都盛行着实验方法，并且在这种方法的影响下出现了形而上学思潮，而反证法在证明中的主要作用恰恰是把第5公设与其它公设割裂开来。只是当时的数学家还没有完全摆脱直观的诱惑，把直观等同于逻辑，似乎直观不真，逻辑就必假，以致于把刚得到手的数学成果又随手扔掉了。这种陈腐的观点大大地推迟了非—欧几何学的发展。但是，在实验浪潮的冲击下，直观的统一原则最后还是不得不让位于实验的原则。所以，非—欧几何学的创始人们在实验时代走出了书斋，企图通过对客观存在的空间的实际测量来找到他们的几何根据。例如，高斯(Carl Friodrich Gauss,1777-1855)为检验欧几里德几何和他的非—欧几里德几何的应用可能性，曾实际测量了由三座高山（Brocken,Hohehagen和Ihselsberg）山峰构成的三角形的内角之和；他发现内角之和比180°超出14″·85，当然这个实验无所证明，因为实验误差远大于超出值，所以，正确的和可能是180°或甚至更小些[6](P289)。1817年他在给W.M.奥尔伯斯(Heinrich W.M.Olbers,1785-1840)的信中说：
我愈来愈深信我们不能证明我们的（欧几里德）几何具有（物理的）必然性，至少不能用人类理智，也不能给予人类理智以这种证明。或许在另一个世界中我们可能得以洞察空间的性质，而现在这是不能达到的。直到那时我们决不能把几何与算术相提并论，因为算术是纯粹先验的，但可把几何与力学相提并论。[6](P289)
罗卜切夫斯基(N.I.Lobatchewski,1793-1856)也有类似的观点，他写道：
大家都知道，在几何里平行线理论到如今还是不完全的。从欧几里德时代起，经过二千年的期间，徒劳的努力使我怀疑了在这些概念里自身还不能推断出一个真理，这个真理，人们希望证明它而且只能像其他物理的法则一样，根据经验来检验它（例如天文的观察）。我对于自己的推测的真实性最后确信了并且认为难题已经完全解决，便在1826年写了与此有关的文章。
在1835年出版的《虚几何学》中他继续写道：
在我的关于几何原始（注：笔者在查阅参考文献时发现，关于罗卜切夫斯基的Ο Ηачалах 
有种种不同的汉译，除现在的引文译为“关于几何原始”之外，还有译为“关于几何学原理”，如“论几何学的定理”、“几何学原理”，“论几何基础”，……俄文的Ηачал相当于英文的Elements，即“几何原本”或“原本”，它是一些主要的命题，是原则性的，渗透一切和可以证明其它命题的。据有名的注释家普娄克洛(Proclus)说，第一个编写“原本”的是公元前5世界的希波克瑞(Hippocrates of Chios)，此后的一百多年经过多次修改到公元前300年欧几里德才写成了流传至今的《几何原本》。在苏步青先生译的B·N·科士青《几何学基础》中，罗卜切夫斯基的这篇论文为《关于几何原本》。）的著作中，我曾经证明过，根据一些天文的观察，在两腰约摸等于从地球到太阳的距离的三角形里，角的和与两直角相差不到六十分量角制中的O″·0003。因此，通用的几何的假设，应该像旧的证明那样予以重视，而同时要肯定的是，不依赖经验而去寻求这种真理的证明是徒劳无益的，这证明也不包括在我们关于物体的概念里。[7](P26-27)
当然这是始创者壮着胆子说的，看看他的书名——《虚几何学》或《想象中的几何学》——就会发觉他的深处受压抑的精神。但他必竟还是说了。
非—欧几里德几何学的发现基础与欧几里德几何学有着根本的不同，后者其直观与逻辑推论的结果完全一致，而前者则彼此对立。正是这一区别使非—欧几何学的先驱们无所适从并陷入困境。事实上这种矛盾在所谓非—欧几何学的创始者身上也有充分表现。例如，被同时代人称为“数学之王”的德国数学家高斯，以“害怕标丁人(Boeoti)的喊声”为借口终生没敢发表他的几何新作；而匈牙利数学家J·波利埃(Johann Bolyai,1802-1860)虽发表了他的著作，但终因无人理解和支援而陷入失望，并抛弃了一切数学研究；最勇敢的是俄国喀山大学的数学罗卜切夫斯基，就是他，也是怀着胆怯的心绪来公布自己的研究结果的。这点不难从它的一系列论著的题目中看出来，例如，1835年，即非—欧几何学创始9年之后，他仍把自己的几何学叫作вооБражемая геомтрия（《想象中的几何学》或《虚几何学》），1836年又发表了применение вооБражаемои геометрии к некоморим интегралам（《想象中的几何学在积分上的应用》），而他最后一部著作在他看来也仅仅是想象，所以叫作пангеометрия即《泛几何学》。因为他与高斯一样，都试图通过实际观测来证明其几何学是真实空间的属性，不过都没有成功——没有支援他们的成功的经验。
王浩指出，“十九世纪最初三十年，罗卜切夫斯基、波利埃和高斯各自独立地发现了一种不矛盾的几何学，其中平行公理被通过一个给定的点有不只一条平行线与一给定直线平行的假设（重点号为笔者所加）所替代”[8](P2)。非—欧几何确实比之欧几里德几何更富有假设的意味，高斯同时代的两位年轻的数学天才是凭着勇敢精神才发表自己工作的成果，因为他们是受情绪的支配接收了新几何学，他们相信非—欧几里德几何学与欧几里德几何一样在逻辑上是相容的，但谁也没有证明这种逻辑相容性。也许高斯的谨慎是必要的，因为按照一些人的说法从欧几里德几何转向非—欧几何不足理性的进展，而是“心理上的突破”[9](P79)，或是“一个信仰行动”[6](P298)。
然而，事实上“波利埃和罗卜切夫斯基确实考虑了相容性问题并且部分相信它，因为他们的三角学和虚半径球面上的三角学相同，而球面是欧几里德几何的一部分。”[6](P298)所以，这种转变仅用“信仰行动”来解释是神秘的，这当然是忽略方法的必然结果。
四、黎曼几何学的创立
我们知道，还有一种非—欧几何学曾在1915年被爱因斯坦用于他的广义相对论，这就是著名的黎曼几何学。
据说F·B·黎曼(Georg Friedrich Bernhard Riemann,1826-1866)的工作是由高斯、罗卜切夫斯基和波利埃等人所创立的非—欧几何引起的——关于物理空间的几何我们可以相信些什么，这个疑问导致黎曼几何的产生[6](P309)。不过黎曼创造非—欧几何的方式与他的前人并不一样，罗卜切夫斯基等人把空间作为一个整体来考虑，采用直接否定第5公设的新公设来建立新的几何体系；黎曼则认为我们只能局部地了解空间，所以，他从定义两个一般点之间的距离出发，这两个点所对应的坐标只相差无穷小。他假定距离的平方是
其中g[,ij]是坐标x[,1],x[,2],…,x[,n]的函数，g[,ij]=g[,ji]，且上式右边对dx[,i]的所有可能值总是正的。这实为欧几里德三维空间内笛卡儿直角坐标系表达两邻点(x,y,z)和(x+dx,y+dy,z+dz)的距离的推广。
ds[2]=dx[2]+dy[2]+dz[2]
这种被推广了的决定距离的法则就叫做黎曼度量(Riemannian metrio)，遵循这种法则的空间即为黎曼空间，这些空间的几何即黎曼几何。由此可见，黎曼进入非—欧几何是采用了微分几何的途径。
虽说罗卜切夫斯基与黎曼在立足点和研究中所用的数学工具都不一样，但在对经验的信赖上两者的态度却是完全一致的。黎曼同样相信天文学将判定究竟哪种几何学是真的。这当然是数学在实验时代的反应或者说实验方法对数学的影响。
有人说，黎曼几何学是对于欧几里德和罗卜切夫斯基几何学的必要补充[7](P191)，当然若就平行线之多寡有无而言是更完全了，因为欧几里德几何中过定点只能为定直线引一条平行线，罗卜切夫斯基几何则至少可引两条，而黎曼几何倒一条也没有。但是，按照真理的唯一性这个根深蒂固的观念，黎曼几何学的出现，不仅对欧几里德几何学是一个冲击，而且对罗卜切夫斯基几何学也是一个冲击，因为黎曼几何提出：
1)任何两点确定一条直线；
2)直线是有限而无界的；
3)平面上任何两条直线，只要延长到足够远就可相遇。
其中第2)条要求人们把直线看成是首尾相连的，就像一个圆的圆周那样。因此，一点沿一直线移动时，最后要回到它的出发点上来，“罗卜切夫斯基觉得这个观念是完全不可能接受的”。[10](P276)因出现了两个彼此相关的问题，即何种空间是真的？新几何学是否含有内在矛盾？这就是相容性问题。
五、相容性问题的解决：模型
非—欧几何的出现，对科学认识来说是一个重大事件，它使人类第一次在几何学上放弃了直观原则，而转向实验检验。有不少数学家传记作者注意到非—欧几何学的创始人的悲剧性的命运，他们受到时人的嘲笑，他们压抑、沉闷，他们心地孤独、烦燥。其最根本的原因就在于他们冒犯了传统，以致于广大的笃信直观真理的人们把他们视为异端。确实，非—欧几何的创始人们以超人的智慧把几千年来牢固结合在一起的两个观念——直观与逻辑一劈两半，从而使人们看到了一个新世界。所以，英国数学家克里弗德(Clifford)和西勒维斯特(Sylvester)说罗卜切夫斯基为“几何学中的哥白尼”。
我们知道，欧几里德几何学的相容性问题从来没有人提出过，自然也就谈不到解决了；由于它在几千年的文明中以逻辑和严谨应用广泛而取得了人们的绝对信任。欧几里德几何曾被牛顿用于力学，被拉格朗日(Lagrange)应用于分析力学，被克劳修斯用于热力学。而在他们之前的I·巴罗(Isaac Barrow,1630-1677)则把自己的数学包括微积分在内都建立在欧几里德几何学基础之上，他对几何的肯定性列举了八条理由：
1)概念清晰；
2)定义明确；
3)公理直观可靠而且普遍成立；
4)公设清楚可信且易于想象；
5)公理数目少；
6)引出量的方式易于接受；
7)证明顺序自然；
8)避免未知事物[6](P276)。事实上，当时很多人都想把逻辑基础模糊的算术、代数和分析，建立在欧几里德几何之上，以保证这些分支的真理性。
非—欧几何，在直观上与传统认识相冲突，人们对其逻辑推论的一致性很是怀疑。由于非—欧几何学改变了研究原则，所以，它与欧几里德几何学的差别不只是因第5公设的不同而产生了不同的推论，更为重要的是研究的方法与对象有了根本的改变，因而产生了一些新问题：
1)把现实空间的研究变为可能空间的研究；
2)把直观内容的问题转为逻辑形式的问题；
3)由于1)和2)，所以，产生了非—欧几里德几何学的相容性问题。非—欧几里德几何学的创始人最感这个问题的迫切性，因为直观被他们省略，而剩下的唯一问题也就是所推得的系统的一致性问题。如果连这一方面也不加保留的话，则意味着他们毫无成果，高斯和波利埃虽然系统没有充分张开，但他们仍深信否认第5公设不会导致矛盾；而罗卜切夫斯基在作了大量的系统推演的时候确实也没有碰到矛盾；但这并不是对非—欧几何不矛盾性的证明。
在黎曼之后，由于微分几何和射影几何学的长足进步，使之用模型方法证明非—欧几何学的不矛盾性得以实现：
1868年，意大利数学家E·倍脱拉米(Eugenio Beltrami,1835-1900)，在他的《非—欧几里德几何学解释的尝试》(Saggiodi interpretazione della ge ometria non-Euclidea)中提出，罗卜切夫斯基几何在作了某些限制之后可以看作是一些曲面的内蕴几何。所以，罗卜切夫斯基几何像欧几里德几何一样是现实的曲面理论的一个部分。稍后，E·倍脱拉米又提出用球面作为黎曼几何的模型，用球上大圆的部分作为直线。
1870年，德国数学家F·克莱因(Felix Klein,1849-1925)在射影几何学的基础之上给欧几里德几何学、罗卜切夫斯基几何学和黎曼几何学以统一的解释。由于F·克莱因的富有说服力的工作，人们当时普遍认为罗卜切夫斯基几何学与欧几里德几何学同样无矛盾这个事实已经证明了，使罗卜切夫斯基几何学获得了最后的承认。
这是一些直观的模型，它发挥了很好的解释作用，F·克莱因在其有名的爱尔兰根纲领(Frlangen Programm)（注：F·克莱因1872年被接纳进入Erlangen大学的演讲：《近代几何学研究的比较评述》(Vergleichende Betrachtugen uber neuere geometrische Forschungen)。）中曾主张，“现在让我们把我们的空间直观看成和数学不相干，让我们把空间看成若干维的流形，其元素是点。……”但放弃直观对克莱因只不过是暂时的，因为归根结底在他看来，“总应该要求一个数学主题变成直观上显然，才可认为研究到头了。”
然而，数学日后的发展并不支持克莱因的观点，给出模型或解释的目的在于使问题明显化，但它决不是向直观的简单复归或补充最初定义之不足，因为它主要是通过与已确知的真理建立起某种对应关系以避免矛盾，所以，模型方法的提出进一步地促进了形式化的发展。这一点，在希尔伯特构思其新的几何观念中表现得十分明显。
六、彻底冲垮作茧自缚的屏障
在几何学的形式化进程中，德国大数学家D·希尔伯特(David Hilbert,1862-1943)的《几何基础》占有特殊的位置，它是一部划时代的著作，是对从欧几里德以来两千余年几何学发展的一个创造性的总结。它不仅给出了一个欧几里德几何学的形式公理系统，而且具体地解决了形式公理方法的一些根本问题。所以，有人说它是第一本关于形式公理方法的著作。
当希尔伯特的《几何基础》1899年一出版，立即就轰动了整个数学界，法国大科学家H·彭加勒怀着兴奋的心情肯定《几何基础》是一部经典著作：
（当代有些几何学家觉得：在承认以否定平行公设为基础的可能的非—欧几何方面，他们已经达到了极限。）如果他们读一读希尔伯特教授的这部著作，那么这种错觉就会消除，在这部著作中，他们将会发现：他们作茧自缚的屏障，已经被彻底冲垮了。
而在彭加勒看来，这部巨著的唯一缺点是：
希尔伯特教授似乎只对逻辑的观点感兴趣，给定一串命题，他发现所有的命题都可以从最初的命题逻辑地推出。至于这个最初命题的基础，它的心理学的起源，他并不关心……公理被假设了；我们不知道它们从何而来，假设A与假设C同样地容易……因此，他的著作是不完全的，但这并不是我对他的批评。事实上，人们永远不可能达到绝对的完全。希尔伯特教授使数学哲学向前迈进了一大步，这已经足够了……[11](P79)
但在希尔伯特之前至少半个世纪，人们已在这个方向上工作了。这当然是与非—欧几里德几何学的发展有关，因为各种可能的几何学的实现给人们带来了一种希望：从空间直观中分别地抽象出数学来。例如，1844年H·哥拉斯曼(Hermann Grassmann,1809-1877)在他的《扩张研究》(Ausdehnugslehre)中强调这样一种观点：
纯数学与它在自然界中的应用之间是有差别的，所以公理不必在物理世界中是真实的，当然推论的由来必然与空间直观无关。因此，必须避开对图式(digrams)和几何概念的意义的依赖[8](P2)。
M·巴士在其1882年的《新几何学讲义》(Vorlesungen über neuere Geometrie)中坚持这个新观点，因而发现了欧几里德几何公理化系统的很多不足之处，他揭示了这个系统中所暗含的假设并重新整理了它们。例如，他从形式的观点，注意到下述公理的必要：
过三角形顶点之外的任何一点与三角形一边相交的直线，也必然与三角形的另一边相交。
因为形式化方法能使暗含的假设明朗化，所以，它是避免悖论的一个有效的方法。事实上，人们在探索公设5的过程中之所以感到在非—欧几里德几何学的方向上前进困难，或者“发现”否定公设5为悖论，主要是由于暗中的假设造成的。如果使其明朗化，悖论当然可以消除，而几何学的形式化的进一步发展就是在这样的情况下促成的。
M·巴士把几何学归之为纯粹的逻辑语法规则，因此，避免对那些以视觉明显性为基础的假设的不自觉的依赖。而G·皮亚诺(Giuseppe Peano,1858-1932)的几何观点更为抽象，他把几何学看作变元之间关系的演算。但由于他们的作法过于激进，使人们不易接收。希尔伯特则采用了一个表面看来折中的方式——在欧几里德几何的古典框架内提出现代观点——赢得了群众。
希尔伯特进一步强调几何概念的直观意义不应作为推理的根据，重要的乃是公理赋予它们的各种联系。由于他彻底抛弃了直观，所以成功地建立起了他的几何学的形式公理系统。
在《几何基础》第一章中，他给出三种几何元素：点、线、面，但与欧几里德不同，希尔伯特并没有给诸元素以定义。这些元素的意义不在自身，而在相互关系之中，这种关系可用“在……之上”、“在……之间”、“全合”、“平行”、“连续”诸术语表示。
从这里我们不难看出，由于他的几何对象不是元素，而是元素之间的关系，所以，把“点、线、面”说成是“桌子、椅子和酒杯”或其它什么东西都变得无所谓了，因为关系才是对象，而其元素的内容如何在这种几何学中并不研究。在希尔伯特看来，几何公理就是这些关系的恰当，而又（对于数学的目的而说的）完备的叙述。
希尔伯特在给出了五组公理之后，运用模型方法解决了公理系统的一致性问题和公理之间的独立性问题。值得注意的是“一致性问题”和“独立性问题”都是关系问题。因为其几何元素既没有定义也没有直观的解释，所以，这种几何学可以有各个不同的解释或模型。这种灵活性是以前的几何所从来没有的，它使人们从本体论的束缚下解放出来。使人们看到了种种可能世界，这就是所谓解释。
[收稿日期]2001-02-18