关键词：滤波反投影图像重建模型 傅里叶切片定理 CT成像系统
1.利用傅里叶模型建立测定模型
在CT系统旋转中心位置、探测器单元的间距等参数，求解未知介质在正方形托盘中的位置、几何形状和吸收率。建立模型的步骤如下：
Step1:利用滤波反射投影的原理[3],建立滤波反投影图像重建模型。
设表示需要重建的图像，用表示在角度获取的的一个平行投影，表示X射线投影到对称中心（即旋转中心）的距离，设是位于角度下的投影X射线平行的坐标轴，它与所在的坐标轴垂直，并对进行一维傅里叶变换，得到：
(1)
带入数据，得到：.png)
(2).png)
结合笛卡尔坐标系下直线的法线方程的表述形式：
(3)
故CT系统使用的X射线的投影可以利用公式(5)建立直线模型。X射线的投影信号中的任意一点由沿着直线的射线可以推出。连续变量的情况下，转化为线积分，同理可得：
(4).png)
公式(5) (6)是沿xoy平面内任意一条直线的的投影（线积分）的公式，即雷登（Radon）变换[1]。
离散情况下，(6)式变为：.png)
(5)
式中，是离散变量。令不变，当变化时，即可得到公式(5)对的像素求和，的变化范围要能覆盖图像。改变并重复上述推导过程则可以产生另外投影。以此类推产生不同角度下的多个投影，结合投影可以得到点在xoy坐标系内的坐标：
.png)
式中，R为点到原点的距离。
同理，可得点在投影坐标系tos中的坐标为：
(6)
将(11)代入公式(4)，并进行二维傅里叶变换，得到：
.png)
(7).png)
令，，则.png)
(8)
由傅里叶变换可知，图像函数可以通过傅里叶反变换中恢复，并且，利用对称关系，得到：
(9).png)
如果令,式中表示滤波函数。则公式(9)可以写为：
(10).png)
公式(10)就是滤波反投影[2]的主要公式。
Step2:利用傅里叶切片定理[3]将标定参数重新整合，逆推得到未知介质的相关信息。傅里叶切片定理阐述了维傅里叶变换和被投影区域图像的二维傅里叶变换间的关系。利用上述关系建立图像切片模型。.png)
推导出X射线投影的一维傅里叶变换为： (11)
式中，为频率变量，为一定值，结合相应的推导公式,即可推出对应的的二维傅里叶变换：
(12).png)
2.模型的求解
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图1 模型求解流程图
基于上述建立的滤波反投影图像重建模型和图像切片模型，结合流程图（见图1）分别输出每个分析结果的图形。
结合流程图，需要先导入已知标定参数数据。为确保标定参数的正确性，利用标定参数数据逆推求解标定模板。进一步采用滤波反投影图像重建模型模型，对数据进行傅里叶一级变换并利用MATLAB软件可以分别输出对未知介质连续拟合的结果。
根据得到的三维网状图，利用MATLAB软件数据处理方法，通过寻找特殊状态及与探测器单元间距的数学关系，即可输出未知二维介质的初始图像。
3.对输出图像作清晰度处理输出结果
考虑到初始图像的呈现过于模糊，不便于做进一步数据处理，因此，分别利用R-L滤镜处理法[4]和S-L滤镜[5]处理法针对图形的不同特点进行处理。
Ramp-Lak滤波器，它实际上是直接截断V型滤波器高频部分的结果，该滤波函数的特点是形式简单。重建的图像轮廓清楚。缺点是由于在频域中用矩形窗函数截断了滤波函数，在相应的空域中会造成振荡响应，即Gibbs现象。
对输出结果进行分析判断可得，二维未知介质的中心应与正方形托盘的中心重合，所以对上述处理后的图像进行重新定义，即可输出重新定义后更为清晰的未知二维介质的图像及未知二维介质吸收率的结果。
4.结语
利用CT系统成像原理构建的滤波反投影图像重建模型通过对已知介质的数据进行分析，利用傅里叶变换模拟出来原图形形状和位置，其可视化界面形象逼真，操作简便，便于推广使用。在数据处理方面，巧妙的将数据图像化，使其更可观，同时为能够迅速掌握实验数据的特点并建立相应的成像模型提供了参考经验。
参考文献
[1]R. Clackdoyle,M. Defrise,庄天戈.步入21世纪的断层图像重建[从不完全数据重建感兴趣区][J].生物医学工程学进展,2012,33(01):23-42.
[2]柯丽,刘欢,杜强,曹冯秋.基于滤波反投影的脑磁感应迭代重建算法研究[J].仪器仪表学报,2016,37(11):2445-2451.
[3]张晓瑞.基于Radon变换的滤波反投影重建算法研究[J].电脑知识与技术,2016,12(27):259-261.
论文作者:张雨欣
论文发表刊物:《建筑实践》2019年38卷22期
论文发表时间:2020/3/10
标签：图像论文; 模型论文; 介质论文; 公式论文; 数据论文; 射线论文; 切片论文; 《建筑实践》2019年38卷22期论文;