“两步连除计算”的微型调查研究，本文主要内容关键词为：调查研究论文,两步论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、问题的提出 在教学苏教版三年级上册“三位数除以一位数”练习课时，我们补充了“612÷2÷4”一题.学生的解题方法归纳起来有以下两种： [解法1]612÷2÷4=306÷4=76……2 [解法2]612÷2÷4=612÷8=76……4 这两种解法都正确.可对于“一题两解”（此处的“解”并非解题方法，而是指答案），学生产生了疑问：为什么同样是一道数学题，会有两个“不同的答案”呢？我们向学生解释：两种解法本质是一样的，这道题目其实只有一个答案.为此，我们还出示下面的第三种解法，并让学生把它与上述“两个答案”放在一起观察、比较与讨论. [解法3]612÷2÷4=153÷2=76……1 学生左顾右盼，百思不得其解，仍然坚持三种解法中只有一种是正确的，但又找不出其他两种解法的问题所在.于是，我们对学生是否真正理解余数产生了怀疑，并就此问题请教了该班的数学教师T.T老师起初并不清楚上述“一题三解”的因果，电话咨询区教研员后才明白个中缘由.T认为，课程标准没有要求三年级学生掌握此类问题，教师教学参考书上也没有涉及这种问题的教学设计，作业设计也未曾出现过这种类型的题目，这类问题对于三年级学生来说可能“高深”了些，三年级学生不具备理解这个问题的能力，这“一题三解”问题要在“一定的数学准备”之后才能被提到课堂上来讲解或解决.同时T老师要求我们不要再向学生提及这个问题，否则只会“越解释越混乱”！ 但是，我们内心始终不能接受T老师的说法，难道课程标准中没有明确规定、教师教学参考书上没有具体的教学设计、学生的作业设计中没有类似的题目，我们就不需要正视这类涉及数学概念的本质问题吗？课程标准（2011年版）中，“自主探究”、“创新意识和实践能力”等都得到了极大的重视，但在具体实施过程中，究竟探究什么，怎样探究，以及如何培养学生的创新意识和实践能力等，都需要我们认真探讨与研究.上述“一题三解”问题如此吸引着我们，以致决定利用学生的课余时间就他们对余数的理解情况作一调查，并努力探寻造成这一“困惑”的教学法根源，以及可能的教学法建议. 二、研究内容 上述“612÷2÷4”一题只是“有余数的连除”的一种情况，为全面考查学生对这类问题理解的广度和深度，我们设计了两组题目：第一组是5道纯粹的计算题，这5道题涵盖了有余数的两步连除可能出现的所有情况；第二组是5道实际问题，实际问题的设计与计算题的数据相同. （一）计算题的设计与分析 5道计算题是：（1）352÷2÷4；（2）612÷2÷4；（3）127÷4÷3；（4）178÷2÷3；（5）178÷3÷2.它们涵盖了两步连除可能出现的所有情况：第（1）题是两个除数都能整除被除数，因此，两个除数的乘积也能整除被除数；第（2）题是两个除数都能整除被除数，但两个除数的乘积不能整除被除数；第（3）题是两个除数都不能整除被除数，因此，两个除数的乘积也不能整除被除数；第（4）题是第一个除数能整除被除数，第二个除数不能整除被除数，因此，两个除数的乘积不能整除被除数；第（5）题是第二个除数能整除被除数，但第一个除数不能整除被除数，因此，两个除数的乘积不能整除被除数. （二）实际问题的设计与分析 5道实际问题是：（1）三年级有2个班，每班有4个小组，现在共有352本图画书，三年级平均每个小组可以分到多少本图画书？（2）美术学院有一个2层的展览馆，每层有4个展厅.在这些展厅里一共放了612幅画，平均每个展厅放多少幅画？（3）向阳小学来了3组实习教师，每组4人，一共批改了127本作业，平均每人批改了多少本作业？（4）2只燕子3天共吃害虫178只，平均每只燕子每天吃多少只害虫？（5）小红和小明两人3天共写了178个毛笔字，平均每人每天写多少个毛笔字？ 5道实际问题都不止一种解法，它是第一组题目的延续：当无法继续第一组某些题目的计算时，通过第二组题目赋予各数以实际“意义”，可能有助于那些题目的解答. 三、研究方法与过程 我们在三、四年级各挑选2个学生，并请他们分别完成上述两组题目.4个学生的解题情况如下（三年级2个同学分别记为A、B，四年级2个学生则分别记为C、D）： （一）学生对计算题的解答 4人对第（1）题的解答分别是： A：352÷2÷4=44. B：同A. C：352÷2÷4=176÷4=44. D：352÷2÷4=352÷（2×4）=352÷8=44. 第（2）题至第（5）题A、B、C都是按从左往右的顺序依次进行计算的，因此在解答第（3）、（5）题时无法完成.而D则都是先把两个除数相乘. （二）学生对实际问题的解答 4人第（1）题的解法都是：2×4=8（个），352÷8=44（本）. 4人第（2）题的解法都是：2×4=8（个），612÷8=76（幅）……4（幅）. 4人第（3）题的解法分别是： A：不会除. B：开始不会除，后来计算127÷3=42（本）……1（本），42+1=43（本），43÷4=10（本）……3（本）. C：3×4=12（人），127÷12=10（本）……7（本）. D：同C. 4人第（4）题的解法分别是： A：2×3=6（天），178÷6=29（只）……4（只）. B：同A. C：178÷2=89（只），89÷3=29（只）……2（只）. D：同A. 4人第（5）题的解法分别是： A：2×3=6（天），178÷6=29（个）……4（个）. B：同A. C：178÷2=89（个），89÷3=29（个）……2个. D：同A. 四、结果与分析 （一）计算题的结果与分析 针对解题过程中出现的问题，我们组织4个学生进行了讨论.具体结果如下： 1.A、B讨论的结果 A、B都认为第（1）、（2）、（4）题的解答肯定正确，问题聚焦在第（3）、（5）题上.在解答第（3）题时，A完成了一半，B虽然有了答案，但他不能确定是否正确；两人虽然对第（5）题都有结果，但也都对自己的答案没有把握.我们请他们思考问题出在哪儿，有没有其他解法，但他们一致认为：老师的题目出错了. 2.C、D讨论的结果 C、D都肯定了第（1）题的两种解法，受D的解法影响，C也能够把原本“做不下去”的第（3）、（5）题完成.问题主要集中在第（2）、（4）题上，C、D都坚持认为各自的解法没有问题，但为什么两者的结果“不同”呢？讨论之后一度得出“计算顺序改变，结果也随之改变”的结论，后来自己又推翻了它.但到底问题何在，仍不得而知. 3.A、B、C、D一起讨论的结果 经过讲解，A、B接受了D关于第（3）、（5）题的解法，问题同样集中在第（2）、（4）题上.A、B、C的答案相同，有了A、B的加入，C更加坚定了自己的解法，D似乎有点动摇，在草稿纸上用A、B、C的从左往右依次计算的方法验算了一下，得出“76……2”的结果，最后在没有改变解题方法的情况下，直接把最后一步的答案由“76……4”改为“76……2”. （二）实际问题的结果与分析 A、B、C在解答纯粹的计算题时，用的都是从左往右依次计算的方法，而在完成第（1）、（2）道实际问题时，则用了先乘后除的解法.如此，A、B、C对计算题的解法可能并没有因为数据相同而影响到实际问题的解法.A、B对第（4）、（5）道实际问题的解法、C对第（3）道实际问题的解法同样如此. 问题是A、B对第（3）道实际问题的解法、C对第（4）、（5）道实际问题的解法.A、B在解答计算题第（3）题时已经碰了壁，到了解答第（3）道实际问题时，仍然没有考虑用其他方法.交谈后得知，“第一步就有余数的题目不能做”的想法在他们心中已根深蒂固，这使得他们根本没有认真思考第（3）道实际问题，一看到“127、4、3”这三个数就觉得“不能做”，可以说，由于数据相同，A、B对计算题第（3）题的先入为主的想法影响了第（3）道实际问题的解答. 至于C对第（4）、（5）道实际问题的解法，为什么没有像解答第（1）、（2）、（3）道实际问题一样，用先乘后除的方法，她解释说，第（4）、（5）道实际问题中没有明确告诉我们“每份数”、“份数”，所以从问题出发，题目要求“每只每天”，她就除以只数和天数，题目要求“每人每天”，她就除以人数和天数，这样比较保险. 可以看出，虽然纯粹的计算题和实际问题中的数据相同，但学生对计算题的解法并没有对实际问题的解法产生普遍的影响.可见，在给出一定的情境之后，也就是说，赋予数一定的意义之后，学生比较容易接受连除的这种“变式算法”. 了解了一个数连续除以两个数等于该数除以这两个数的乘积之后，我们请学生回过头继续完成第一组题目中“做不下去”的题目.由于受到解答实际问题的影响，学生知道先把后两个数相乘，再用被除数除以这两个数的积，但仍然无法真正理解“同一道数学题有两个答案”. 我们认为，出现这一问题可能是因为学生刚接触余数时，教师的教学存在某种程度的偏差，没有注重学生对余数本质的学习，导致学生对余数的理解蜻蜓点水，浮于表层. 五、原因追溯 依据上述结果与分析，我们有意识地选择调查并随堂听取了二年级“有余数的除法”单元的4节课（其中，新授课2节，练习课2节）. （一）第一课时：有余数的除法的认识 1.出示问题 10根小棒，每2根一份，可以分成几份？ 学生动手分一分，并完整地说一说10除以2等于5的含义. 2.分组操作，进行记录 如果把这里的10根小棒，每人分3根，可以怎样分？ 学生各自动手操作，教师指名请学生说说自己分小棒的过程、结果. 出示下表格，并请学生将表格填完整.
