法国数学教学中的技术整合——应用Cabri－geometry进行交互式动态几何教学的案例，本文主要内容关键词为：法国论文,几何论文,案例论文,数学论文,动态论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
Colette Laborde,法国 University Joseph Fourier and Institute for Teacher Education
当前信息技术整合进我国的中小学数学课堂已经刻不容缓，有道是“它山之石可以攻玉”，所以研究和学习国外的先进经验是非常必要的。法国数学教育和计算机教育专家Colette Laborde 教授在长春国际数学教育大会上宣读的论文对于我国信息技术与数学教学的整合是很有启发意义的。现介绍如下：
1 法国数学教学中新技术的整合
在法国，各种技术被广泛应用于日常生活之中。例如，Minitel 作为互联网的先行者20多年前被设计出来，并且使人们广泛使用，从查找电话号码、预定飞机票、火车票到储蓄操作等都要用到它。
关于学校技术，概括地说，就是存在着一条“沟”：“沟”的一边是学生对已有技术的有效利用和教育部的目标，沟的另一边是教师的教学实践与技术的真正整合。根据最近的Timss调查显示：从10 年级开始所有的学生都有一个由家庭购买的图形计算器，并且在中学的最后一年里进行科学探索的法国学生中，大约有60％的学生拥有家庭计算机，而在进行科学探索的学生中有89％的学生，每周，甚至于每天都要使用计算器。
从1997年开始，为了进一步促进信息技术与教育的全面整合，法国教育部在各个方面均进行了非常大的投入。在组织岗前教师和在职教师培训方面，教育部都提供了财政上的支持。尤其重视培训教学中的信息技术的整合。
从1996年开始，法国开始更新课程（每年一个年级），6～10 年级的课程已经确定，高中最后2个年级的课程正在讨论。 新的课程中提出，技术要真正整合到数学教学中去，并且声明了这种整合是必需的。例如，初中课程中指出：所有的学生都要接触计算器，并且数学教学必须把它考虑进去。高中课程中指出：计算机科学对于数学学习来说是必不可少的，它使得人们可以在数学的2个领域， 也就是数和形之间观察和寻找规律，它也使得观察和验证之间得以相互作用。从长远的观点来看，计算机科学必将改变数学教学的本质。
科学的和程序化的计算器、DGS、电子制表软件、电子表单、 绘图工具的使用是初中和高中数学教学内容的一部分。每一个数学内容都和计算器或者软件的使用有关，如表1所示。
表1 数学内容与计算器及软件的关系
统计
计算器
电子表格
DGS 几何变换
动态几何软件 连续逼近
计算器
CAS
函数
电子表单
绘图工具
准确估计真正使用技术的教师比例是相当困难的，但是应当在20％左右。使人们感到惊奇的是，正在促进技术的制度环境和教室里的真实环境之间竟然是迥然不同的。在岗前教师教育中所做的努力将在今后的几年里改善这种状况。现在人们能够找到的，教师不情愿把技术整合到数学教学中去的原因有：（1）传播环境的变化；（2）学习环境上的变化；（3）课堂管理上的变化。
技术整合的意义在于，通过新技术所提供的各种可能性来支持、完善和改变数学的学习，而不在于技术本身的使用。技术可以看成是一种产生问题或反例的催化剂。简言之，它可以使学生产生更多的科学方法，它使得教师可以设计新的任务，这些任务能够更好地揭示理论对象的本质。
2 动态几何软件案例
基于可直接操作基础上的动态几何软件，给我们提供了一个微型世界，在这个世界里理论对象和关系是可视的并能被我们实际地操作。这种环境为学生们通过活动而不再仅仅是依赖语言构建知识提供了可能，并且为教师设计新的学习任务提供了可能。
2.1 空间性质和理论性质之间的不同
物理空间和作为理论的几何是2个独立的领域。 空间在这里被看成现实的一部分，而几何作为一套理论则不仅仅部分地模拟空间，而且还发展了它自己的问题和解决。
在二维空间里的图形扮演着一个模糊的角色：一方面，它们指的是理论对象；另一方面，它们又指能够引起个体知觉行为的图形空间的性质。图形的这种模糊的角色完全隐含在传统的几何教学中。在传统的几何教学中几何性质被同化在图形性质里，似乎人们可以从图形中抽取其代表的理论对象的性质，因而其结果之一就是，学生们经常认为仅仅使用可视线索就可以构造几何图形，或者经验地在图形上检验就可以推导出几何性质。
当教师要求学生们构造一个图形时，教师期望他们使用理论知识在几何水平上去构造。然而，学生们却经常停留在绘图水平上并仅仅是试图满足可视的限定。例如：过一定点画一个圆的切线，经常被学生们看成转动通过定点的一条直线并且调节它使它“接触”圆，但教师却期望一种基于几何关系的画图过程，这里的几何关系就是切线垂直于过切点的半径，并且以点P 和圆心之间的线段为斜边所构成的直角三角形的直角顶点的轨迹为圆（如图1所示）。
图1 圆的切线
问题所在是：单纯从可视化的角度来看，后一种情况的结果也许并不比前一种情况的结果好。所以传统的构造问题的失败可能就在于没有引用几何知识。几何中，空间图形性质和理论性质之间的不同就导致了一些几何初学者很难用几何的观点去看待图形的性质。事实上，图形性质和几何性质之间的区别就在于一个是外在的而另一个是内在的，但这对于初学者来说却是很难理解的。
2.2 在计算机环境里的图形
空间图形属性和几何属性在几何软件世界里的图形中是紧密联系的：在动态几何软件世界里，图形由一系列可供使用者选择的几何术语所表达的基本要素组成。当这个图形的一个元素被鼠标移动时，图形在保持规定的几何关系的情况下进行变化。这些人工现实可以和现实世界的实体相比，它们按照几何规律对使用者的操作进行反应，就像客观物体按照物理规律进行反应一样。这些现实的一个重要特征就是他们一旦被创造就半独立于使用者。当使用者拖动图形的一个元素时，图形就按照已经构造的几何方式来变化，而不按照使用者的愿望变化。而在纸笔环境中，学生们可以根据自己的期望，而使图形发生轻微的歪曲，计算机图形是形式化的对象，它的行为和反馈一旦创造就不再由使用者所控制，计算机的行为要求学生进行阐释性的构造来完成。几何就是阐释这些图形行为的一种方式。
3 任务特征
在动态几何环境下，空间图形性质和几何性质之间的联系得到了强化。这个特征可以用来设计学习任务，学生们将在这些任务里学习如何把可视属性联系到几何的性质。
3.1 阐述可视现象的任务
这种任务对于初学者来说是必要的，尤其是在小学里。动态几何图形在计算机屏幕上给出，学生们必须按照几何性质去描述它。下面给出一个例子。在屏幕上给出一个正方形，如果它的一个顶点被拖动，可以看到它的边就不再相等，但是它仍然有四个直角。如果另外的一个顶点被拖动，可以看到它的角不再都是直角。学生们必须比较细致地观察图形的行为，从而在拖动方式中发现不变量，也就是在拖动的方式中对边仍然平行。在这种任务中，学生们学习某个几何性质，是通过它的各种空间图形的表述来完成的。
在另外的一个学校，我们也使用这种任务介绍新的变换。 一个点P和一个通过未知变换得到的像P′被给予学生。他们可以移动P并且观察作用在P′上的效果（如图2所示），学生们通过这种暗箱操作被要求发现这种未知变换的性质。在这个任务里学生们必须自己提出关于变换的问题：它保持线性吗？它保持距离吗？它有不动点吗？
图2 变换效果
这种任务对几何变换的概念提供了一个不同的视点。它不再只是研究未知变换的结果，学生们被要求通过它的性质来刻画变换的特征。当然，当一些奇特的变换展示给学生时它也是一种吸引性任务。不变定理在这种任务里获得了新的意义：它们是确定未知变换种类的工具。这种任务的一个作用就是学生们可以理解为什么要学习所有那些关于变换中不变元素的理论。这些不变性质与已往有所不同。
3.2 产生或者复制可视现象的任务
在Cabri－geometry软件里的构造性任务和在纸笔的环境里的任务是不同的。因为，在拖动模式中构造的图形必须保持所有被期望的几何性质。为了获得拖动模式下的证明性质构造必须使用Cabri 的基本要素来完成，使用如下的几何术语：“平行线”、“垂直平分线”、“反射”等， 因而在Cabri中构造几何图形要求学生具有明确的几何知识。Cabri提供了在纸笔环境中没有的构造工具，如：向量和变换。构造性任务可以获得新的有效的解决策略。
例如，使用向量工具构造一个三角形ABC，其中A、B、M为给定点，M为三角形ABC的重心。C点在理论上由如下关系决定：
在纸笔的环境里，直接使用这个关系是不可能的。
必须通过平行四边形来构造，进而利用点M是CS的中点构造点C。这种策略并不比基于M是一条中线的2/3位置上的点的纯几何策略更简单， 所以向量关系在纸笔环境里的任务是不充分的。
在Cabri中，C点仅仅通过两步操作就可以被构造出来，即首先做出
然后做出S关于M的中心对称点即可（如图3所示）。
并在关系
中明确点的对称。
因此Cabri有助于几何属性与代数属性的联系。
在纸笔的环境里向量与变换仅仅被用于对理论对象进行推理和证明。一直以来，人们经常看到的是：在证明问题时学生们很难求助于向量，他们宁愿使用欧氏定理去讨论。而在Cabri任务里，理论对象， 如向量、变换，成为了具体化的构造工具。
3.3 预见性任务
对于几何的学习来说预见性行为也是十分重要的。Cabri 可提供丰富的反馈信息，当学生们面对着从计算机上观察到的结果时，可以了解自己那些不充分的期望。例如，你可以预见，通过某个变换，一个多边形的像可能发生的变化或者怎样才能使一个圆通过变换使它的像成为它的切线。
3.4 解释可视现象的任务
动态几何软件可以被用来创造有趣的可视现象。解释这些现象的唯一方法就是求助于几何理论。例如：学生们被要求观察当M 被拖动时和的和的情况，可以发现所有的“向量”和都经过一个定点（如图4 所示），因而可以要求学生用理论解释这个有趣的现象。
图4 趣味现象效果
4 整合过程
我们和教师们共同设计Cabri教学情境， 并把它们整合进常规教学的实践显示：将新技术与数学教学整合，是一个长期过程。
我们必须花时间准备任务的原因有3个：（1）教师需要了解所有由环境提供的新的实验可能性和便利性。（2 ）用其它术语思考几何的困难超出了纸笔环境下存在的困难。（3 ）为了能够回答学生提出的问题，理解他们的做法并帮助他们纠正错误，教师必须知道学生们的反应，以及他们面对新的情景时可能的策略。
正如教师不必重新构造所有的练习和习题一样，也不应当期望教师自己去发现充分的技术环境，为了使学生更好地利用技术学习知识，就应当进行深入的调查和研究，这些调查的数据和结果能够转化为教师的教育。
5 启迪
Colette laborde 教授的论文对我国技术与数学教学整合的启示：其一，建议教育部从根本上对技术和数学教学整合加以支持，对课程进行改革，把数学内容和技术真正有机整合起来。其二，教师应当积极参与到技术与数学教学整合中来。首先，教师应当主动认真地学习技术，其次，每个教师在教学中都要考虑如何把具体的数学内容与现有技术更充分地整合起来，进而形成具体案例。其三，数学教育理论工作者应对技术与数学教学整合进行调查研究。只有这样才能把教师的具体案例深化到理论高度上来，进而推广到实践中去，如此反复，才能使技术与数学教学真正整合起来。