数学方法论的现代发展，本文主要内容关键词为：方法论论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
八十年代以来，数学方法论，作为主要研究数学思维方法、特别是数学中发明、发现以及创造性活动的规律和方法的一门新兴学科，在我国得到了普遍的重视和迅速的发展。
但是，就现实的情况而言，我们不应满足于所已取得的成绩，而应一方面认真地对已有工作作出总结和反思，同时又要积极地吸取国外在这一领域中的最新成果，从而通过进一步的努力建立起数学方法论的理论体系。以下就从这样的角度对如何深化数学方法论的研究提出一些具体的意见。
一、对于波利亚的超越
就数学方法论的现代研究而言，我们无疑应当首先肯定波利亚的贡献，这不仅是因为后者在数学方法论的领域内作出了很多创造性的工作（[（1）]、[（2）]、[（3）]），而且是因为正是波利亚为数学方法论的现代研究奠定了必要的理论基础，即在很大程度上决定了这种研究的性质和方向。
具体地说，在人类的历史发展中曾有过这样一个时期，其间人们曾希望能找到这样一种方法，用之即可有效地从事发明创造，或成功地解决一切问题。如笛卡儿就曾提出过所谓的“万能方法”：第一，把任何问题转化为数学问题；第二，把任何数学问题转化为代数问题；第三，把任何代数问题归结为解方程。从现在的观点看，上述对于“万能方法”的寻求显然是过于简单了，因为，即如并不存在可以把万物点化为黄金的“哲人之石”，能有效地从事数学发现或解决一切问题的“万能方法”也是不存在的。然而，就基本的研究倾向而言，人们却因此由一个极端走向了另一个极端，即认为根本不存在任何关于发现的方法。在历史上后一种观念是与逻辑实证主义的“科学观”直接相联系的：逻辑实证主义明确地提出了关于“证实（证明）的方法”与“发现的方法”的区分，并认为方法论的研究应当局限于证实（证明）的范围，而发现的问题则完全属于心理学的研究范围——对此不需要、也不可能作出任何理性的或逻辑的分析，从而也就根本不存在任何真正意义上的“发现的方法”。由于逻辑实证主义在西方学术界中曾长期占据主导地位，因此，关于数学发现（乃至一般科学发现）方法的研究就一度陷入停顿状态。
正是在上述的“严峻”形势下，波利亚自觉地承担起了“复兴”数学启发法的重任。波利亚在这一问题上的基本立场是：所谓的“万能方法”是不存在的；但是，“各种各样的规则还是有的，诸如行为准则、格言、指南，等等。这些都还是有用的”。[（2-136）]特别是，我们可以、而且应当由已有的成功实践总结出一般的方法或模式，这些方法和模式，在以后类似的情况下，就可起到启发和指导的作用。从而，波利亚事实上就是在上述的两极对立之间开拓了第三种可能性，即我们可以、而且应当积极从事对于新的研究工作具有启发与指导意义的一般方法或模式的研究。
鉴于以上的分析，波利亚及其在数学方法论方面的有关著作得到人们的普遍重视和高度评价就十分自然了；但是，波利亚的有关著作问世以来，近三十个年头过去了，数学方法论领域内有何进展呢？
显然，科学的发展不会停滞在任一特定的水平上。就数学方法论的研究而言，这就是指，我们既应高度重视对于波利亚数学启发法的学习和继承，同时又应积极地去开展新的研究，从而真正作到对波利亚的“超越”。例如，由中国学者作出的一些独立贡献，[（4）][（5）][（6）][（7）]事实上就代表了后一方向上的一些成功努力。通过多年来的实践，中国的数学方法论研究并已形成了自己的一些特点，特别是，如果说波利亚的研究主要是围绕“问题解决”展开的，中国的数学方法论研究则更为突出了“思维模式”的概念，从而就包括了更为广泛的内容。
另外，即使就“问题解决”的专门研究而言，国外近年来也已超越波利亚而在理论研究上达到了一个新的更高水平。具体地说从八十年代下半叶起，人们即已清楚地认识到了“启发法”不应被看成影响解决问题能力的唯一要素，或者说，为了提高解决问题的能力，我们还应注意到更多的环节，特别是所谓的“调节”和“观念”这样一些因素。从而，我们在此事实上就已获得了关于“问题解决”的一个新的理论框架。[（8）]
综上可见，数学方法论的研究就已超越波利亚而达到了一个新的更高的发展水平。
二、“问题解决”与数学地思维
就“问题解决”这一论题而言，除去理论研究方面的进展以外，我们还应看到其在实践方面所产生的重要影响。事实是，这正是欧美各国数学教育界在八十年代的一个主要口号，即是认为应当以“问题解决作为学校数学教育的中心”。[（9）]
与数学教育领域中先前的各次运动（例如，六十年代的“新数学运动”及七十年代的“回到基础”等）相比，“问题解决”这一新的数学教育改革运动应当说有不少成功之处。例如，与先前各次运动中理论研究与学校中数学教育实践严重脱节的情况相反，这一运动表现出了理论研究与教学实践密切结合的良好倾向，而这事实上也就是人们何以能在“问题解决”的理论研究中取得新的重要进展的一个重要原因：正是由于相应的教学实践未能取得预期的效果，即尽管学生已经具备了足够的数学知识、也已掌握了相应的启发法原则，但却往往还是不能有效地解决问题，这才促使理论工作者去作出更为深入的研究，从而揭示出了“调节”、“观念”等对于解决问题有着十分重要影响、但又往往为人们所忽视的一些环节，并进而建构起了关于“问题解决”的一个新的理论框架。
但是，实际的数学活动是否就等同于“问题解决”？特别是，解答的获得是否就可被看成数学活动的最终目标？
显然，如果从小范围进行分析，尤其是仅仅着眼于数学知识的实际应用的话，那么，对于上述的问题我们也许可以作出肯定的答复；但是，如果着眼于更大的范围，特别是考虑到数学的理论研究，在此无疑就应作出否定性的答复，因为，这正是数学家（或者说，数学思维）的一个重要特点，即数学家总是不满足于某些具体结果或结论的获得，并总是希望能获得更为深入的理解，而这不仅直接导致了对于严格的逻辑证明的寻求，而且也促使数学家积极地去从事进一步的研究，即如“在这些看上去并无联系的事实背后是否隐藏着某种普遍的理论？”“这些事实能否被纳入某个统一的数学结构？”等等；他们也总是希望能达到更大的简单性和精致性，即如“是否存在更为简单的证明？”“能否对相应的表述方式（包括符号等）作出适当的改进？”等等。
也正是出于这样的考虑，一些数学家对现行的数学教育中所出现的一些偏向提出了尖锐的批评。例如，为了使数学对大多数学生来说成为更有吸引力和力所能及的，“开放性问题”在现代的数学教育中得到了广泛应用，因为，普遍认为，与具有唯一正确解答、甚至唯一正确解题方法的“传统问题”相比，开放性问题更适于使所有的学生参与到解题活动之中：他们可以依据各自的水平去进行求解。但是，在实践中却又经常可以看到这样的现象，即学生们（甚至包括教师）只是满足于用某种方法（包括观察、实验和猜测）求得了问题的解答，而不再进行进一步的思考和研究，甚至末能对所获得结果的正确性（包括完整性）作出必要的检验或证明。从而，“在现实中，开放性问题在某些场合正在成为不求甚解和不加检验的猜测的同义词”；而这当然引起了数学家们的不安：“尽管这一讨论仅限于开放性问题，但对于新改革的某些方面的大致了解已经使数学家对数学教育的前进方向产生了疑虑”（H.Wu）；“我所担心的是：通过使数学变得越来越易于接受，最终所得出的将并非是数学，而是什么别的东西。”（A.Cuoco）[（10）]
从而，由以上的分析我们也就可以看出，与单纯地强调“问题解决”相比，我们应当更为明确地提出这样的主张：“求取解答并继续前进”；另外，从更深入的层次看，这也就是指，与“问题解决”这一口号相比，“数学地思维”应当说是更为恰当的，也即我们应当把帮助学生学会数学地思维看成数学教育的主要目标。最后，就“数学思维（方法）”的内涵而言，这又不仅是指各种具体的启发性原则（解题策略），而且还应包括更为广泛的内容。事实上，即如上面所已提及的，这正是数学思维的一个重要特点，即数学家们总是不满足于已有的工作，并总是希望通过新的研究去发展和深化认识，即如达到新的更大的普遍性、更大的严格性、更大的简单性等。由于后者与解题策略相比显然属于一个更高的层次，即是主要体现了数学的研究精神（对此可特称为“高层次数学思维”，参见[（11）]），从而，总的来说，对于“数学思维方法”我们就可区分出以下的两个不同层次：
第一层次，数学启发法（包括元认知的调节）；
第二层次，高层次数学思维。
显然，这也就更为清楚地表明了，数学方法论的研究应当超出狭义的“问题解决”的范围。
三、创造性活动与算法化原则
除去所已指明的各个具体结论以外，以上的分析并已清楚地表明了这样一点，即数学方法论的研究应当具有鲜明的时代性质。也正是从这样一种立场出发，笔者认为，我们即应高度重视算法的研究。
《计算机和信息科学对数学和数学教育的影响》这一指导性文件指出：“算法就是解某一特定问题或一类问题的过程。算法概念在二千多年前就已出现（求两整数的最大公因子的Euclid算法），近年来，由于计算机的引进，算法又引起了人们的极大兴趣。”[（12－8）]
事实上，即使就初等数学的范围而言，算法就已显示出特别的重要性。比如由“四则难题”与代数方法的比较就可清楚地看出这一点。这就正如吴文俊先生所指出的：“四则难题制造了许许多多的奇招怪招。但是你跑不远、走不远，更不能腾飞……可是你要一引进代数方法，这些东西就都变成了不必要的、平平淡淡的。你就可以做了，而且每个人都可以做，用不着天才人物想出许多招来才能做，而且他可以腾飞，非但可以跑得很远而且可以腾飞。所以四则难题用代数取而代之，这是完全正确的，对于数学教育这是非常重要的。”[（13－19～20）]
更为一般地说，一种重要算法的形成往往就标志着数学的重要进步。例如，十七世纪数学中最为重要的两个成就，即解析几何与微积分的建立，显然都是与某种算法的形成直接相联系的。另外，以下就是十九世纪流传下来一些著名算法：Fourier级数（以及更一般地，正交函数级数）、Fourier积分、留数；Gauss-Green-Stokes积分公式；Heaviside计算法和Laplace变换等。最后，作为本世纪的实例，我们还可以举出在拓扑中发明并处于继续发展之中的同调理论，以及和它密切相关的同态的图表法，等等。一般地说，这就正如荷兰著名数学家、数学教育家弗赖登特尔（H.Freudenthal）所指出的：“最引人注目的新事物，也就是引起现代化过程发生的事物都是思辨的产物，……然而，任何溶岩终将凝固，任何思辨的新生事物都在其自身中包含着算法的萌芽，这是数学的特点。……算法化意味着巩固，意味着由一个平台向更高点的跳跃。”[（14－44）]
最后，我们又应特别强调算法对于数学未来发展的特殊意义。事实是：计算机的应用已在这一方向上为我们开拓了新的广阔前景：大量繁复的事情、也即算法的执行可以留待计算机去做，人脑则将主要从事最富创造性的劳动——从而，“计算机的出现，将使数学现在一张纸一支笔的方法，在历史的长河中，无异于石器时代的工业方法。”[（15－44）]
综上可见，算法的概念现已在数学（和数学教育）领域中获得越来越大的重视；然而，就现有的数学方法论研究而言，却明显地表现出了重创造性活动、轻算法的倾向。例如，就所谓的“问题解决”而言，主要地就是指如何创造性地、综合地应用所已学到的知识和方法去求解所谓的“非常规性的问题”，而并非是指如何利用现成的算法去求解“常规性的问题”。
事实上，即如前面所引用的弗赖登特尔的论述所已表明的，在算法化与创造性劳动之间存在有一种相互制约、互相促进的辩证关系：首先，各种算法的创立就是创造性劳动的产物，也即是创造性思维的一种“凝固”和“外化”；其次，除去可以有效地被用于解决一类问题以外，算法的重要性显然又在于：通过把一部分问题的求解归结为现成算法的“机械应用”，这也就为人们积极地去从事新的创造性劳动提供了更大的可能性，从而算法化即就“意味着由一个平台向更高点的跳跃”。
从而，算法的学习也就应当被看成数学学习的一个重要内容；另外，从数学方法论的角度看，作为又一条重要的数学方法论原则，我们则应明确地提出如下的“算法化原则”：
在数学的研究中，我们应当努力创造各种能普遍地适用于解决各类问题的有效算法。
这就是说，对于算法的追求也应被看成一种十分重要的数学思想。
当然，在充分肯定算化法思想的重要性的同时，我们又应清楚地看到算法化（更为一般地说，即是形式化方法）也有其固有的局限性，而这正是著名的哥德尔不完备性定理所给予我们的一个重要启示。从而，数学的算法化就不能代替数学中的创造性思维；恰恰相反，与算法相比，创造性活动更应被看成数学活动的本质。
最后，由上面的分析也可看出，如果把算法考虑在内，数学思维方法事实上就包含有三个不同的层次，即
第一层次，程序或算法；
第二层次，解题策略；
第三层次，高层次数学思维。
四、哲学思维与数学方法论
显然，以上关于算法化与创造性劳动之间辩证关系的分析即已从一个侧面表明了辩证思维（更为一般地说，就是哲学思维）对于数学方法论研究的特殊意义，以下我们再联系如何深入地开展数学方法论的理论研究对此作出进一步的分析。
首先，就方法论原则的具体研究而言，笔者以为，一个关键的因素就是要处理好“具体性”（生动性）与“普遍性”（深刻性）之间的辩证关系。
具体地说，我们在此应当首先肯定：与抽象的论述相比，如何结合实例、特别是著名数学家的实际研究活动去对有关的方法论原则作出具体的、生动的说明是更为重要的（当然，我们在此不可能亦步亦趋地去重复各个数学家的真实的思想活动；勿宁说，这主要是真实活动的一种“理性重建”），因为，人们主要地是通过范例来学习的，而也只有这样，我们才可能获得关于各个方法论原则的深切体验，并使其真正成为“可以理解的”和“可以学到手的”。从而，在方法论的研究中我们就应高度重视对于各个著名数学家思想方法的深入研究。但是，另一方面，作为数学思维方法的理论研究，我们又不能满足于对各个数学家思想方法的简单复述，而应从理论的高度作出进一步的分析，也即应当清楚地去指明各种方法的普遍意义，因为，只有这样，一个由实例抽象而出的方法才能成为真正的“思维模式”，从而也才可能成功地被用于新的场合。由此，“普遍性”（和“深刻性”）事实上就应被看成方法论原则的一个主要特征。这就是说，数学方法论的研究对象应当是具有普遍意义的数学思维方法或模式，从而，我们就既应对所说的数学思维方法与各个数学分支中的具体方法（即如微积分学中的极限方法、集合论中的力迫法等）作出明确的区分，同时则又不应“沉溺”于各种并不具有普遍意义的“奇招怪招”。
其次，我们也应高度重视局部与整体的关系。这也就是说，数学方法论不应被等同于“各种方法论原则的简单罗列”，恰恰相反，我们应当高度重视对于这些方法在整体上的综合分析。
具体地说，我们在此应当首先清楚地指明各种思维方法的局限性和互补性。例如，正是从这样的角度去进行分析，人们明确地提出了所谓的“现实背景与形式模型互相统一的原则”、“解题机巧与程序训练相结合的原则”[（16）]；类似地，我们在此显然也应突出地强调“收敛性思维”与“发散性思维”的辩证统一[（17）]。其次，我们在此并应明确地去揭示数学思维方法的层次性（可参见以上关于数学思维方法三个层次的分析），显然，这事实上就从又一角度表明了方法论原则的整体性。
第三，除去一般的哲学思维以外，我们还应突出地强调数学哲学、特别是数学观的现代演变对于数学方法论研究的特殊意义。
具体地说，数学哲学现代发展的一个主要特征，即是基本的数学观已经由静态的、绝对主义的数学观转移到了动态的、经验和拟经验的数学观。这也就是说，数学不应简单地被等同于数学知识的汇集，而主要地应被看成人类的一种创造性活动；另外，数学的发展也并非无可怀疑的真理在数量上的简单积累，而是一个包含有猜测、错误和尝试、证明和反驳、检验与改进的复杂过程。[（18）]
显然，由这样的立场去进行分析，我们就不应唯一地着眼作为数学活动“最终”产物的事实性结论（包括公式等），而应采取“过程与结果并重”的态度，特别是，数学更应被看成一个由“语言”、“方法”、“问题”、“命题”等多种成分所组成的复合体。[（19）]
再者，就数学活动的具体分析而言，我们又应明确地肯定这种活动的社会性质：在现代社会中，每个数学家，无论其自觉与否，总是作为相应的社会共同体（“数学共同体”）的一员从事自己的研究活动的，也即必然地处在一定的数学传统之中。从而，作为数学内涵的进一步分析，我们也就应当把所说的“数学传统”包括在内。由于所谓的“高层次数学思维”事实上就构成了“数学传统”的一个重要组成成分，因此，这也就清楚地表明了数学方法论研究的客观性和规范性。
应当强调的是，数学的动态观念为数学方法论的研究开拓了一个新的领域。这就是说，我们应当由“微观的数学方法论”扩展到“宏观的数学方法论”，也即应当对数学的发展规律作出深入的研究。由于数学的无限发展正是在诸多因素的辩证运动中实现的（或者说，正是诸多对立面的辩证运动为数学的发展提供了必要的内在机制，可参见[（20）]）。因此，这事实上也就可以被看成数学哲学与数学方法论研究的一个交汇点。
第四，在肯定数学方法论的研究具有重要意义的同时，我们又应看到这种研究也有其固有的局限性。首先，任何一种方法都不是万能的，而都有其特定的适用范围；其次，由于数学是一种十分复杂、高度能动的创造性活动，特别是，其中必定包含有一定的非理性成分和个体的特殊性，因此，这就不可能被完全纳入任何一个固定的方法论框架，我们更不应去追求任何一种绝对的统一性，即如按照某种统一的模式去规范人们的思维。最后，作为动态的数学观念的一个必然结论，我们显然又应明确肯定数学方法（包括数学思维方法）乃至数学方法论具有无限的发展可能性。特殊地，由以上的分析我们也就可以看出，深入的理论研究，理论研究与数学实践活动的密切结合，时代（包括数学本身）的不断进步，数学工作者、数学史工作者与哲学工作者的有效合作等，正是促进数学方法论研究深入发展的几个最为重要的因素。
注释：
（1）波利亚：《怎样解题》，科学出版社，1982。
（2）波利亚：《数学的发现》，内蒙古人民出版社，1980。
（3）波利亚：《数学与猜想》，科学出版社，1984。
（4）徐利治：《数学方法论选讲》，华中工学院出版社，1983。
（5）徐利治、郑毓信：《关系映射反演方法》，江苏教育出版社，1988。
（6）徐利治、郑毓信：《数学抽象方法与抽象度分析法》，江苏教育出版社，1990。
（7）无锡市教科所（徐沥泉执笔）：“贯彻数学方法论的教育方式、全面提高学生素质”（实验报告），1993。
（8）Schoenfeld,A.,Mathematical Problem Solving,A-cademic Press Inc.1985。
（9）郑毓信：“问题解决与数学教育”，《数学传播》（台湾），1993，第四期。
（10）郑毓信：“关于‘大众数学’的反思”，《数学教育学报》，1994，第二期。
（11）郑毓信：“数学思想、数学思想方法与数学方法论”，《科学、技术与辩证法》，1993，第五期。
（12）ICMI研究系列丛书之一：“计算机和信息科学对数学和数学教育的影响”，载《国际展望九十年代的数学教育》，上海教育出版社，1990。
（13）吴文俊：“数学教育现代化问题”，《21世纪中国数学教育展望》，北京师范大学出版社，1993。
（14）弗赖登塔尔：《作为教育任务的数学》，上海教育出版社，1995。
（15）吴文俊：“数学的机械化”，《百科知识》，1980，第三期。
（16）张奠宙等：《数学教育学》，江西教育出版社，1991。
（17）徐利治、王前：《数学与思维》，湖南教育出版社，1990。
（18）郑毓信：“数学哲学中的革命”，《哲学与文化》（台湾），1995，第八期。
（19）Kitcher,P.The Nature of Mathematical Knowledge,OxfordUniver.Press,1985。
（20）徐利治、郑毓信：《数学模式论》，广西教育出版社，1993。