理解函数本质，渗透函数思想，本文主要内容关键词为：函数论文,本质论文,思想论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、一道解答情况出乎意料的函数考题 在一次九年级中考前的模拟考试中，笔者命制了如下一道函数题： 我们知道代数式2x+3， （1）问：2x+3是x的函数吗？若不是，请说明理由；若是，请你以x取值为横坐标，对应的代数式2x+3的值为纵坐标，画出其图象； （2）当x取a-3时，问2x+3是不是a的函数.若不是，请说明理由；若是，请以a取值为横坐标，对应的2x+3值为纵坐标，画出其图象. 出乎意料的是，该题得分率仅为0.31.从试卷的答题情况来看，学生的主要错误原因有三方面：（1）看不懂题.平时学的函数大都是x、y，这里怎么冒出2x+3与x.（2）不知2x+3是x的函数，更不知2x+3是x的一次函数，也就不会或不能简洁地画出函数图象.（3）更不清楚当x取a-3，a在变化时，2x+3与a的变化关系. 学生在初中阶段花了很大精力学习函数内容，从函数的概念、函数图象，到特殊的一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质等，而且到了九年级中考复习阶段时，还接受了大量函数综合题、函数应用题的专项训练.即便如此，大部分学生仍然不能解决诸如上述的函数题，问题到底在哪？ 二、问题分析 1.对数学对象缺乏“变量”数学的意识 函数的本质是什么？函数是研究在一个变化过程中，两个变化数量之间的关系，而这两个变量中，当一个变量取一个值时，另一个变量有唯一值与之对应.因此函数的本质之一是一个变化过程中两个变化的数量关系. 事实上，在学习函数之前，学生的学习常常是以“常量”数学形态呈现的，特别是在学习实数、代数式、方程、不等式时，大都是学习这些数学对象的常量形态.如学习代数式时，常常是求代数式的某个具体值；学习方程（组）时，常常是求它们的解.这样长期研究常量的数学形态，导致学生淡化了数学对象有变量的形态的意识.上述模拟考试题的答题情况显示，学生的认知仍停留在“2x+3”这个代数式值的形态上，而没有体会其中x变化时2x+3随之而变的变化过程，没有将x与2x+3看做两个变化的数学对象.同样，对于模拟考试题中当x取a-3时，不能将a看做一个变化的量，看不出对应的x=a-3是一个随a变化的量，更看不出2x+3也是一个随a变化的量.在学生眼里，这里的“a”“x”“2x+3”是“固定的代数式的形态”.其本质是未能理解字母表示数中字母与代数式值是一个变化的状态，久而久之也就缺乏用变量的眼光去看待问题了，而变量的意识恰恰是理解函数的前提. 2.对非标准的形态缺乏函数思想的意识 在函数的概念中，为了表达方便，常常将一个数量变化过程中的两个变量用x、y来表示，当x取一个值，y有唯一值与之对应，这时称y是x的函数.由于平时的教学中，教师呈现给学生的函数问题过于强调以字母x、y的表达形式，以及函数解析式的标准形式y=f（x）上，使得学生的认知习惯还在以字母x、y来表达两个变量以及函数解析式的标准表达形式y=f（x）上，一旦这两个变量换成用其他字母表达或函数解析式变成非标准形式时，学生就出错或无从下手. 例如，在画路程s与时间t的函数关系式s=4t的图象时，学生常常出现将坐标轴仍标为x、y的错误.特别是对于2x+3与x的函数关系式不知用何种形式来表达，更不知如何表达当x=a-3时，2x+3与a的函数关系式了.再如，当学生看到x+y=3时，他们常常把它看做一个二元一次方程，而不能将其转化为函数的形态.类似还有对于关于x的方程，
，学生常常不能将其转化为
的函数形态.由于长期受这种“标准化”形态的影响，导致学生对函数认识的思维狭隘，缺乏解决问题的函数意识. 三、教学思考 教学中如何改变学生上述两种认知欠缺，笔者认为应从以下三方面着力. 1.学习函数之前，加强对“变量”意识的渗透 为了增强学生数学“变量”的意识，在学习函数之前，学生在学习实数、代数式、等式、不等式等这些内容时，教师应有意识地对这些内容从“变量”的视角去渗透.如在学习代数式2x+3时，不仅要关注其代数式值的计算，同时还要渗透当x变化时，2x+3的值也在变化，让学生清晰地理解在这样的变化过程中有两个变量x、2x+3.同样，对于一些公式如a+b=b+a，ab=ba（a、b为实数）的学习，教学中不仅要让学生记住这些公式，还应该渗透当a、b在变化时，等式左右值也都在变，不过两边始终都相等.再如，在研究方程x+y=4时，不仅要让学生知道通过对x、y的取值可求出一些满足方程的解，还要从x、y是两个满足一定关系的变化的量的视角进行分析，即x变化时，y也随之变化.只有及早渗透“变量”的意识，学生才能从原有的“常量”数学走向“变量”数学. 2.学习函数时，加强对函数表达形态的认识 在函数学习时，我们知道函数的表达形式有表格式、图象式、解析式.教学时，一方面要加强对表格式、图象式的渗透，另一方面也要渗透对函数解析式的一些非标准形态的认识，并及时转化为标准解析式形态，进而解决问题. 案例1：二元一次方程x+y=4中，y为何值时x＞0. 对此可以进行代数研究，即x=4-y，所以4-y＞0，则y＜4.除此之外，还可从函数视角进行分析：即将x+y=4转化为y=4-x，画出该函数图象（如图1），从图象中发现：y＜4时，x＞0.这样采用由x+y=4的方程形态转化成y=-x+4的函数形态，并由函数图象性质来解决问题，渗透了函数的思想.
案例2：在初中教材中一般都会安排下列内容的教学：“请利用函数的图象求方程组
的解”.
案例3：在关于x的一元二次方程
中，x为何值时，c随着x的增大而增大？ 学生初次接触这样的问题，往往停留在方程的视角上，并想通过方程来解决该问题，结果往往无从下手.其实只要引导学生把上述形态作一个变换：
，即可发现c是x的二次函数，同时进一步变化得到
，发现该函数图象为抛物线，其顶点坐标为（2，-6）.因此根据图象即可发现x≥2时，c随x的增大而增大.上述解答将学生从方程的视角引向函数的视角，从而进一步渗透了函数的思想. 3.综合训练时，拓展函数视角，进一步渗透函数思想 中考复习中，常常会遇到一些代数问题，在解决完这些问题后，我们还可以带着学生换个视角来寻找新的方法，以期进一步突出函数本质，渗透函数思想. 案例4：（2014年珠海市中考试题）阅读：解答已知x-y=2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围时，有如下解法： 因为x-y=2，所以x=y+2. 因为x＞1，所以y+2＞1，所以y＞-1， 又因为y＜0，所以-1＜y＜0. ① 同理得1＜x＜2. ② ①+②得-1+1＜y+x＜0+2， 所以x+y的取值范围是0＜x+y＜2. 请按照上述方法，完成下列问题 （1）已知x-y=3且x＞2，y＜1，则x+y的取值范围________. （2）已知y＞1且x＜-1，若x-y=a成立，求x+y的取值范围（结果用含a的式子表示）. 该题阅读部分呈现的是用不等式方法来解决的，这不失为一种好方法.那么当我们教学完毕后，能否换个视角来对该阅读部分进行分析呢？
上述用函数的方法虽然比用不等式方法烦琐，但它渗透了函数的思想，拓宽了学生的思考视角.下面从函数的视角来解决第（2）问，使学生从中体会用函数解题的意义，它不仅渗透了数形结合的思想，更是从函数的图象中直观了解到该问题的存在性分类讨论，不失为一道函数视角的好方法. 因为x-y=a（y＞1，x＜-1），则y=x-a（y＞1，x＜-1）画出其图象，从y＞1且x＜-1得到其图象为图4中的AB（不含两端点），同时发现这里-a＞2，即a＜-2.接着对于x+y=x+x-a=2x-a，令
（a+1＜x＜-1），画出函数图象，如图5中的线段CD（不含两端点）.
，即2+a＜x+y＜-2-a（a＜-2）.
本文开头的中考模拟题虽然简单，但不失为考查学生对函数的本质及函数思想应用意识的好题.愿教师在教学中更多地关注学生对函数本质的理解，逐步渗透函数思想，也愿各类试卷中多出现一些真正考查学生对函数本质理解及体现函数思想的好题.
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