找位置——初中学生数学思维培养的切入点，本文主要内容关键词为：切入点论文,思维论文,初中论文,位置论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
在九年义务教育数学课程标准修改稿第二部分《课程目标》的“总体目标”中，对于数学思维的阐述是：“建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力，发展形象思维与抽象思维.”因此要发展学生的形象思维和抽象思维，关键是找到培养数学思维的切入点.
一、问题的提出
学生思维品质的优劣对他们数学学习成绩的好坏有很大影响，在多年的教学过程中，经过笔者不断的反思和总结，发现初中生数学学习困难的主观原因表现在：
（1）记忆障碍：在识记（包括观察、注意阶段）、保持、再现的一个或几个环节上存在突出薄弱点.由于自身不够重视，数学知识结构框架形成断链，新旧知识衔接不上，无法形成自己的知识网络.
（2）思维缺欠：由于思维（包括概括、抽象、推理、分析与综合等）有所缺失，或思维品质不良，虽然具备一定的数学基础知识，但无法运用所掌握的知识去思考，思维能力的缺失导致解决问题时，老师一讲就会，而独立解决问题能力欠佳.
（3）思维片面：对思维对象缺少整体、有机、完整的分析综合能力，考虑问题比较片面单一，不能从相互联系的现象中找出本质特征，对于定义、定理、性质等，只停留在语句上，不能发现其内在联系，对于复杂问题更是难以处理.
二、对数学思维的再认识
初中学生数学学习能力低下的主要原因是数学思维问题，那什么是数学思维呢？数学思维是以数学研究对象为思维主体，以数学语言为思维载体，并以认识和揭示数学规律为目的的一种思维.[1]任樟辉在《数学思维论》中对数学思维是这样界定的：“数学思维是一般思维分化出来的一种科学思维，主要分为逻辑思维、形象思维和直觉思维三种类型.”[2]在实际教学当中，这三种思维类型并非截然分开，而是你中有我，我中有你，既有逻辑思维，又有形象思维和直觉思维.逻辑思维是以概念、公理、定理推论等为思维材料，以语言文字为思维载体，每前进一步都有充分依据的思维.形象思维是依靠形象材料的意识领会得到理解的思维.直觉思维是以高度省略、简化、浓缩的方式洞察问题实质的思维.形象思维和直觉思维一般运用于合情推理，能够从题目的条件中洞察问题的结论，然后运用逻辑推理去证明该结论的正确与否，因此在教学中往往要逻辑推理和合情推理共同运用才能达成问题的解决.
三、培养初中学生数学思维的有效切入点
笔者认为初中学生数学思维的培养，需要找准训练的切入点，这样才能有效地达到训练的目的，而学会寻找几何图形的位置就是一种简洁有效的切入点，其步骤如下：
（1）首先是确定问题的位置；
（2）寻找问题所在位置的条件；
（3）构筑未知与已知的桥梁，解决问题.
案例1 如图1，在△ABC中，点E在BC上，点D在AE上，已知∠ABD=∠ACD，∠BDE=∠CDE.求证：BD=CD.
分析 首先判断BD，CD分别在△ABD和△ACD中，或者是在△BDE和△CDE中，确定位置后，分别在这两对三角形中寻找可用的条件，不难发现利用△ABD和△ACD会更方便地解决问题.
案例2 如下页图2，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，若PA⊥AB，PO过AC的中点M，求证：PC是⊙O的切线.
分析 要证明PC是⊙O的切线，即要证PC⊥OC.首先先判断PC的位置：从圆中来看，PC有可能是⊙O的切线或者是圆的割线；但从三角形的角度来看，PC是△PCO的一条边，要证PC⊥OC即要证△PCO是直角三角形.然后寻找PC所在位置的条件，从三角形的角度来看，有哪个三角形是直角三角形呢？由题目条件中可以看出，△PAO是直角三角形，因此只要证明△PCO≌△PAO即可.接下来就是找两个三角形全等的条件就可以解决问题了，而全等的条件是显而易见的.
案例3 如图3，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E.
（Ⅰ）求证：DE是⊙O的切线；
（Ⅱ）作DG⊥AB交⊙O于G，垂足为F，若∠A=30°，AB=8，求弦DG的长.
分析 （Ⅰ）要证DE是⊙O的切线，只要证DE⊥OD即可.我们来看看OD，DE的位置在哪？圆中的情况就不多言，我们看看在三角形中呢？OD，DE都是△ABC中的两条线段.若要证DE⊥OD，从题目的条件中我们知道DE⊥BC，因此只需证明OD//BC.根据平行线的判定定理，要找到同位角相等，内错角相等或者同旁内角互补就可以，从OD，BC的位置和题目的条件我们知道找同位角相等会方便很多.
（Ⅱ）要求DG的长，还是先看看DG的位置：DG是⊙O的弦，而且是垂直于直径的弦.因此只要求出DF的长即可，DF的位置呢？DF是Rt△ADF的直角边，也是Rt△ODF的一条边.根据条件，我们用Rt△ODF来计算更方便.
案例4 如图4，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，若∠MAC=∠ABC.
（Ⅰ）求证：MN是半圆的切线；
（Ⅱ）设D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F，求证：FD=FG；
（Ⅲ）若△DFG的面积为4.5，且DG=3，GC=4，试求△BCG的面积.
分析 （Ⅰ）略.
（Ⅱ）要证明FD=FG，还是先看看这两条边的位置：首先从圆的角度看，它们是圆中的线段，似乎没什么线索，但从三角形的角度来观察，它们是△DFG的两边.因此只要证明△DFG是等腰三角形，即证∠FDG=∠FGD.同样的观察这两个角的位置，∠FDG是△FDG的内角，也是Rt△DEB的内角；∠FGD是△FDG的内角，并且是∠CGB的对顶角，而∠CGB是Rt△CBG的一个内角.因此就把证明∠FDG=∠FGD的问题转化为证明∠FDG=∠CGB的问题，这个问题从题目的条件中就可以解决.
（Ⅲ）由于第2问已经证明△DFG是个等腰三角形，因此只要作DG边上的高，再利用相似三角形的判定与性质即可求出△BCG的面积.
通过以上案例可以看出，通过初中几何教学，培养学生的逻辑思维、形象思维更具有明显突出的作用，笔者认为利用寻找图形的位置作为切入点，会很好地缓解初中学生对于几何问题的担忧，同时帮助学生突破思维难点，找到解决问题的途径，并能使数学思维得到有效的培养，为发展思维能力打下良好的基础.