对尺规作图教学的三个思考，本文主要内容关键词为：，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
听课的过程中，不时听到有关尺规作图的内容，执教的老师各有标准，课后与老师们的交流中，更是发现对尺规作图的教学尺度与要求，很多老师认识模糊，操作随意。这个现象引起笔者的思考。尺规作图在现今的数学教学中应该怎么教？教到怎样的程度？意义在哪里？在此和大家做个探讨。
一、尺规作图教学的“跛足”现象
现象1 教师只教作图，不写作法，缺少对学生几何语言的训练。
案例1 《浙教版新教材八年级（上）§2.2等腰三角形的性质》一课的例2：已知线段a、h，用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使底边BC=a，BC边上的高为h。
对照《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《课标》）的要求，这个例题中的尺规作图实为基本作图之一：已知底边及底边上的高作等腰三角形。这样的一个基本作图题，当然应该落实相关要求：了解尺规作图的步骤，会写已知、求作和作法。可是笔者在几次听课中，都见教师均只作出了图形，而未写出作法。问及理由，说不是淡化尺规作图要求了吗？问及学生对作法的表述与书写是否能掌握，学生回答：上课很少强调作法的表述，也基本没有写过作法。
其实书本在七（下）第28页，明确指出“本套教科书对于尺规作图题，在没有特别说明的情况下，都要求写出作法”。可见尺规作图教学并不是不要求写作法。教师在对《课标》与教材的研读上还很欠缺，没有真正领会尺规作图教学的基本要求。
这样的教学误区，造成的一大弊端就是学生只会操作，缺少几何语言训练，不利于学生养成严密的表述习惯。
现象2 教师就题论题，不作提升，缺乏数学思想方法的渗透。
案例2 《浙教版新教材九年级（上）§3.1圆(2)》中的系列例、习题。
1.课本例2：已知△ABC（如图1），用直尺和圆规作出过点A、B、C的圆。
2.课本作业题2：已知A、B两点和线段a，且
（如图2）。用直尺和圆规求作⊙O，使⊙O过点A、B，且半径为a。这样的圆可以作几个（要求写出作法）？
3.课本作业题4：已知圆上两点A、B（如图3），用直尺和圆规求作以AB为底边的圆内接等腰三角形。这样的三角形能作几个？
4.课本作业题5：平面上有4个点，它们不在同一条直线上，但有3个点在同一条直线上。问过其中3个点作圆，可以作出几个圆？请说明理由，并作出示意图。
图1
图2
图3
课本中安排了一系列的例题与练习，首先是要让学生进一步巩固“如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆”，这正是《课标》新增的内容；其次连续三个问题都问及了“能作几个”，解决的思想方法是一致的：分类讨论与交轨法定点。但在实际授课中，笔者发现部分教师没有领会教材安排的意图，对每个问题只是就题论题地讲解了作图过程，有的教师甚至没有作法分析以及作法书写的训练，很少有教师能从系列的题目设置中挖掘更深的内涵，从而渗透分类的思想、交轨的方法。
现象3 教材要求与《课标》不尽统一，教师教学中各行其是，学生无所适从。
案例3 《浙教版新教材八年级（上）§2.2等腰三角形的性质》一课的作业题4：
已知∠α和线段a，用直尺和圆规作一个等腰三角形，使它的顶角等于∠α，底边上的中线长等于a。
作法分析：如图4（下页），根据等腰三角形三线合一的性质，先作出顶角∠A等于∠α及其角平分线AP，然后在角平分线上截取线段AD=a，AD即所要求的中线。接下来的关键是如何过点D确定底边。转化为过点D作AP的垂线。
图4
听了多位教师的课，总结教师的示范作图，出现以下几种典型方法：
作法1：直接利用直角三角板的刻度线与边沿的垂直关系画出垂线。
作法2：直接利用直角三角板的直角画出垂线。
作法3：直接利用量角器画出垂线。
作法4：利用尺规“过直线上一点作直线的垂线”。
不难看出以上四种作法中，第一种是不规范的操作方法；作法2与作法3是《课标》对垂线的画法要求，教师是依标执教；作法4的要求在原《教学大纲》上有，现在《课标》已删除。但是从本题要求出发，既然是尺规作图，那么关键的步骤当然应该采用尺规。教师是依题目的要求执教。
采用哪种作法才可行，教师们各执一词，学生们无所适从。
造成这种现象的原因一是教材的部分内容要求与《课标》降低与增加的部分尚不配套，造成教学障碍；二是《课标》删去了基本作图“过一点作直线的垂线”，造成很多作图题不能纯粹。
二、尺规作图教学的要求
在《课标》未作修改之前，笔者认为“依标执教”是教学的明确方向。《课标》）中对尺规作图作如下要求（括号内注释为浙教版新教材的内容设置）：
1.完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段（七（上）158页），作一个角等于已知角（七（下）28页），作角的平分线（七（下）19页），作线段的垂直平分线（七（下）29页）。
2.利用基本作图作三角形：已知三边作三角形（七（下）17页）；已知两边及其夹角作三角形（七（下）29页）；已知两角及其夹边作三角形（七（下）29页）；已知底边及底边上的高作等腰三角形（八（上）27页）。
3.探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆（九（上）61页）。
4.了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法（不要求证明）。
与原《教学大纲》相比，“基本作图”板块里删去了“过定点作已知直线的垂线”的要求；“利用基本作图作三角形”板块里删去了“已知一直角边及斜边作直角三角形”；增加了要求“探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆”。
这些增减的部分，是我们教学中要加以注意的，要做到同步增减。针对误区，按照要求，认真改进教学是我们应该努力达成的目标。当然，《课标》删去“过定点作已知直线的垂线”的要求，缺乏对尺规作图在描述运动、直观操作、问题证明等价值的阐述，也令人遗憾。
三、尺规作图教学的意义
针对有些教师发出的疑问“作图工具这样丰富多样，尺规作图这么繁琐，还要保留吗？”笔者认为在初中几何教学中，尺规作图有其积极的意义，理应引起我们的重视。
1.培养学生严谨的学习习惯和严密的逻辑思维
作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线，这四个基本作图都可以用刻度尺和量角器来完成。这也是部分教师觉得用尺规繁琐的原因。其实不然。在尺规作图中，一般步骤是：①要求学生画出草图，假设图形已作出；②根据图形分析画法；③利用尺规严格操作并写出作法；④若要求证明，就给出证明，否则就写出结论。学生严格按照步骤进行作图的过程，正是一个猜想、操作、验证的过程，有助于学生养成严谨的学习习惯，培养学生严密的逻辑思维能力，也有利于激发学生的兴趣和创造性。
案例4 可利用尺规作图进行“SSA”定理是否成立的探索。
已知△ABC中，∠A是锐角，求作△DEF，使∠D=∠A，DE=AB，EF=BC。这样的三角形可作几个？若∠A直角或是钝角呢？请把你得到的结论用自己的语言进行概括。
在这个问题中，通过尺规作图解决学生学习中的易错点，不仅直观明了，而且培养了学生良好的动手操作能力和严格推理的能力。
2.在尺规作图中渗透图形变换的思想
尺规作图和图形运动有密切的联系。《课标》强调图形的运动，包括平移、旋转、对称等变换，尺规作图是实现图形运动的极佳手段。图形变换安排在七（下）第二章，此时学生已经学习了四种基本作图以及根据基本作图作三角形(SSS、SAS、ASA)。因此从教材逻辑体系上看，尺规作图作为图形变换的一种手段是成立的。
比如，作一条线段等于已知线段的操作中，先是用圆规量取已知线段的长度，再在射线上截取线段，使其长度等于已知线段，其中截取的过程，实质是以射线端点为圆心，以已知线段长为半径画弧，交射线于一点，其中射线的端点是所作的线段的一个端点，弧与射线的交点是线段的另一个端点。这里体现了线段的两种“运动”，用圆规量取已知线段的长度，可以看做是平移，而画弧的过程，实质是旋转变换。
再如，将一个角搬到另一个位置，使用圆规直尺可以非常精确地作出来，且大小不变。这种基本的作图方法，是学生掌握图形运动的直观根据。
3.在尺规作图中渗透与强化分类思想
从尺规作图学习伊始，它就伴随着分类讨论的思想。比如：七（下）第31页的作业题5。
已知∠β和线段a、b，如图5。用尺规作△ABC，使∠B=∠β，BC=a，AC=b。
这样的三角形能作几个？
又如前面案例2中所列的2、3、4题。
最典型的是在对等腰三角形的讨论中，常借助于尺规作图。
图5
图6
案例5 （太原市2008年中考压轴题）
如图6，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+1与
交于点A，分别交x轴于点B和点C，点D是直线AC上的一个动点。
(1)求点A、B、C的坐标。
(2)当△CBD为等腰三角形时，求点D的坐标。
(3)在直线AB上是否存在点E，使得以点E、D、O、A为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出
的值；如果不存在，请说明理由。
对第二问的解答借助于尺规确定所有点的位置情形，直观明了，可有效防止学生漏解。
如图7，当△CBD为等腰三角形时，有以下三种情况：
①当以BC为底边时，作BC的垂直平分线，交直线AC于点
；
②当以BC为腰时，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交直线AC于点
；
图7
③当以BC为腰时，以点C为圆心，BC长为半径画弧，交直线AC于点
。
4.在尺规作图教学中渗透数学文化的教育
《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》在基本理念中充分肯定了数学的文化价值，特别是在“课程实施建议”的“教材编写建议”中强调了各学段都要注重数学的文化价值，介绍有关的数学背景知识（数学家的故事、数学趣闻与数学史料）。在数学文化已逐步从理念走进中小学数学课堂的今天，重申尺规作图的意义，显得更为必要。尺规作图是数学文化长廊中的耀眼明珠，围绕着它，产生了许多有趣的问题，“三大难题”更是引发了无数的数学爱好者为此前仆后继。向学生介绍“三等分角”“立方倍积”“化圆为方”，既可以激发学生探究的兴趣，更能激励学生向先哲们学习不断探索的精神。在学习中，如能穿插介绍“尺规作图的历史”“费马素数与尺规作图”“高斯与尺规作正十七边形”“《几何原本》中的尺规作图”等经典著作与故事，可以提高学生的数学史素养，更好地传播数学文化；学习的同时还可以留下悬念：“数论与尺规作图”“解析几何与尺规作图”等，鼓励学生将来更深入地钻研学习。另外，在操作与证明中，学生也能深刻体会到尺规作图的简单美、精确美，这些都是数学独有的文化魅力。