基于Copula-AL法的VaR和CVaR的度量与分配，本文主要内容关键词为：度量论文,分配论文,AL论文,Copula论文,CVaR论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
1 引言
作为金融市场风险度量的主流模型，Value at risk（VaR）[1]风险计量技术已成为金融风险管理的国际标准，目前已被全球各主要银行、投资公司、证券公司及金融监管机构广泛采用。Rockfellar和Uryasev[2-3]提出的条件风险价值（Conditional Value at Risk，CVaR）的风险计量技术是迄今提出的备受关注的一种一致性风险度量方法，它既弥补了VaR的缺点，也继承了VaR的诸多优点。结合VaR和CVaR的双重风险门限监管将对企业和金融机构提供更合理更充分的风险度量标准。
资产组合的风险管理一直是风险管理的重要内容，由于可能涉及了多个市场，多个风险，多个资产的组合效应，因此如何刻画组合中资产回报的分布和各资产间或风险因素间相关性的问题是必须要考虑的。市场风险的收益率分布一般被认为是对称的正态分布。然而现实中越来越多的研究发现证券回报的分布往往出现尖峰肥尾和不对称现象[4]，这意味着现实中极端事件发生的概率要高于正态分布的估计概率，而这些极端情况的发生可能会带来致命的风险。Kozubowski和Podgórski[5]，Kotz等[6]研究指出拉普拉斯（Asymmetric Laplace，AL）分布有非对称性，较正态分布尖峰肥尾，能很好刻画金融市场的特征；黄海[7]，Trindade和Zhu[8]研究了AL分布在风险度量方面的应用，AL分布在金融市场风险管理领域有很大的应用价值。同时，在相关性结构的研究中，通常用的是线性相关分析，一般假设资产组合的收益率序列服从某多元统计分布。Sklar[9]和Nelsen[10]研究发现Copula函数是一种新的、更加稳健的、灵活的相关性分析技术，由于边际分布的选择不受限制，可以灵活地构造多元分布。自从Copula函数引入金融领域，金融风险研究就进入了新阶段。李石和卢祖帝[11]，赵丽琴[12]结合我国金融市场情况，研究了Copula函数在金融风险度量中的应用；叶五一和缪柏其[13]通过阿基米德Copula变点检测方法来检验传染效应的存在性，研究了美国次级债金融危机对亚洲市场传染效应。Copula函数可以捕捉到变量间非线性、非对称的相关关系，特别是易捕捉到分布尾部的相关关系。
为了更好地进行市场风险度量和风险管理的实施，本文利用AL分布来刻画组合中资产回报边际分布的非对称性和尖峰肥尾性，结合Copula函数技术来描述资产间的相关性结构，研究了市场组合VaR和CVaR的度量和分配。在理论分析的基础上，以二元情形为例，选取我国2005～2009年上证指数和深圳成指的组合为研究对象，视其为某资产组合或投资组合，通过对组合回报的边际分布和相关性结构的拟合分析和检验，运用Monte Carlo模拟法，对二元AL分布法和Copula函数法进行了比较研究，计算了以一天为期限的组合VaR和CVaR值及其分配情况。研究结果对投资决策、风险管理及风险资本配置等具有参考意义。
2 理论模型
2.1 VaR和CVaR模型
VaR是指一定持有期内，在给定的概率置信水平下，某一金融资产或资产组合所面临的潜在的最大的损失。其数学定义可表示为prob（△V≤-VaR）=1-α，其中△V为金融资产在持有期内价值变化，VaR为置信水平α（通常为95%至99.9%不等）下的风险价值。CVaR是指超过VaR的损失的条件均值，代表了超额损失的平均水平。在实际运用中通常用收益率的VaR和CVaR度量方法，描述在一定置信水平下金融资产面临的损失或超额平均损失。
一般假设资产收益率具有连续分布，对给定置信水平α（通常为95%至99.9%不等），则其收益率的VaR和CVaR可表示为式（1）和（2）：
2.2 AL分布理论
2.2.1 AL分布定义
由此易得随机向量y的众数向量，期望均值和方差分别为：
M=θ，EY=U+θ，D（Y）=∑+U'U
2.2.2 AL分布参数估计
2.3 Copula函数
2.3.1 定义和有关定理
定义
n元Copula函数是指具有以下性质的函数C：
常用Copula函数的有二元Normal-Copula，t-Copula和Archimedean-Copula函数，其中二元t-Copula能更好刻画对称及较厚尾部的相关性，尾部相关较敏感。本文主要使用t-Copula函数法，其主要形式如（6）和（7）式。
2.3.2 Copula函数参数估计
3 t-Copula-AL法的风险度量与分配
3.1 t-Copula-AL法的组合VaR和CVaR
Copula函数可以很方便地将边际分布及相关性结构分开处理，在市场风险的度量上，将金融资产进行风险因子匹配后，可以将
视为各种风险因子的收益率（如股数、利率或汇率等），此时我们可以依据实际样本资料，估计出合适的边际分布，且允许具有不同的边际分布，再依各个风险因子间的相关结构，选择最合适的Copula函数来连接各单个边际分布后得到了市场组合的联合分布形式。根据联合分布函数由（1）和（2）式就可以求的相应组合收益率的VaR和CVaR值。
在此用AL分布作为边际分布形式来描述金融资产回报存在的尖峰肥尾性和不对称性，选择t-Copula作为连接函数来分析资产组合联合分布，简记此方法为t-Copula-AL法。随后，根据联合分布函数，运用Monte Carlo模拟法得出资产组合风险度量。
3.2 VaR和CVaR的分配
在风险管理实施中，仅掌握组合风险是不够的，还须了解每投资资产的风险状况。由于组合效应，组合风险并不等于各单个资产的独立风险之和，这就需要对组合风险进行风险分配研究[15]，还可参考McNeil等[16]和Tasche[17]。这些信息对风险管理十分重要，有利于识别风险的主要来源、改进整体风险状况、评估投资绩效和风险资本的配置等。
4 实证研究
4.1 数据的选取及其特征
从表1相关统计量的结果，我们可看出两市场指数收益率分布的峰度比正态分布更高，具有尖峰肥尾性，意味着市场的异常波动时有发生；偏度远小于零，负值说明长期看来我国股市收益率分布左侧的波动要大于右侧，股市具有较大风险。
图1和图2分别为附有正态密度线的两市指数频率直方图，可以看出两市场指数回报分布具有明显的尖峰肥尾和不对称现象，正态分布不能很好地刻画这些现象；对其进行正态J-B检验，H=1（见表1），结果也表明拒绝正态分布的假设。下面将给出AL分布的检验。
4.2 边际AL分布的检验
据第2部分的理论分析，可得出两边际AL分布参数的ML估计如表2所示，下面我们给出两边际收益率服从相应
分布图拟合与检验。
图3和图4（见下页）为附有相应密度函数的直方图，可知AL分布能很好地拟合金融数据样本的特征，所估计的AL分布能很好地刻画样本期间市场的风险特征。
Kolmogorov-Smirnov（K-S）检验为常用的拟合优度型检验，可检验样本是否服从指定理论分布。利用Matlab得到K-S-Test检验结果如表2所示。由结果可以看出，H值均为零，P值都远大于0.05，故接受边际分布为分布的假设。
4.3 t-Copula函数的选取与参数估计
在确定两市场指数回报的边际分布分别为U=AL（0.0040，1.1185，0.0205）和V=AL（0.0038，1.0828，0.0229）后，我们可以据
的二元频率直方图（见下页图5）的情况选取适当的Copula函数。从图5可看出，频率直方图具有基本对称的尾部，也即（U，V）的联合密度函数具有对称的尾部，由第二部分的分析我们可选择合适的二元t-Copula函数来描述样本数据的相关结构。选取边际分布为AL分布的二元t-Copula函数，用IFM法通过Matlab编程，得参数估计如表2示。相应的二元t-Copula密度函数图见下页图6。
Q-Q分位数图比较直观地描述了变量实际分布与指定分布的拟合情况。RobertoEl[19]还证明Copula函数条件分布是服从均匀分布的，故为进一步检验t-Copula描述两市的相关结构情况，图7（见下页）给出了二元t-Copula相对于均匀分的Q-Q散点图，可以看出散点图大致分布在均匀分布的直线附近，所以该Copula函数对样本的拟合程度很好。
4.4 市场风险VaR和CVaR的计算与分配
4.4.1 计算结果和返回检验
由第三部分的模型方法，本节利用Monte Carlo模拟法，模拟100000次，得到不同置信水平下持有期为1天的资产组合VaR和CVaR。同时作为对比，我们也给出正态分布下Normal-Copula和二元AL分布下的风险度量。其中作为常用的多元分布方法，图8给出了二元AL分布Monte Carlo模拟的散点图，可以看出二元AL分布具有的尖峰肥尾性。
对于风险值的准确性检验，Kupiec[20]给出了一种失败率检验法，即是考察实际损失超过VaR值的概率。对CVaR的检验，可依据CVaR的定义进行，它反映了损失超过VaR阀值时可能遭受的平均损失的大小。我们对尾部风险进行定量研究，即把VaR估计失效时的实际损失的平均值与我们所估计的CVaR进行比较性分析。对给定置信水平95%、97.5%、99%、99.5%和99.9%，组合的VaR和CVaR计算和返回检验的结果见表3，表4和表5，表6。
从表3和表4计算结果可以看出：（1）无论VaR或CVaR的计算，基于AL分布的方法都较Normal-Copula方法计算结果大些，且随着置信度的提高，相差越大；t-Copula-AL和二元AL分布法计算结果较相近，但通常t-Copula-AL方法计算的结果较大些。（2）正态分布假设下Normal-Copula计算结果随置信水平增加而变化幅度不大；t-Copula-AL和二元AL分布法计算结果随置信水平增加而显著增加，但通常t-Copula-AL方法计算结果变化幅度更大，对尾部风险的敏感性更强。另外，可以看到利用CVaR模型对尾部风险估计的效果，各方法计算的CVaR估计值比VaR估计值高很多，因此它是一种更为保守的风险度量工具。
从返回检验的结果可以看出：（1）Normal-Copula的方法在95%置信水平下可以接受，但是在更高的置信水平下，LR统计量超出了临界值，可见，随着置信水平的提高，正态分布容易低估风险；给定置信水平下，t-Copula-AL和二元AL分布法效果都相当好，LR统计量接受这两个模型，其中t-Copula-AL法对应的LR统计量更小，效果更佳。（2）对CVaR的检验可以看出，在VaR估计失败的交易日中，t-Copula-AL法计算的CVaR值与实际损失的平均值很接近。这说明当VaR估计失败时，t-Copula-AL法很准确地估计了尾部风险。
由此可见，t-Copula-AL法在各置信水平下都能很好地度量组合风险VaR和CVaR。在给定高置信水平（99%以上）下，t-Copula-AL法的VaR值对置信水平变化的敏感性比二元AL分布法更强；各置信水平下，t-Copula-AL法的CVaR值对置信水平变化的敏感性比二元AL分布法也更强，更能有效地捕获资产组合尾部超额风险。
4.4.2 风险分配结果
选取t-COpula-AL模型度量组合风险，由方法1基于模型公式法得到每单位单个资产的风险值，进而得头寸为（0.3，0.7）的组合中各资产实际风险分配，结果见表7所示。同时表8给出方法2基于线性最小二乘（OLS）回归的风险分配方法的计算结果。
可以看出：（1）两种方法都能有效地分配组合风险，各置信水平下，每单位头寸的深市VaR和CVaR值一般要大于每单位头寸的上市风险值，深市的风险较大些；组合风险等于各资产实际风险配置之和。（2）通过比率系数的分析可知，方法1的比率系数随着置信水平的变化而显著变化，计算精度较高。（3）OLS法的比率系数无显著变化，说明该法对尾部处理时精度不高，当然这是由OLS法的取线性近似所决定的。
5 结语
本文在分析VaR和CVaR模型、AL分布及Copula函数理论基础上，研究了市场组合风险VaR和CVaR的度量与分配。以二元情形为例，选取2005～2009年上证指数和深圳成指的组合为研究对象，视其为某资产组合或投资组合，通过对组合的边际分布和相关性结构的拟合分析和检验，本文认为，AL分布能很好地刻画组合中指数回报的边际分布特征；二元t-Copula函数比二元AL分布更能有效地捕捉两市间的相关性。运用Monte Carlo模拟法和准确性检验，实证表明，对于组合风险VaR和CvaR的度量，t-Copula-AL和二元AL分布法在各置信水平（95%，97.5%，99%，99.5%和99.9%）上表现的都较好，其中t-Copula-AL模型最佳。选取t-Copula-AL模型进行风险分配的计量，每单位头寸的深成指VaR和CVaR值一般要大于每单位头寸的上证指数风险，深市的风险较大些；同时，实际市场组合风险等于各单个资产实际风险分配的和。
基于AL分布的t-Copula函数的VaR、CVaR法可以同时处理资产组合中的不对称现象、肥尾现象和资产回报间的相关性结构，能方便地进行风险配置，计算简单准确，在一定程度上解决了在较大置信水平下准确计算VaR和CVaR的难题。这些将为我们更好地进行投资决策、风险管理和风险资本配置等提供很大的帮助。
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