分形方法及其意义——系统空间形态与结构复杂性研究的方法，本文主要内容关键词为：方法论文,复杂性论文,形态论文,意义论文,结构论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
分类号：N031 文献标识码：A 文章编号：ISSN 1000—5218 （1999）04—0080—0086
一、分形现象认识与分形概念
描述事物的空间（几何）形状与结构，是认识客观世界的一项重要内容。以往的几何学，如欧氏几何、黎曼几何、微分几何，研究的都是规则的形状。因此传统几何又称为规则整形几何。而客观世界自然存在的许多事物不仅不具有规则形状和规则的结构，而且其外部和内部还具有极其复杂的、互相嵌套的形状与结构。例如，哺乳动物肺的血管，我们司空见惯了的树木，就都是这样的形状，具有这样的结构。实际上，这种形体在自然界和社会中比比皆是，如弯弯曲曲的海岸线，起伏不平的山峦，分叉的树木和河流，纵横交错的血管，思想的创造性分化，科学革命的结构（注：库恩1962年的专著名为《科学革命的结构》，近年来科学哲学研究表明，科学革命也具有复杂性的结构，各种科学革命具有一定的、统计意义上的自相似性。笔者也在一定程度上证明了科学的演化是一种自组织过程，具有自组织的复杂性结构。参见《生长的旋律——自组织演化的科学》（吴彤著，山东教育出版社1996年版）以及《自组织的哲学——一种新的自然观和科学观》（沈小峰、吴彤、曾国屏著，中共中央党校出版社1993年版）。），等等。这样的事物一直存在着，它们比人造的规则几何形体的历史不知要长多少，但直到本世纪70年代，它们在科学的词典中还从未被用相应的概念加以表达。
1975年，美籍法国数学家曼德布罗特（B.B.Mandelbrot）自造了一个英文单词，即fractal，中文译为“分形”。 其词义在于表达那种不规则的、破碎的、分数的对象。很明显，云彩不是球，山峦不是锥，海岸线不是圆，树皮不光滑，闪电也不沿着直线展开（注：B.B.Mandlbrot,The Fractal Geometry of Nature,W.H.Freeman,1982.）。 比起规则的正方形、球形，“分形”对应的对象在传统数学看来，就是怪物，是传统数学不可描述的。但是，分形概念却比较真实地和更接近地反映客观事物。
二、分形定义
“分形”概念创始人曼德布罗特对所谓“分形”有过几种说法或定义：
1.A fractal is by definition a set for which the Hausdorff—Besicovitch strictly exceed the topological dimension，分形是这样的一个集合，其Hausdorff—Besicovitch维数严格大于拓扑维数（1982年）。（注：B.B.Mandelbrot,The Fractal Geometry of Nature,W.H.Freeman,1982.）
2.A fractal is a shape made of parts similar to the wholein some way ， 3.其组成部分以某种方式与整体相似的形体叫分形（1986年）。（注：引自[日]高安秀树著：《分数维》，地震出版社1994年重版，沈步明的重版说明。）
3.分形是非线性变换下的不变性。（注：参见敖力布、林鸿溢主编：《分形学导论》，内蒙古人民出版社，1996年版，第7页。）
综合上述不同观点，我们给出这样一个分形的描述性定义：所谓分形（fractal）是指某种具有不规则、支离破碎形状的， 同时其部分又与整体具有某种方式下的相似性、其维数不必为整数的几何体或演化着的形态，与此相应，我们把那种形状规则的、维数必定为整数的几何体或形态称为整形。需要注意的是，分形形体不是任意复杂和粗糙的形体（有的学者把这类形体称为“几何混沌”）或形态，而是“粗糙同时又自相似”的形体或形态。用曼德布罗特的话说，分形几何的对象是介于几何混沌和欧氏几何之间的第三种可能类型的图形。
三、区别分形与整形的基本方法
1.直观方法
从直观上，我们可以非常容易地区别分形与整形。即利用规则性与非规则性的直观观察即可以判断对象的分形或整形性。很明显，在分形特性占据支配地位时，通过这种感性直观人们就可以看到典型的无标度特性、自相似性，而在整形特性占据支配地位时，人们则通过感性直观看到典型的标度特性，从而区别了分形和整形。当然，在这种情形下，分形和整形不可能同时出现，或不可能以同样的作用和地位出现。正像在微观量子力学领域，波粒二像性不能够同时出现于一个图景中一样。或者，至少我们现在还没有发现分形与整形同时出现，或占据同等地位的状况。因此，这种直观方法还是具备可操作性的。然而，这样的认识毕竟还不是规律性、理性的认识，而仅仅是一种感性直观。假定分形和整形以同等地位同时出现，分形与整形甚至相互交融、缠绕，上述感性直观的区别方法就自然失效了。
2.标度特性方法
从理性的性质和数量方法角度看，我们可以从是否具有特征尺度来加以区别或把握具有分形特征或性质的事物和无分形特征或性质的事物。所谓特征尺度，并没有严格定义，我们可以这样看，特征尺度即表明事物基本度量单位的尺度。例如，圆或球体的特征尺度是其半径或直径。正方形的特征尺度是它的边长。自然界中很多事物都有自己的特征尺度，需要用恰当的尺度去度量，如铁路要用公里作单位去测量，用厘米毫米测量就不合适了。有了特征尺度，要求解的问题就有了一个基本框架，解起来就容易得多了。
按照有无特征尺度，我们大致可以把事物分成两种，即有特征尺度和无特征尺度的事物。具有特征尺度的形体有哪些特征呢？日本学者高安秀树指出，当保持特征尺度不变时，对形体的简化操作不会改变形体的性质，这是具有特征尺度的事物的基本特性；其次，有特征尺度的形体一般是光滑的或近似光滑的（注：[日]高安秀树著：《分数维》，地震出版社，1994年重版，1—2页。）。无特征尺度的事物其形体的尺度则是随着测量尺度的变化而变化的，并且是粗糙的。例如，著名分形理论创始人曼德布罗特就发现了诸如像英国海岸线这样的不规则形体的线度是随着测量尺度的大小而改变的（注：B.B.Mandelbrot,Fractal:Form,Chance and Dimensions,W.H.Freeman,1977.）。从运动的角度看，无特征尺度的运动，是一种在不同运动级别、层次均涉及同样运动的过程。如观察夏天的积雨云，其各个部分粗看像球的形状，而仔细一看，这些像球翻滚的云团中又有不可忽略的更小的球团，如此这般继续下去，则需要涉及相差几个乃至几十个数量级的各种球团。即涉及不同量级的许多层次的运动。（注：潘祖梁：《非线性问题的数学方法及其应用》浙江大学出版社1998年版，第175页。）无特征尺度， 非光滑性，涉及不同层次数个或数十个数量级的相同运动，是这类形体或形态复杂性的主要表现。而无特征尺度则给测量和研究这类复杂形体带来了所谓复杂性的困难。而且，这类形体和运动变化在自然界（可能也包括社会乃至精神世界）并不是个别现象，如天空中翻滚的积雨云、破碎的岩石、非规整的树木、河流、山川，以及地震、正常人心脏跳动和积极的思维活动等等。因此，标度特性的方法在实际判断整形和分形时，可以选择事物的三个特性进行观测，第一，在一定的尺度下和范围内有无标度特性，第二，事物几何特征是否具有光滑特征，第三，不同层次涉及到的运动是否不相同。在操作上，可以改变尺度对观察对象进行操作，如改变后，在不同尺度它们是相似的，则可以判定是为分形，否则为整形。
3.维数方法
可以从维数角度区分分形和整形。
按传统理解，维数在数学上，最开始被定义为描述一个点的位置所需要的独立坐标数目或连续参数的最小数目，在物理学上，维数即确定系统状态的独立变量的最小数目。因此，维数只能取自然数而且是正整数。从豪斯道夫以来，首先是数学家，而后其他学科的科学家们也发现，维数还有另外的含义。维数是刻画图形或几何对象（集合）占有、填充空间规模和整体复杂性的量度。作为填充和占有空间能力的测度的维数，则可以取任何实数。现在知道，分形的事物的维数一般都是非整数的维数，简称分维。而整形的维数一般是整数维。
四、分形复杂性的共通性或规律性
具有分形特性的复杂性事物背后是否存在某种规律性和简单性？前文说了，无特征尺度，非光滑性，是这类形体或形态复杂性的主要表现，这给测量和研究这类复杂形体带来了所谓复杂性的困难。然而曼德布罗特却发现，无特征标度却意味着某种自相似性。而自相似性则无论采用什么样大小的尺度度量对象，其形不变。这就是分形发现者首先发现的分形不变性。分形的一些基本不变特性被法克涅（K.L.Falconer）总结性地归纳如下（注：K.J.Falconer:Fractal gemetry,mathmaticalfoundations and applications,Wiey,1990.）：
（1）分形具有精细结构；
（2）分形具有高度的不规则性；
（3）分形具有某种程度上的自相似性；
（4）分形的某种意义下的维数大于它的拓扑维数；
（5）分形的生成方式很简单，比如可以用递归方式生成。 （注：如虫口叠代方程X[,n+1]=1-μX[2][,n]，通过多次简单叠代，在μ为不同值的范围内就可以达到分维的分形区域（或混沌区域）。）
五、具体度量和计算分形维数的方法
维数是几何对象的一种特征量。我们熟悉的维数概念通常是在欧氏几何空间中建立起来的，如点是0维，线是1维，面是2维，体是3维的。推而广之，时空是4维的。整数维在几何对象经过拓扑变换（如拉伸、 压缩、扭曲）后不变，这时又称为拓扑维数。
维数概念与测量问题有关。分数维数也正是从整数维数的测量推广出来的。考虑普通的整数维数空间，以d记它的维数。如果d维空间的一个几何对象的线度被放大L倍，那么整个对象一定被放大k=L[d] 倍。 因此，空间维数d、线度放大倍数L和数k之间有如下的关系
Ink
d=———（1）
InL
于是我们可以按照公式（1）定义分数维数。 分数维数目前通常有以下几种：
（1）容量维：给定一个点集X，N（ε）是能够覆盖X的直径为ε的小球的最小数目，如果存在有限极限
L[,n]（ε）
D[,o]=lim——————————
（2）
ε→o 1
L[,n]（——）
ε
则称D为点集X的容量维。该容量维与豪斯道夫维数相差无几。
（2）豪斯道夫维数（鉴于篇幅所限此处略去）。
（3）信息维：用ε球覆盖点集X，令Pi是一个点落在第i 个ε球内的概率，如果存在有限极限
则称D[,1]，为X的信息维。信息维能够区分不同小球覆盖点的多少，可以反映点集内部的非均匀性，对容量维有所改进。
（4）关联维：设X[,1]，X[,2]，…，X[,N]是系统的一个解序列，令
存在，则称D[,2]为系统的关联维。 关联维可以在不知背景相空间情况下，只依靠实验测量的少数数据计算维数，因此比较方便。特别是对涉及单一数据序列的问题，如脑电波、经济增长曲线等的分形特征，可以比较容易地得到结果。（注：参见苗东升：《系统科学原理》，中国人民大学出版社1990年版，第600—602页。）
一般而言，比较实用的分数维数定义和计算方法有5种：（1）改变粗视化程度求维数的方法；（2）根据测度关系求维数的方法；（3）根据相关函数求维数的方法；（4）根据分布函数求维数的方法；（5）根据光谱求维数的方法。其中最实用的方法是第一种方法，即改变粗视化程度求维数的方法，这一方法的基本思想是：
首先把空间分割成边长为r的细胞， 然后来数所要考虑的形状中的那部分所含的细胞数N（r）。如果对r进行各种变化时，当
得到满足，这些点的分布即为D维数。 （注：[日]高安秀树著：《分数维》，地震出版社，1994年重版，第14—15页。）
六、分形方法的精髓与意义
1.分形是观察无穷的有形思维方法
有人认为，透过思维之窗，分形是观察无穷的方法（注：参见J.格莱克著：《混沌——开创新科学》，上海译文出版社，1990年版， 第105页。）。在人为制作的一些分形几何形状中， 我们的确感受到了这样的思想。科克曲线，是利用极其简单的规则，在有限的面积上，构造出来的无限长度的曲线。一条简单的规则的一维欧几里得线根本不占有空间，而科克曲线以它无限的长度挤占了空间。它比线要多，又比面要少，科克曲线是一个数学怪物，它触犯了一切关于形状的合理直觉。但是，它不仅是可以构造的，而且与规则直线相比，它与自然界的事物更为接近（例如与海岸线）。因此，科克曲线可以通过简单规则而生成复杂至极的非规整形状，反之，极其复杂的事物也贯穿着极为简单的统一规律性。
这表明，过去思维不能通过自身使复杂性的无限自我嵌套形象化，而有了分形概念，并且通过分形几何的方法，思维似乎看到了复杂性的无穷世界。
2.分形是理解复杂性的新语言：递归、嵌套与自相似
分形为研究复杂性提供了重要的思想和方法，例如，过去对相变点附近出现的彼此嵌套没有固定边界的动态花斑结构并不清楚，并且束手无策，今天知道那是典型的分形，因此可以利用标度不变性方法加以处理。
分形的意义在于它的自相似性，而自相似恰恰是跨越不同尺度的对称性，它意味着递归，意味着嵌套，意味着嵌套在不同层次的演化、出现和交替。我们原来看到的或理解的复杂性表现为一种对称性破缺，一种非线性过程的对称性破缺，但是在分形中，复杂性也表现为某种新意义上的对称性的无限或有限的自我嵌套。复杂性的精髓于是也表现出其规律——非自相似与自相似性的不同层次的统一（于是复杂性不再是无规律性）。在后者，这种自相似性表现为几何的，但是却反映了事物结构内在的统一性，从大尺度到小尺度保持一致的分支行为。分形就是提供了这样一种语言，通过它我们把握的是由分支产生的整个结构，把握的是表现为复杂性的分支统一行为。
分形概念也为我们提供了描述混沌形状的复杂性事物和过程的一种新语言（注：[英]伊.斯图尔特著：《上帝掷骰子吗？ ——混沌之数学》，上海远东出版社1995年版，第227页。）。 由于有了分形概念，近年来，科学家们在各自的专门领域几乎都发现了一些可能的空间或时间的分形结构。例如，在自然科学中，天文学中的星星和银河系的分级成团现象、地理学中河流与列岛、植物学中的树根与叶脉、生理学中的血脉和肺管，都可能是分形体。在技术科学中，随机游走行径、线状或枝状聚合物、地震波的波形记录、大气中的湍流与电击穿、电沉积、聚集体生长过程，也被证明为是一种分形过程（注：张志三著：《漫谈分形》，湖南教育出版社，1993年版。）。在生物科学的各个分支中，细菌群体的生长、血管的发育，等等，都可能是分形。科学的演化特别是它的分化和综合过程，也可以运用分形概念加以说明。因此可以这样说，分形和分维数是科学家观察、描述和解释世界的新视觉、新视角。（注：方兆烓：“维数：从纯粹几何学走入经验科学”，《自然杂志》15卷1期，第30—34页。）
3.分形方法的哲学意义——本体论意义与认识论方法意义
（1）无限与有限：在本体论意义上， 自然界里实际上存在许多有限与无限的真实的统一情况。例如我们问能够在有限的体积中制造无限的面积吗？了解了分形后，我们豁然开朗，原来人或动物的肺叶是有限体积的，但是肺泡的表面积与该体积大小相比就几乎是无穷大的。典型的具有无穷多空洞的海绵也是如此。这里无限与有限是统一于一个统一体中。而并不像有些教科书中经常举例说明的分别在不同层次的无限与有限可以拉成“统一”的情形。在认识论意义，分形方法提供给我们通过有限认识无限、构造无限，通过“可能”认识“不可能”的方法。（注：见Hofstadter：“Gǒdel，Escher，Bach”，中文版《哥德尔、艾舍尔、巴赫——集异壁之大成》，商务印书馆1997年版，某些“不可能”与“嵌套”插图。）
（2 ）简单与复杂：认识上我们已经了解分形在数学上可以通过极为简单的规则生成。这表明，简单与复杂从来就不是截然分开的。本体上我们还不知自然界或其他事物的复杂性是否也是从极其简单的规则生成的。但是有序通过无序而产生，世界的复杂性的逐渐生成，从逻辑上表明简单性可能是复杂性起源的源泉之一。简单的线性叠加当然还是简单的东西，但是简单的非线性叠加[迭代]则出现了复杂。
（3）整体与部分：经典物理学占统治地位时期， 人们以为部分之和即整体；系统科学发展时期，人们发现整体大于部分之和；分形理论诞生后，人们发现部分与整体有自相似性。这是向经典物理学观点的回归吗？有人欢呼，再次发现了部分之和等于整体。实际上，分形发现的部分与整体的自相似性质完全不同于“部分之和即整体”的命题。经典科学中的部分与整体的关系是“部分的性质”相加后的“集合”等于“整体性质”，而分形理论下的分形体中，是任意小分形元和任意一部分分形元与整体自相似。可见两者根本不同。
另外分形理论仍然是系统科学中的一个分支。它不是从部分出发，仍然是从整体出发的理论方法。例如，在数学上构造分形时，我们所看到的如康托集合、曼德布罗特集、科赫曲线等，都是先产生整体，而后通过一定规则产生其各个部分的。在自然界中，大自然也是先产生一个（可能混沌的）整体，然后才分形的。生命展开前的细胞、树木之芽、河流的开端不都是如此吗？
需要说明的还有一个问题，我们通过分形理论的创立发现了自然界和社会到处都存在分形后，很多人认为，自然界和社会处处皆分形，他们甚至否认存在整形，认为整形纯粹是人工创造物，如技术的各种产品。事实上，这是错误观念，大自然中存在自然的整形，如规则的晶体，就是一例。有整形也有分形，大自然和社会才因此而丰富多彩。
总之，分形理论方法为我们认识复杂性、非线性和系统演化的空间图景提供了重要的思考途径和方法。研究复杂性的哲学和认识论均应该继续关注分形理论与实验研究的进展，以提取更多更精粹的意义和方法。
收稿日期：1998—12—07