高中数学新教材第九章教学问答（三），本文主要内容关键词为：第九章论文,新教材论文,高中数学论文,问答论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
185 如何向学生图示多面体、凸多面体、棱柱、棱锥、平行六面体各集合的包含关系？
答：可以用图1来表示。
186 什么叫做地球上某一点P处的经度和纬度？
答：如图2（1），假设点P[,0] 表示地球上英国伦敦格林尼治天文台的所在地，点P不是南（北）极，地球的两条半径OP[,0]和OP 在赤道平面内的射影分别为OA＇和OB＇，OA＇和OB＇所在的赤道半径分别为OA和OB，那么∠AOB的度数θ（0°≤θ≤180°）叫做地球上点P处的经度。其中OA为角的始边，OB为角的终边。OA绕顶点O旋转到OB，如果从北极看这一旋转是逆时针方向的，点P的经度θ叫做东经θ度；如果这一旋转是顺时针方向的，点P的经度叫做西经θ度。
如图2（2），地球上点P处的纬度就是地球半径OP 与赤道平面所成的角ψ（0°≤ψ≤90°）的度数。如果点P在北半球，点P 的纬度叫做北纬ψ度；如果点P在南半球，点P的纬度叫做南纬ψ度。
图2纬ψ度。
187 度量体积的根据是什么？
答：（1）两个全等的几何体，它们的体积相等；
（2）一个几何体的体积，等于它的各部分体积之和。
188 度量体积有哪些方法？
答：有两种方法：
（1）直接度量法。把一种叫做“单位正方体”（其大小被看成度量体积的标准，并称之为单位体积）的空间图形尽可能地堆放在要度量的几何体内，如果被度量的几何体恰好被a个正方体加上它的c/b[3]（这里b是大于1的整数，c是非负整数，且c＜b[3]）所填满，那么这个几何体的体积就等于（a＋c/b[3]）个单位体积，或直接写成a＋c/b[3]。
（2）间接度量法。量出被度量的几何体中某些线段的长度， 再利用有关公式计算出这个几何体的体积。中小学数学教科书中讲的主要是这种度量方法。
189 我国数学家祖暅有哪些数学方面的成就？
答：祖暅，字景烁，是我国南北朝时代南朝的数学家、科学家祖冲之的儿子。祖冲之去世后，他在梁朝天监三年（公元504年）、 八年、九年先后三次上书，建议采用他父亲编制的《大明历》，终于使父亲的遗愿得以实现。祖暅的主要工作是修补编辑他父亲的数学著作《缀术》。在实践的基础上，他提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”。这里的“幂”与“势”分别指几何体的截面积与高。翻译成现代汉语，就是：“夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。”他运用这一原理和由他创造的开立圆术，发展了他父亲的研究成果，巧妙地证得球的体积公式为V＝1/6πd[3] （这里d是球的直径）。 他求得这一公式比意大利数学家卡发雷（Bonaventura Cavalieri，公元1598年—1647年）至少要早1100年。
祖暅还有不少其他科学发现，例如肯定北极星并非真正在北天极，而要偏离一度多等。算得这些结果，同他有丰富的数学知识是分不开的。
190 怎样把圆和球的主要性质进行对照？
答：可以列表如下：
圆的主要性质
球的主要性质(1) 平面内与定点距离等于定长的点集(轨迹).
空间内与定点距离等于定长的点集(轨迹).(2) 同圆(或等圆)的半径相等,直径是半径的2倍. 同球(或等球)的半径相等,直径是半径的2倍.(3) 与弦垂直的直径过弦的中点,圆半径[2]=圆
与截面垂直的直径过截面圆的圆心,球半径[2]
心到弦的距离[2]+弦长的一半[2].
=球心到截面圆的距离[2]+截面圆的半径[2].(4) 不过圆心的弦小于直径;经过圆心的弦是直
不过球心的截面截得的是球的小圆,其半径和面
径,是最大的弦.
积都小于球的大圆的半径和面积;经过球心的截面
截得的是球的大圆,是最大的截面圆.(5) 过切点的圆半径垂直于圆的切线.
过切点的球半径垂直于球的切面(注:与球面只有一
个公共点的平面叫做球的切面,这个公共点叫做切点.).(6) 圆周长=2π×圆半径,圆面积=π×圆半径[2]. 大圆周长=2π×球半径,球面积=4π×球半径[2],
球体积=4/3π×球半径[3].
类似地，与球面只有一个公共点的直线叫做球的切线，这个公共点也叫做切点。球的切线有以下主要性质：过切点的球半径垂直于球的切线；过球面内一点的切线，有无限多条，这些切线都在经过这一点的球的切面内。
191 在立体几何中，距离问题有哪些类型？
答：在立体几何中，有关距离的问题共有以下八类：
（1）求两点间的距离；
（2）求点到直线的距离；
（3）求两平行直线间的距离；
（4）求两异面直线间的距离；
（5）求点到平面的距离；
（6）求平行于一平面的直线到此平面的距离；
（7）求两平行平面间的距离；
（8）求球面上两点间的距离。
在这八类问题中，求两点间的距离（即（1））是基础， 其他的距离（即（2）～（8））大都是利用立体几何知识转化为两点间距离而求出的，有时也利用体积或面积来转化而间接求出。
在立体几何中，求两点间的距离，在较多情况下是把已知条件和要求的未知量想办法归结到同一个三角形中，通过解三角形来求出；有时也把它们归结为几个相关的三角形，再通过解三角形逐步求出。
192 怎样让学生把球面上两点间的距离、 弧长公式和圆内接正多边形联系起来解决有关问题？
答：我们举一个例子。
选择题：球面上有三个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的1/6，经过这三个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为（）。
根据两点间的球面距离的概念及弧长公式，可知
，所以应该选B。解这道题，不仅要求把球面上两点间的距离、弧长公式和圆内接正三角形三者连成整体，还要进行化归包括等价化归。
193
怎样让学生利用正方体作为数学模型来解决立体几何问题？
B，C，D，所以应选A。
如果所设定的a，β，ι，m不足以否定哪个选择项，那么可以找出可变的元素β，让它绕ι转动，转运过程中，A符合题意，但否定了B，C，D。
用正方体作为数学模型进行直观推理，对于解答选择题、填空题，有时十分明快；同时，这也是立体几何中的一种重要方法。
194 将平面图形卷成旋转体，求它的体积，有什么规律？
答：可以通过寻找两个相等关系求它的体积：
（1）卷成的旋转体（本章指圆柱和圆锥）的底面圆的周长， 等于平面图形（分别对应于矩形和扇形）的一边和弧长。
（2）在卷成的旋转体的轴截面中， 分别利用实际存在的矩形和直角三角形，找出另一个相等关系。
195 什么样的凸多面体的任何两个顶点的连线都是棱？
答：在凸多面体中，只有四面体的任何两个顶点的连线都是棱。其他凸多面体都不具有这一性质，证明如下：
设多面体的顶点数V＝n，则它们互相连接成的棱数E＝n/2（n－1）。每一条棱是2个面的边界，每个面至少有3条棱作边界。因此多面体的面数
又多面体的棱数n≥4，所以n＝4。
从而，除了四面体外，不存在其他的多面体，它的任何两个顶点的连线都是棱。
196 已知一个十二面体共有8个顶点，其中两个顶点处各有6条棱，其他顶点处各有相同数目的棱，则其他顶点处各有几条棱？
答：对于本题，F＝12，V＝8，所以E＝V＋F－2＝18。 由两个顶点处各有6条棱，知尚余6条棱，6个顶点。这6个顶点构成六边形， 过这6个顶点的棱应该各有4条。
可以作一数学模型帮助学生验证上述答案：作一个六边形（不妨作正六边形），在它所在面的两侧各取一个点，共8个顶点，12个面。
当然，如果能先作出这一数学模型，那么即使不依靠简单多面体的欧拉公式，也能根据模型说出本题的答案。在这里，又可以让学生体会建构数学模型对于解决问题的作用。
思考题
1.怎样通过本章的教学，让学生体会到简单的数学模型在解决立体几何问题中所起的作用？如何抓住问题的要素来构建这种简单的数学模型？
2.回顾本章内容，联想平面几何、平面解析几何、微积分中的内容，体会大纲、教材让学生先学平面几何，再学立体几何，最后学微积分的好处所在。这样做，对于教学内容的安排和教学目标的确定为什么较为合理？