“整体化问题牵引”教学模式在线性代数教学中的实践与思考
马朝忠[1]邓西云[2]
（[1]信息工程大学 河南·郑州 450001；[2]郑州市第43中学 河南·郑州 450003）
摘 要 论文从学生的认知特征出发，结合线性代数课程自身固有的特点，对线性代数课程的教学模式、教学理念、教学方法等问题进行了有益探索，提出了“整体化问题牵引”教学模式，既注重学生整体认知能力、宏观把握能力的提高，又以问题为牵引，引导学生充分掌握提出问题、分析问题、解决问题，以及进行知识延拓的能力，并在教学过程中进行了实践和推广。
关键词 整体化问题牵引 教学模式 认知特征 线性代数
线性代数是学生进入大学后接触到的第一门代数课程，它是研究矩阵理论、代数特征值等问题的基础，也是计算机应用、数字信号处理、网络开发等等工程领域的研发工作中不可或缺的有力工具，更是学生学习专业课程如电路、理论力学、材料力学、计算机图形学、信号与系统、测量数据处理、误差理论、系统动力学、自动控制原理、机械振动、仿真等的先导课程。线性代数学习的好坏对后续相关课程的学习起着至关重要的作用，但是如何在有限的教学时间内，让学生理解并掌握行列式、矩阵、向量（组）及其数值计算并对线性空间有基本的认识，培养他们的空间想象能力、逻辑推理能力、抽象思维能力以及数学实验、建模能力和数值分析与计算能力并非易事。本文从教学实践出发，对线性代数课程的教学模式、教学理念、教学方法等问题进行了有益探索。根据学生的认知特征，提出“整体化问题牵引”教学模式，此教学模式既注重学生整体认知能力、宏观把握能力的提高，又以问题为牵引，引导学生充分掌握提出问题、分析问题、解决问题，以及进行知识延拓的能力，并在教学过程中进行了实践和推广。
本研究通过对中老年分别使用西药和柴胡疏肝散加减联合针刺疗法来治疗rGERD，以进一步探索中药联合针刺疗法对中老年人rGERD的临床疗效。本研究表明，中老年对针刺联合中药治疗效果更有效，且无明显不良反应，复发率亦有减少，且老年患者对针刺联合中药治疗效果更佳，其中原因尚有待进一步研究，目前尚缺乏针药治疗的长期疗效的分析，尚有待进一步研究。
1 学生的认知特征
教育心理学指出，人的学习能力是具有年龄阶段特征的。简单来说，人从大约6、7岁到14岁是记忆的最佳时期，这时的记忆力常常表现为死记硬背，能够说出学过的知识点在哪一本书某一页的什么位置，这种死记硬背的能力在15岁以后逐渐衰退。15岁以后，人就会逐渐变得越来越依赖于理解性记忆，30岁左右进入理解记忆的最佳时期。刚入校的学生正处在由死记硬背性记忆向理解性记忆的过渡期，有学习热情但学得快忘得也快，而且大学的学习任务要明显重于中学，再加上各种社团活动的吸引等等，仅靠在中学阶段养成的题海战术，很难高质量的完成大学学业。
线性代数课程大都开设在大学一年级的第一或第二学期，此时，学生正在完成由中学生向大学生转变，正在学习适应大学生活，逐渐由一名不谙世事的青少年快速成长为一名能熟练应对各种生活问题的成人的过程中。从中学时一心只为考大学的心无旁骛，到进入大学后，要面对各种社会活动，各类课外兴趣活动，不少学生心中什么都想参加，却也有一种忙不过来的失落与迷茫，加之受年龄因素的影响，更加重了自己的心理负担，他们的学习不可避免地会受影响。在这重重阻力之下，如何让学生能不掉队，甚至学得更好，对所有教师都是一个不小的挑战。这也是我们一直在不断探索并谋求解决的问题。
2 “整体化问题牵引”教学模式的应用与实践
2.1 “整体化问题牵引”教学模式的基本思想
线性代数课程历来以概念多、定理难、符号繁、运算规律交织、学习内容相互纵横交错，知识前后贯通性强，高度的抽象性与复杂的逻辑性，而显得零、散、乱。这是以前很多学习过线性代数的人的共识，事实也是如此，为此，我们经过不断的实践与总结，归纳出“整体化问题牵引”教学模式。把整个教学内容融为一个整体，把每次课的内容融为一个小整体，让学生先学会整体把握知识脉络，方便学生记忆，解决了学生容易遗忘的困难；把每个小整体又分成一个又一个环环相扣的问题，沿着这些问题，把整个内容细节串起来，防止学生学习流于形式，而忽视对重点，难点的理解和掌握，有助于学生深入理解所学知识。
2.2 “整体化问题牵引”教学模式在教学中的应用
2.2 .1突出一个整体
周恩来总理曾在一次青年工作会议上讲到：“年青人的工作要反复做，做反复”，就是针对年青人记得快易遗忘的认知特点而言的。在教学过程中我们注重突出知识结构的整体性，强调这个“一”。对线性代数课程，我们反复提醒学生线性代数研究的一个主要问题是解线性方程组。并且通过不同的形式让学生认识这个问题，让每名学生一看到线性代数这四个字马上就会想到解线性方程组，让这个意识在他们心里扎根。
船上的各类物料库，往往大都没有锁闭装置，这不利于保安控制，物料库是否遭受破坏，这直接影响船舶的安全和保安工作,因此要改装添加锁闭装置，保安巡逻期间要重点关注物料间。特别是长期停靠码头，及锚泊船舶，出国作业船舶。上了锁，既可以防止内部失盗、丢失，也可以防止外部的偷盗，顺手牵羊等现象的发生。
对于每次课，也是从整体上设计一个问题，然后围绕这个问题提出一系列小问题，通过对些问题的分析、解决，逐步完成对整个问题的解决。例如，矩阵的相似对角化，通过实际计算，我们发现对角矩阵的高次幂计算明显比一般矩阵的高次幂计算容易实现，于是我们就可以启发学生提出问题：能不能把一般矩阵化为对角阵呢？如果可以，该怎么化呢？有没有什么要求和条件？是不是所有的矩阵都可以对角化呢？当这些问题都解决了，又可进一步提示学生，矩阵的对角化除了可用于高次幂计算，还有什么作用呢？为下一步化二次型为标准形的引入埋下伏笔。还有逆矩阵，线性相关性等等问题都是可以如此展开，它们相互联系，既是每次课的整体，又是整个线性代数课程中研究解线性方程组的一个方面。
2.2 .2注重问题牵引
“整体”能做到提纲挈领，便于记忆，而对知识的深入理解则是通过一个接一个问题的提出、分析、解决、延伸得到强化。比如，对于二元、三元线性方程（组），可以通手工计算得到结果，但是对于多个未知数的方程组，像1000个未知数，10000个未知数，甚至未知数更多的情况，手工计算显然是不可行的，怎么办？为此，由二元一次方程组的解引入行列式的概念，进而讨论cramer法则，解决了部分线性方程组的求解问题，继续讨论就会发现它存在着一个重大缺陷：它只能解决方程个数与未知数个数相等，且系数行列式不等于零的这一类方程组。在现实应用中更多的是不满足这些条件的方程组，该如何求解呢？于是，又引入矩阵，利用逆矩阵，可以求一些方程组的解，我们很快又会发现，这种方法必须在系数矩阵可逆时才能实施，从解线性方程组的角度来讲，并没有突破cramer法则，如何解一般的线性方程组呢？我们发现了增广矩阵与线性方程组的一一对应关系，并看到对线性方程组进行同解变形就相当于对它的增广矩阵进行初等行变换，由此，可以得到线性方程组的解。进一步分析，就可得到线性方程组的解与系数矩阵、增广矩阵的秩之间的关系，进而清楚线性方程组解的结构，以及将它应用于化一般矩阵为对角阵等等。以这样一系列问题为牵引就可将整个线性代数的教学内容完全展开。同时，在这一过程中我们也注重向学生进行人文精神的渗透：由消元法开始最后又回到消元法的整个研究过程并不是简单的回归原点，而是产生了质的飞跃，这就是“一切事物的发展是螺旋式上升，波浪式前进”的基本观点。
另外，根据BIG网站信息，印度尼西亚早在2013年之前，就意识到了多规合一的重要性，执行了“一张图”政策，计划到2019年底全面实现“一张图”的标准化目标。该政策从基础图、林业用图、空间规划图等方面对1∶50 000地图首先进行多规合一，以服务于土地出让和基础设施建设等方面的工作，这一工作比我国大部分省区开展得都早。在印度尼西亚，这项工作的直接负责人是印度尼西亚总统和副总统，相关部委的部长、各省的省长、相关市的市长等直接领导人参与，这一点也是我国在开展这类工作时值得借鉴和学习的。
根据学生特点结合教学要求，在课程的导入中做到三个贴近，即贴近军事、贴近前沿、贴近生活。如对于为什么要开设线性代数，这一学生最爱问而部分老师避之不及的问题，在开课之初，我们就从保家卫国的角度分析了我国目前建设“北斗”一、二、三代卫星导航系统的重大价值和作用，从距离公式到线性方程，从导航定位到线性方程组的求解，建立起紧密联系，使学生充分认识到卫星导航定位原理并不神秘；日常生活中，私密的保护已经成为了每个人都绕不开的问题，而与其相关密码学中明文密文的转换就用到了线性代数中的矩阵知识；现代人几乎天天都要与网络打交道，但搜索引擎几乎人人在用，但又有谁关注它的开发其实依赖于许许多多的各类矩阵。以这些最能调动学生积极性，他们愿意关心，经常关注、最感兴趣的也比较前沿的有现实意义的问题，讲解线性代数在这些实际问题的解决过程中所起到的不可忽视的作用，引起学生的探索兴趣也让线性代数深入学生心中。
2.2 .3强化数学工具的使用
如果继续以传统的方法来进行线性代数课程教学中，只会让学生感觉到数学理论的抽象、计算的繁琐，而与线性代数理论体系渐行渐远，让学生失去断续学习这门课程的兴趣。从加强数学和计算机科学渗透方面考虑，我们在现有教学模式将计算机作、多媒体作为教学辅助工具，不时使用Matlab，mathmatic等数学软件协助解决各种线性代数问题，将数学基础学习和实际计算应用共同融入计算实践当中，将数学思想方法的理论价值和数学知识的应用价值通过解决实际问题自然而然地融合在一起。线性代数的理论通过“整体化问题牵引”模式让学生掌握，再通过计算机实验来验证，同时，我们自编的辅导用书《matlab在工程数学中应用》汇集了大量的应用问题，通过练习或大作业的完成，强化了学生对线性代数工程背景的深入理解。现代数学工具的使用既兼顾了线性代数的数学学科体系特征又满足了学生希望近距离接触实际应用的需求，彰显了“学为用”的明确教学目标，通过应用调动了学生学习兴趣，通过思考提升了课程内涵。
3 分析与思考
“整体化问题牵引”教学模式是从线性代数课程教学的最终目标出发，结合青年学生的认知特征，心理特征，进行地有益探索，希望能为学生学习注入新的活力。在这一过程中，通过灵活有效地创设教学问题情境，激发了学生积极参与教学活动的热情，无形之中缩短了课程内容和学生实际经验的差距。在教学实践过程中，以核心问题为牵引，从整体上把握线性代数课程的基本内容，以分析问题、解决问题为目标，对线性代数课程进行再构建，将课程内容围绕“解线性方程组”这一主题展开，通过一个又一个引发学生思考的问题将主要内容有机地联系起来，形成具有层次性、网络化的课程，加强了教学内容的系统性；从最贴近生活，最贴近前沿，最贴近军事的学生感兴趣的问题出发，体现线性代数的应用价值，引发学生的学习热情，调动学生的探索积极性，让学生能轻松愉快的融入学习；通过对应用问题的实验，把理论知识、基本计算和上机实验有机融合，以小研究、新发现带动教学实践，弥补传统教学存在的不足，强化学生对科研创新认识，提升学生的综合素质。
当然，在“整体化问题牵引”教学模式实施过程中，教师设计的每个小问题的质量直接影响着教学效果。如何设计问题，把握问题的可接受性和针对性值得进一步研究；如何在线性代数的教学中进一步体现认识论、科学自然辩证法等人文精神，也需要作深入研究。另外，从现实教学看，只有通过不断地分析问题、解决问题并进行深入反思，才能实现深刻、牢固掌握知识，但如何在认知的基础上引导学生对知识进行深层次思考，还需要教师历练出足够的教学智慧。
参考文献
[1] 高隆昌.数学及其认识（第1版）[M].北京:高等教育出版社,海德堡:普林格出版社,2001.
[2] 马建荣,刘三阳,高淑萍等.用Matlab增强线性代数教学效果的实践与探索.大学数学课程报告论坛文集,2008.
[3] 李国重,顾勇为,归庆明,杜院录.Matlab《工程数学》教学腾飞的翅膀[J].教学与研究,2016.4:76-79.
[4] 陈建华.基于问题解决的线性代数教学设计与实践— —从求斐波那契数列的通项公式谈起[J].山东师范大学学报:自然科学版,2008(4):62-64.
Practice and Reflection on the Teaching Model of"Holistic Problem Traction"in Linear Algebra Teaching
MA Chaozhong[1],DENG Xiyun[2]
([1]Information Engineering University,Zhengzhou,Henan 450001;[2]Zhengzhou No.43 Middle School,Zhengzhou,Henan 450003)
Abstract Starting from the students'cognitive characteristics and combining the inherent characteristics of the course of linear algebra,the paper makes a beneficial exploration on the teaching mode,teaching idea and teaching method of the course of linear algebra.This paper puts forward the teaching mode of"the holistic way of problem traction",which not only pays attention to the improvement of students'overall cognitive ability and macroscopic grasp ability,but also takes the problem as the traction,leads the students to fully grasp and analyze the problems,and solve the problems,and the ability to extend knowledge,and in the teaching process of practice and promotion.
Keywords the holistic way of problem traction;teaching model;cognitive characteristics;linear algebra
中图分类号： G424
文献标识码： A
DOI: 10.16400/j.cnki.kjdkx.2019.03.061
项目基金： “信息工程大学教育教学项目《高等/线性代数》”