一阶逻辑的内涵语义，本文主要内容关键词为：语义论文,内涵论文,逻辑论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：B81;O141 文献标识码：A 文章编号：1672-7835(2006)06-0027-05
现代逻辑为“外延主义”的观点所统摄。作为一种最基本的现代逻辑理论，一阶逻辑常常被看作是外延主义的一面旗帜，被认为是只言说个体对象的符号演算。然而，对于一阶逻辑，可构造出这样的内涵语义，其中不出现任何个体实体。这表明，通过不同的解释途径，一阶逻辑可触及完全不同的实在世界。
在具体讨论之前，先作一点说明。人们一般把性质词（或一元谓词）和关系词（或n元谓词，n≥2）笼统地称为“谓词”。在这里，我们严格区分这两类语词，以“谓词”专指性质词，而以“关系词”指人们常说的n元谓词(n≥2)。相应地，在一阶语言中，我们也类似地区分谓词符号和关系符号。
一 一阶逻辑语义：外延性对内涵性
一阶语言是自然语言（尤其是数学语言）的一种形式化体系。基于对自然语言中命题的理解，人们相应于命题的逻辑成分引入联结词符号、量词符号和个体变元，相应于命题的非逻辑成分引入个体常元、谓词符号和关系符号等等。这构成了一阶语言的基本语汇，在此基础上，还可规定由这些符号形成的表达式——项和公式。对所有这些语汇和表达式进行解释，就建立了一阶逻辑的形式语义。一阶逻辑的语义具有以下三个基本特征：
（Ⅰ）取定某个非空的论域。
（Ⅱ）论域中元素都作为个体变元和个体常元的解释。也就是说，论域实际上是个体的集合，因此又被称为“个体域”。
（Ⅲ）论域中若干个体构成的集合作为谓词符号的解释，而论域中若干个体的有序组构成的集合作为关系符号的解释。
根据一阶逻辑语义的这三个特征，人们一般认为这一语义是外延性的。首先，由于论域是个体域，所以在一阶逻辑的语义理论中，个体是唯一被承诺了存在性的实体。进而，第二个特征说明个体是通过提及个体变元和个体常元而被谈论。最后，由于第三个特征，在提及谓词符号或关系符号时，人们所指并不是某个特定的实体，而是由个体对象 （或其有序组）构成的某个集合。打个比方，这类似于人们在自然语言中提及“红的”时，所言说的并非红性实体，而是所有红的东西。因此，通过这样的语义解释，在一阶语言中，人们不谈论属性实体或关系实体，而是谈论具有属性或关系的个体，即属性或关系的“外延”。在这个意义上，一阶逻辑的语义被看作是外延语义。
相对于外延语义，我们也可以为一阶逻辑制定内涵语义。基本构想如下：
（Ⅰ’）取定某个论域（可以为空）。
（Ⅱ’）论域中元素都作为谓词符号的解释。也就是说，论域实际上是属性的集合，因此又被称为“属性域”。
（Ⅲ’）论域中若干属性构成的集合作为个体变元和个体常元的解释，而这些属性集的有序组构成的集合作为关系符号的解释。
这样的语义被称作是“内涵的”，原因有二：第一，这一语义框架不含任何个体对象，而只以属性实体这样的抽象实体作为唯一的承诺对象；第二，非逻辑成分以及个体变元都被解释为它们的“内涵”，具体而言，谓词符号被直接解释为属性实体，个体常元符号和个体变元符号被解释为属性的集合，而关系符号则被解释为属性集有序组的集合。当然，在内涵语义中，由于个体变元符号解释有所变化，量词符号的解释也发生了相应的改变。但要注意，联结词符号的解释则因只与公式的真值相关而与外延语义中的解释完全相同。
为了说明上述思想，让我们首先进入到自然语言的语义层次，分析一下在只承诺属性实体并以之作为谓词解释的条件下如何实现专名和关系词以及量词的解释。为解释专名和关系词，我们需要对那些只含专名、谓词或关系词的语句进行逻辑分析。以语句(1)“亚里士多德是哲学家”和(2)“亚里士多德生于斯塔吉拉”为例来说明我们的分析。
人们一般把语句(1)分析为“亚里士多德”和“…是哲学家”两个部分，把语句(2)分析为“亚里士多德”和“斯塔吉拉”以及“…生于…”三个部分。这一分析恰好适应了外延语义的需要。事实上，由于上述分析，个体词“亚里士多德”（用A表示）和“斯塔吉拉”（用S表示）很自然地被解释为亚里士多德和斯塔吉拉。“…是哲学家”（用P表示）则因带有一个空位可解释为这样的函数P(x)：当x是某个哲学家的个体时，P(x)取值为真，否则，P(x)取值为假。而“…生于…”（用B表示）被解释为这样的函数B(x,y)：当个体x生于y时，B(x,y)取值为真，否则，B(x,y)取值为假[1]63,73。当然，“…是哲学家”可等价地解释为那些使得P(x)为真的x构成的类，而“…生于…”也可等价地解释为那些使得B(x,y)为真的x和y的有序组构成的类。这与外延语义中对谓词符号和关系符号的解释同出一辙。
相对上面的分析，我们把语句(1)分析为“是哲学家”和“亚里士多德…”两个部分，把语句(2)分析为“亚里士多德…”和“…斯塔吉拉”以及“…生于…”三个部分。注意，谓词“是哲学家”不含空位，是因为它已被直接解释为属性实体——哲学家性。专名“亚里士多德”现在带一个空位，是因为它的解释必须借助于它后面所接谓词的解释。由于在其空位补充上谓词，我们总能得到一个语句，因此可以视“亚里士多德…”为这样一个函数A(x)：当x是亚里士多德所具有的属性时，A(x)取值为真，否则，A(x)取值为假。等价地，“亚里士多德…”可解释为这样一个类，其中含且仅含亚里士多德所具有的那些属性，即“亚里士多德”的内涵。类似可解释专名“…斯塔吉拉”为某个函数S(x)或某个类。我们以后就把个体词的这种解释称作“内涵个体”以区分熟知的（外延）个体。
对关系词“…生于…”，我们首先注意它仍带有两个空位，填补这两个空位者则是带有一个空位的个体词，这个关系词与其两侧的个体词就像拼图中相互契合的图片共同构成一个完整的语句。因此，可以把“…生于…”看作是这样一个函数B(x,y)：当内涵个体x生于（内涵个体）y时，B(x,y)取值为真，否则，B(x,y)取值为假。当然，“…生于…”也可等价地解释为内涵个体x和y构成的有序对，并使得x生于y。这里顺便指出，我们之所以一开始就对谓词和关系词进行了区分，原因正在于二者的解释完全不同：前者是属性，而后者则是关于属性的二阶函数，比前者高了两个层次。
以上还只涉及谓词、专名和关系词的解释，我们下面说明一下量词的解释。首先由于个体常元已被解释为内涵个体，所以个体变元所能指派的对象也只有内涵个体。这样，含有量词的语句比如“任何人都是会死的”就被解释为“任何内涵个体，如果人性在其中，那么会死性也在其中”。又如，语句“有人爱所有人”可解释为“存在内涵个体x，人性在x中并且对任何内涵个体y，如果人性在y中，那么x就爱y。”从这两个例子可以看出量词的内涵解释本质上与其外延解释是相同的，不同的地方在于对个体的看法改变了。
二 一阶逻辑的内涵语义
上面对一阶语言的内涵语义进行了直观说明，我们现在严格地建立起这一语义。以汉密尔顿的形式系统“
”作为所要处理的一阶逻辑系统。形式系统建立在一阶语言
上。为简便起见，让我们假定中不含函数符号。已规定的初始符号、项和公式（其中不含自由变元的公式称为句子）等表达式，并制定中公理模式和推演规则，此不赘述。再次强调，汉密尔顿的一阶语言中的“一元谓词字母”相当于本文的“谓词符号”，而“二元或二元以上的谓词字母”相当于本文的“关系符号”。用“├A”表示公式A在中可证，用“Γ├A”表示公式A是公式集Γ的语法后承，用“0”表示假，用“1”表示真，用“Ω”表示真值集｛0,1｝。
1.定义 称有序组N=＜F，
＞是的亚模型，若它满足下列条件：
接下来简要地证明上述内涵语义对于一阶逻辑系统是恰当的，即证明A是公式集Γ的语法后承，当且仅当A是Γ的语义后承。在中，如通常那样规定和谐的公式集、极大和谐的公式集。对个体常元集C，规定C是Γ在中的一组证据，若对的任意公式A，都有c∈C满足
(x/c)。利用极大和谐集等可规定下面的典范亚模型。
6.定理（一致性与完备性）设A是的公式，则有Γ┝A，当且仅当Γ┝A。
上面的引理中的典范亚模型是模仿一阶逻辑外延语义中的典范模型构造出来的，引理的证明类似于外延语义中对应的定理。一致性可模仿外延语义中的一致性进行验证，再利用这些引理，模仿一阶逻辑的亨金方法可证得完全性，具体证明都略去。由此可见，一阶逻辑的内涵语义一致且完备地刻画了一阶逻辑系统。所以，一阶逻辑的内涵语义和外延语义殊途同归，都达到了恰当地刻画一阶逻辑系统的目的。
三 一阶逻辑系统：外延观对内涵观
逻辑语义的给出在于赋予形式语言的表达式以解释，从而达到刻画逻辑形式系统的目的。在一定的语义下，形式系统自然就表现出特定的语义特征。前面证明，除了熟知的外延语义，还有内涵语义也能一致且完备地刻画一阶逻辑系统。我们现在来考察一下，在这两种语义下，一阶逻辑系统表现出何种不同的语义特征。
按照外延语义的解释，一阶逻辑明显具有下面两个特征：第一，谓词符号不表示属性实体，而表示某些个体对象构成的类；第二，个体常元一定表示某个个体对象。第一个方面论及的在一阶逻辑中只有个体实体而没有属性实体被谈论，一阶逻辑系统因此被人们看作是具有唯名论倾向的逻辑系统。第二方面实际上是要求在一阶逻辑中没有指称对象的个体常元必须被杜绝，这也就是弗雷格等人所主张的“逻辑完善”之要求④。
在内涵语义下，一阶逻辑系统不再具备上述两个方面的特征。首先，谓词符号所表示者恰恰就是属性实体，而个体常元非但不表示个体对象，而且还表示属性实体这些抽象实体构成的类。这就使得一阶逻辑不但不具有唯名论的倾向，相反还明显地支持了彻底的实在论——柏拉图主义——的主张：相对于个体实体而言，属性实体是更基本的实体。
另外，由于个体常元被解释为属性实体构成的类——内涵个体，所以个体常元不一定指称某个个体对象。比如，在由“偶数性”、“奇数性”、“素数性”和“合数性”构成的论域下，对于某个体常元，当把它解释为由“偶数性”和“素数性”构成的类时，它有一个确定的指称对象，即数2。但是，当把它解释为由“偶数性”和“合数性”构成的类时，它就没有确定的指称对象。而在把它解释为由“偶数性”和“奇数性”构成的类时，它根本没有任何指称对象。这就表明在内涵语义下，一阶逻辑并不拒斥那些无指称或有模糊指称的个体常元。
可见，按照内涵语义的解释，一阶逻辑中的谓词符号都表示属性实体，而个体常元则表示某些属性实体的类，并不一定对应于某个个体对象。因此，在内涵语义的解释下，一阶逻辑并没有唯名论的倾向，也不满足“逻辑完善”的要求。
相对于外延语义，内涵语义赋予了一阶逻辑不同的特征。这种差异影响到自然语言中的语句的形式结构。例如，与“Bucephalus”不同，“Pegasus”没有明确的指称对象（或者说，Pegasus是非存在的）⑤，这样，按照一阶逻辑的外延语义，“Pegasus”不能被看作是个体常元，而只能被看作是类似于谓词的东西（比如“being Pegasus”、“Pegasizes”等等）[2]7。相应地，人们一般认为，不同于语句“Bucephalus是马”具有形式结构“H(c)”，“Pegasus是马”的形式结构“H(c)”应为“
”。
但是，按照一阶逻辑的内涵语义，个体常元不必指称个体对象，所以，不论是有指称对象的专名，还是无指称对象的专名，在一阶语言中都有相应的个体常元与之对应。例如，不论是有指称的“Bucephalus”，还是无所指的“Pegasus”，都可对应于某个个体常元。这样，“Bucephalus是马”和“Pegasus是马”都可理解为具有形式结构“H(c)”的语句。在这个意义上，同是一阶语言，比之于外延语义的解释，内涵语义的解释更接近于自然语言的实际。
还应注意，在外延语义下，论域（个体域）必须是非空的，否则无法保证一阶逻辑系统的定理
等的恒真性。但是，在虚构的题材上，由于这些题材所涉及的个体的域恰恰就是空的，所以诸如此类的一阶逻辑定理不再是恒真的了。因此，一阶逻辑实际上根本不适用于那些虚构的题材。在这一点上，一阶逻辑对各种题材并不是中立的。与此不同，在内涵语义下，即使论域 （属性域）为空，也至少存在这样一个内涵个体——不含任何属性的“空个体”，从而确保了一阶逻辑定理在任何时候都是恒真的。因此，从内涵语义的观点看，一阶逻辑不但是关于实在题材的逻辑，而且在同样的意义上也是关于虚构题材的逻辑。一句话，作为表达自然语言中各种推理形式的系统，一阶逻辑对所有题材都保持中立。
归结起来，对照外延语义，内涵语义可看作是一阶逻辑通往实在的一个新途径。通过外延语义，一阶逻辑所触及的实在是个体对象构成的世界。而通过内涵语义，一阶逻辑相关于这样一个实在世界，其中都是没有个体对象，而只有属性实体这样的抽象实体。这两种解释途径赋予了一阶逻辑系统不同的特征。总体上看，内涵语义的解释使一阶逻辑更接近于自然语言的语义实际，而且还真正保持了逻辑的本色——即对各种题材保持了中立性。
收稿日期：2006-05-13
注释：
④弗雷格第一个明确地提出这一观点，见王路（译），《弗雷格哲学论著选辑》（北京：商务印书馆，1994年版），第104页。罗素等人也持类似的见解，见罗素，晏成书译，《数理哲学导论》（北京：商务印书馆，1982年版），第159页。
⑤Bucephalus是亚历山大大帝的战马，Pegasus是古希腊神话中缪斯的坐骑，是美杜莎死后从其尸体跃出的一匹生有两翼的飞马。