从一个案例管窥数学对话教学——二项式定理起始课教学案例分析，本文主要内容关键词为：定理论文,案例分析论文,课教学论文,案例论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
对话教学是我国新课程改革背景下出现的一种新的教学形态，是相对于独白式讲授而言的，是对传统教学的改良；对话教学既是民主与对话时代在教学领域的必然反映，又体现了教学本质的理性回归.巴西著名学者弗莱雷曾说过：“没有了对话，就没有了交流；没有了交流，也就没有真正的教育.”德国教育家克林伯格指出：“在所有的教学中，进行着最广义的‘对话’……不管哪种教学方式占支配地位，这种相互作用的对话是优秀教学的本质性的标志.”
下面通过人教A版课标教材选修2-3二项式定理起始课的对话教学案例，谈谈对数学对话教学的认识与体会.
一、提出问题，启动对话
师：很好，要注意是正整数.
【教学体会】学生在学习二项式定理之前，已经有的认知结构中与之相关的是完全平方公式与完全立方公式，这是二项式定理的生长点.从对话教学角度来看，教师通过发问“请同学们说出这个一般性问题”，激发了学生的元认知活动，得出要研究的课题.这就抛弃了教师独白与专制，凸显了学生的主体地位，启动了对话机制.
二、对话交流，解决问题
师：如何解决这个问题？请你们谈谈自己的想法.
：先猜后证.先根据n=2，3，4时的展开式，观察它们的规律，猜测出
的展开式，再进行证明.
师：你们的想法很好，由特殊到一般，由具体到抽象，是我们研究问题的一种常规方法.那么请你们按照这个方法试一试.
（通过问题，引发师生之间的对话）.
（学生动手操作，进行自我对话.）
师：你们猜测出展开式了吗？
生1：（有点沮丧）还没有，但我猜测展开式的每一项都是n次的，有n+1项，系数具有对称性（其他学生插话补充）.但系数究竟是什么，还不清楚.
师：很好！虽然你们还没有完全解决这个问题，但已经有了很大收获.为了避免字母的干扰，你们把n=2，3，4时展开式的系数抽出来，排成三列，你看能发现什么规律？
：（少顷）两端都是1，中间的系数是上方两个数的和.
师：很好！你们无意中穿越时空，得到了一千多年前我国古代数学家同样的一个发现.请看屏幕：（投影给出）
（介绍“杨辉三角”，略）.
但有点遗憾，尽管对于任意的自然数n，我们通过杨辉三角都可以写出展开式，但还没有找到它统一的表达式.直到1664年冬，一名伟大的物理学家，也是伟大的数学家牛顿，才利用排列组合原理，彻底解决了这个问题.牛顿是怎么解决这个问题的呢？
（在学生自我对话的基础上，师生之间对话；教师讲授，抛出新的问题，引发新的对话.）
（学生茫然.）
师：著名数学家华罗庚指出：“善于‘退’，足够的‘退’，‘退’到最原始而不失重要的地方，是学好数学的一个诀窍.”这是我们解证和探究数学问题的一种重要指导思想.有时候为了认清数学问题的本质，我们需要退回到数学问题的起点，寻找数学问题之间的联系.
当同学们试图从n=2，3，4时的展开式的结论出发，归纳猜想一般性结论，这已经运用了以退为进的思想了，但没有成功.是否还有别的“退”的途径？
（学生茫然.）
师：很好！多项式乘方的本原是多项式自乘，其展开式是利用多项式乘法运算法则得到的，这样我们就从另一个途径“退”到最原始的地方了.
师：我们来分析n=3时的情形.
投影给出：
师：你能根据①和②式发现每一项系数的形成规律吗？比如，怎样相乘才能得到，它的系数是怎样得到的？与前面学过的什么知识有关？
（教师在必要的讲授基础上，通过海问、圈问、点问启发学生，调控学生的思维，激发学生的元认知活动；学生在教师的启发性提示语的引导下，借助文本与自我对话.）
（在学生自我对话的基础上，师生之间进行对话.）
师：请你们用组合数的形式写出n=2，3，4时的展开式.
（学生用组合数的形式写出n=2，3，4时的展开式.教师巡视，个别指导.通过动手操作，学生进行自我对话.）
师：（待学生完成上述任务后）通过上述探索，你们是否能得到一般情况下的展开式呢？如何得到？谈谈你的看法.
师：他这样做，对不对？
（大多数学生点头表示认可，还有一些学生不能确定.）
师：我也同意可以直接证明的观点，因为根据前面对特殊情况的分析，把问题一般性的生成规律已经显示出来了.当然生1也是正确的，“特殊—猜想—证明”是处理关于自然数命题的常规方法，这种方法的优点是，证明的目标更明确，但不是唯一的方法.所以我们不能陷入“关于自然数的命题一定要经历‘特殊一猜想一证明’”的误区.
（在学生自我对话的基础上，师生、生生之间开展对话）.
师：你能找到展开式的通项吗？展开式共有多少项？请说明理由.
（在学生自我对话的基础上，开展师生、生生之间对话）.
师：很好！请同学们翻开课本第30页，阅读证明过程，提炼证明思路.
师：投影给出英国诗人艾略特（T.S.Eliot）的诗：“我们不应放弃探索/在所有探索的尽头/我们会回到起点/重新认识这个地方.”
【教学体会】本设计力图体现“过程”和其中蕴含的数学思想方法：由特殊到一般、由具体到抽象、以退求进、类比联想等，并注意挖掘数学的人文意境，使学生获得精神上愉悦的同时，加深对数学的理解.当学生试图先求出n=2，3，4时的展开式，观察它们的规律，推测一般展开式的规律，思路受阻后，教师启发引导学生转换思维角度、重新审视问题，把观察结论的规律转变为探寻问题的形成过程规律.这个过程也就是思维调节与监控的过程，学生的思维如果不监控，就会出错或陷入困境.对话的目的就在于监控和改变学生在集体中思维的进程和思维的方式.
要得到的展开式，学生自然会想到先猜后证：观察特殊情形的展开式结构与系数特征，归纳猜想展开式，再加以证明.很自然得到的是杨辉三角，而不是牛顿二项式定理.在教学中，我们能否置学生自然的想法于不顾，强行把学生的思维纳入自己预先设置的轨道呢？这是一种教师“主套”的强权，与对话教学“让学生自由表达自己的想法”的追求与原则是相违背的；从教学效率的角度来看，表面上提高了效率，但实际情况是，学生一听就会，自己动手却不会，究其根本原因是，教师的讲授漠视了“自然”，不自然的，是很难记住的，更是难以迁移的.