函数“四性问题”备考与探究，本文主要内容关键词为：函数论文,性问题论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
引子 先从一个高考题谈起
已知函数f(x)的定义域为R，若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，则()
A.f(x)是偶函数B.f(x)是奇函数
C.f(x)=f(x+2)D.f(x+3)是奇函数
（2009年全国数学高考试题）
这是一道常规题，涉及函数的奇偶性、对称性、周期性，若了解一些最基本的函数“四性”的结论，则此题不难获解。但教学反馈表明，学生普遍不得要领。大多数学生从条件仅能推得y=f(x)的图像既关于点(-1,0)对称，又关于点(1,0)对称，再往下便一筹莫展。鉴于函数在高考中的重要地位，以及函数“四性”考题得分普遍欠佳的实际情况，笔者寻思有必要在备考中提高函数性质复习的深度，增强对函数“四性”相互联系的认识。本文就函数“四性”的备考与探究略作剖析，以期抛砖引玉。
一、考查要求与命题走势分析
对函数“四性”，考纲要求多在理解这一层面：理解函数的奇偶性、单调性。对于周期性，则更着重于理解三角函数的周期问题；对于对称性，除掌握奇、偶函数图像的对称性外，对一般的轴对称、中心对称问题也都有所涉及，尤其对于f(a+x)=f(a-x)等对称问题，屡屡考查。从高考走势看，函数“四性”重点考查单调性，近几年尤其是利用导数研究单调问题似成考查趋势，并且多为解答题。而对于函数“四性”的交叉联系这几年更多见于客观小题，并且题目灵活、富有内涵。
二、函数的奇偶性、周期性、单调性、对称性探究
对于函数“四性”问题，通常可从相应的定义入手，解题关键是要熟悉和掌握一些基本性质，并灵活处理“四性”的相互关系与综合应用。
1.抓住3条主线，理清奇偶性试题高考脉络
奇偶性是函数中最基础的性质，分析近几年的高考试题发现，通常奇偶函数的定义、性质、与单调性结合问题是高考奇偶性问题的主考方面。
(1)抓住奇偶定义
定义应用基本可以分2个层面：一是直接用定义，再结合f(-x)+f(x)=0及f(x)-f(-x)=0这一变式；二是构造函数，利用奇偶性解决求值、求参数范围等问题。
值得注意的是，很多时候当f(x)在x=0有定义时，由f(0)=0求参数的值，往往显得简捷。
(2)抓住奇偶性质
对奇偶函数的性质，直观的有：奇函数图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。除此以外，若能利用一些延伸性质，如：f(x)为偶函数且f(x)在(0,+∞)上为增函数，则f(x)在(-∞,0)上为单调减函数；奇+奇=奇，偶+偶=偶；若f(x)为奇函数，在(0,+∞)上有最大值M，则f(x)在(-∞,0)上有最小值-M；等等。若能灵活应用，则解题时往往事半功倍。
注 奇偶函数的性质应用是灵活的。很多时候需要对所给函数进行变形，才能发现其中的奥妙。
(3)抓住奇偶性与单调性的关系
历年的高考题多将奇偶性与单调性综合在一起考查，此时若能灵活应用奇偶性的若干结论与性质，会大大地简化解题。
例3 已知定义在[-2,2]上的偶函数f(x)，当x≥0时，f(x)单调递减，若f(1-m)＜f(m)，求实数m的取值范围。
分析 一般而言，需对1-m与m所在区间进行讨论，相当繁琐。若考虑到
注 这类考题利用奇偶性实现转化，避免了分类讨论，在高考中多有应用。此外，应注意定义域[-2,2]的限制，这是许多考生的失分点，应给予关注。
2.理解周期实质，掌握基本方法
函数的周期性问题具有一定的灵活性，要求熟悉定义，善于配凑变换，同时还需适度了解几个重要的周期模型。在高考中，周期问题的重点还是三角函数周期的判定与运用。
(1)紧扣定义，“凑”出周期
若f(x+T)=f(x)（常数T≠0）对定义域中任一x均成立，则f(x)为周期函数，周期为T。特别地，当x∈R，k∈Z时，kT也为f(x)的周期。一般地，利用周期定义解题，多数时候需灵活配凑与替换。
例4 已知定义在R上的函数f(x)，满足f(x)·[f(x+2)+1]=f(x+2)-1，求证：f(x)是周期函数。
分析 题目中周期T不明，可以变形探究。
将原式变形得
注 此题由题设启发先将x替换成x+2，再将x替换成x+4，善于从结构中寻求替换是周期问题的力招。
(2)紧扣三角，把握重点
周期问题的主角还是三角函数，尤其是转化为求y=Asin（ωx+ψ）和y=Atan（ωx+ψ）的周期，其中降次扩角、合一变换是最主要的变换手段。
例5 求下列函数的周期：
则f(x)是周期函数，且周期分别是|a-b|,2|a|，2|a|,2|a-b|。再如f(x)的图像若关于点(a,0)、点(b,0)成中心对称，则周期为2|b-a|，等等。只有掌握基本模型，才能了解定式，从而定中求变。
例6 设f(x)在区间(-∞,+∞)上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)，且在闭区间[0,7]上只有f(1)=f(3)=0，试求方程f(x)=0在[-2005,2005]上根的个数，并证明你的结论。
分析 由题意知，f(x)满足周期函数的模式，其周期为10，这给题解提供了方向。
解 f(10+x)=f[2+(8+x)]=
f[2-(8+x)]=f(-6-x)=
f[7-(13+x)]=
f[7+(13+x)]=f(20+x),
所以f(x)的周期为10。由f(x)的图像关于直线x=7对称可知，f(x)=0在(0,10)上有2个根，因此f(x)在(0,2005]上有201×2=402个根；在[-2005,0]上有200×2=400个根，故f(x)=0在[-2005,2005]上共有802个根。
3.灵活处理单调，突破考查重点
就函数性质在高考中地位的重要性而言，莫过于函数的单调性。由于函数的单调性可与导数、不等式、数列、三角、参数范围等内容广泛结合，因此常作为高考中档题和高档题着力考查的热点与重点。从单调性解题的基本方法而言，利用定义、复合函数的单调性、图形与导数是当前高考的几个主要方面。
(1)定义是根本
(3)图像是辅助
下面的例9可以充分说明图像在单调性中的辅助作用。
例9 已知f(x)=a|x-b|+2在[0,+∞]上单调递增，求a、b的取值范围。
图1
分析 掌握函数的图形，尤其是一些基本图形是必要的，题中的b决定转折点，a决定倾斜方向，欲合题意，只能具备如图1的条件：如此易得a＞0，b≤0。
4.把握点轴对称，拓展对称内涵
高考对称性考查多注重点对称、轴对称考查，奇函数图像关于原点成中心对称，偶函数图像关于y轴成轴对称是最常见的对称结论，但这是不够的，还须对一般的点对称、轴对称、泛对称有所了解，并且熟悉一些常见的对称结论是十分必要的。
(1)点对称
若函数y=f(x)的图像关于点M(a,b)成中心对称，则f(x)满足f(x)+f(2a-x)=2b，反之亦然。利用解析几何方法极易说明。一般地，高考中更多时候会考查关于点(m,0)的对称问题，此时有f(x)+f(2m-x)=0。
(2)轴对称
图2
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