黑格尔关于量与数学的无限性思想，本文主要内容关键词为：黑格尔论文,无限性论文,思想论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：B516.35 文献标识码：A 文章编号：1001-5019(2003)03-0009-08
黑格尔从量与质相统一的观点看待无限理论，定量的无限并不是单纯量的无穷进展， 而是对自身的质的规定性。黑格尔从数学的无限提出了真无限的理论，强调了比例(比 率)作为无限的质的规定，它不仅使有限量转化为无限量，直曲统一，而且在理论上奠 定了质量辩证统一的哲学基础。黑格尔力图把真无限引入到哲学中来，批判形而上学思 维方式，对哲学思维辩证方式的确立，作出了重大的贡献。
一
“量的无限”(Die quantitative Unendlichkeit)是黑格尔无限理论的重要组成部分 ，也是研究黑格尔无限性真理观的理论基础。
1、关于量的无限概念。黑格尔认为，定量自身变化并变成另一个定量，变成他物，又 在他物中继续自身，这个他物还是一个定量。但这个定量不仅是一个定量的他物，而且 是作为一个立了界限之物的否定者，从而没有界限，是它的无限。这种量的无限概念， 表现出定量是一个应当，它包含必须是自为的规定，更确切地说是在一个他物中被规定 。反之，它是在一个他物中扬弃了的规定，是漠不相关的自为的持续存在。
有限和无限是量自身的双重存在，二者不可分但又是对立的。定量作为有限：首先， 它是作为一般的确定了界限之物；其次，它作为对自身的超越，是一个在他物中的规定 。定量作为无限：“第一，定量最终一般是作为有限界的东西，第二，它是作为自身的 超越，作为在一个他物中的规定存在。而那种定量的无限，首先是它无限界，其次是它 回转向自身存在，为那种漠不相关的自为之有。”[1](P222)定量的这种有限和无限的 环节其规定具有相互性。超出自身而到他物，这既是有限的规定也是无限的规定。界限 的否定或超出规定性，这也是无限性的体现。无限就是对界限漠不相关的自为之有。有 限和无限在量上是每一个自身都包含另一个环节，因此量的无限的真理性是在有限和无 限对立统一中，不能离开一单独只说一个。同时，黑格尔也指出了质的有限物和无限物 两者是绝对对立的，也就是抽象对立的，两者的统一建立在内在关系的基础上。而有限 继续自身，是在自己的他物之中。而量的有限物，在自身那里与自身的关系，都是在它 的无限物那里。它在无限物那里是有绝对的规定性的，而它的这种关系首先呈现了量的 无限进展。在这里，黑格尔强调的量的无限和有限性的内在矛盾关系，规定了量的无限 进展性。
2、关于量的无限进展。量的无限进展通常是矛盾的表现。它是有限物与无限物在质的 范围内那种相互规定，但有区别，是在量的事物中界限本身超出并继续超出自身之外， 反过来量的无限物也是在自身那里具有定量而建立的。定量在它的自身之外，同时也就 是它本身，外在性是它的规定。黑格尔说无限进展是这种矛盾的表现并不是这种矛盾的 解决。无穷进展是从一个规定性连续到另一个规定性，是把这些规定性联合起来，它只 是无限物的课题并不是达到无限。这种无限性是作为有限物的彼岸被规定了的无限，黑 格尔称之有“坏的量的无限性”。这种无限进展，是建立、扬弃、再建立、再扬弃的无 限循环过程，它的否定表现只是飞越界限和扬弃界限，扬弃的界限又不断地返回到连续 之中。这种无限没有超出单纯的应当，只是停留在有限之中。
黑格尔认为这种量的无限性进展形式，即所谓的无限，常被推为某种崇高、神圣的东 西。在黑格尔看来这没有使对象伟大，而使对象逃跑了，它只是使主体吞掉这巨大的量 。这种坏无限并没有达到真理的目标。正如黑格尔举出有关康德关于崇高的描述。黑格 尔认为，康德在《实践理性批判》结语中，把崇高看作主体以思想使自身高扬于它所占 据的感性世界的地位之上，将联系扩大到无限大，扩大到星辰以外的星辰，世界以外的 世界及层层星系的无限范围中去。同时也把这种无限进到它们的周期运动、生成和延续 的无限时间中去。无论多么久远世界总还有一个更久远的世界，无论回溯多么远的过去 后面总还有一个更远的过去，无论推论多么远的将来前面总还有一个更远的将来。想象 穷于这样不可测度的遥远的前进思想也穷于这样不可测度的想象。
这里黑格尔通过康德对崇高的走到那里止到何处的描绘，说明了坏的量的无限性似乎 达到了真理，但它实际上并没有达到真理。这里，黑格尔从量的角度看到康德崇高的局 限性，是有一定道理的。实际上康德谈的崇高不仅仅局限于量，康德是从道德范畴谈崇 高的，把崇高奠定在无形的自我、我的人格上面，是在真正无限的世界(道德界)呈现的 。这个世界不能仅归结为量的测度，康德认为应当从精神方面测度，崇高作为精神、人 格的无限性，是超越一切有限物质的量的界限的。因此它表现了对一切有限界的不断超 越。在超越中消灭了动物性的自我，人的自我精神价值在无限提高了，在人格、道德法 则中使自我独立于动物性和整个感性世界。康德认为这种崇高无限的追求是一种无限的 过程，它要冲破一个又一个有限障碍。因此它不是以感性来把握量的无限，而是为知性 把握的质的精神无限性问题。
关于无限进展的事例黑格尔也指出了费希特的知识学，认为它也对康德的原则作了抽 象的表述，无限进展同样成了基础和最终的东西。费希特的知识学基本原理，第一条为 “自我设定自我”，而与第一条各自独立的第二条为“自我设定非我”，黑格尔认为这 里自我与非我对立关系是量的区别，非我一部分由自我规定，非我在它的非有中继续， 它在它的非有中仍是未被扬弃的对立。这种无限进展矛盾发展的最后，最终仍是开始的 状态。黑格尔要求把量的无限和质的无限结合起来考察无限。
那么，为什么康德、费希特和黑格尔关于无限的问题有不同看法呢?康德和费希特把真 理建立在人的理性基础上，他们所表达的无限实际是人的理性者自身中的无限性问题。 而黑格尔讲的无限是概念本身的无限性问题，两者出发点不一样。康德与费希特把人的 先验理性作为无限性的基础，在黑格尔看来这种无限性仍是先验的、主观性的。而黑格 尔把无限性的基础移出人之外的绝对精神，这就包含了主、客观的无限性问题，实际上 黑格尔不同意康德和费希特只从先验理性出发去规定无限和有限，而应当看作是绝对概 念自有的两个环节。因此黑格尔认为康德的二律背反的解决是先验的，观念性的。这意 味着世界本身不自相矛盾，也不扬弃，只有直观中的和在直观、知性、理性的关系中的 意识才是自相矛盾的。黑格尔认为把矛盾移到理性中悬而未决。实际上康德和费希特所 讲的无限性与有限性是在另一种意义的无限性问题，有限性与无限性的矛盾是一个无限 发展过程的问题。
3、关于定量的无限。黑格尔首先论述了无限的定量。这种定量是作为无限大和无限小 ，本身存在矛盾而表现为无限进展。从大到小本身来看都是定量，但又是定量的非有或 非存在。因此黑格尔认为无限大无限小是想像的虚无缥缈的形象。
黑格尔提出关于定量的真理问题，这是关于定量的两个否定。定量作为度数是单纯的 、自身关系和自身规定。定量的他有和规定性都是由于单纯性而被扬弃，因此对于定量 来说规定性是外在的。定量有其外在规定性，而它在外在之有(正是它自己)是属一般定 量量的抽象的非有，这是坏的无限。但非有也是大小，定量在外在中仍是继续的。而外 在性本身也为定量，这样它的非有、无限也要变为有界限，于是那个彼岸被扬弃，非有 本身也被规定为定量，这定量是在它的否定中仍在它自己那里。黑格尔认为这里有两个 扬弃，一是对定量的扬弃，二是对彼岸的扬弃，这既有定量的否定，又有否定之否定。 黑格尔说定量的真理就是它们的统一，而它们是统一中的环节，这真理就是进展中矛盾 的解决。在无限进展中每一定量无论大小都要消灭，也就是定量能够被超出，彼岸、坏 无限也要消灭。黑格尔指出，无限物在无限进展中只有一个非有、一个被寻找而找不到 空洞的彼岸，但事实上它不是别的，就是外在存在，就是质。定量就是被扬弃了的质。 定量作为漠不相关的界限，超出自身，进入无限；它在那里寻找的正是自为的规定，正 是质的环节，但这个自为的规定，只是一个应当。
黑格尔在质的方面，确立了量的比例。他认为，一旦把定量建立为排斥自身的，就有 了两个定量，但这两个定量又被扬弃了，只是一个统一的环节，这统一就是定量的规 定性。定量在其外在性中和为漠不关心的界限而与自身相关，这样建立了量的比例。而 比例表明是定量外在于它自身，这外在性是表示两个定量的关系，每一定量的价值是在 与它的他物关系中表现出来，定量就是这样的统一体。当定量表现出质的规定性，它通 过它的外在性回归到自身，在这种外在性中定量就是它所以是定量的东西。在黑格尔的 思想中，在定量中有一种联合，那就是作为量的外在性和作为质的自为存在，这种联合 是在定量本身内建立的，这就是比例或比率。比例的值存在于比例关系中，定量的比例 成为黑格尔确立定量无限的内在根据。
二
关于数学的无限，黑格尔论述了“数学无限的概念规定性”(Die Begriffsbestimmtheit des mathematischen Unendlichen)。黑格尔对数学的无限非常 重视，认为数学的无限在哲学上之所以重要，就在于它是建立在真正无限的基础上，比 形而上学的无限(知性的无限)高得多。黑格尔看到在数学的无限方法中，数学对自己特 有的方法本身，却发现了根本矛盾，正是这种方法使数学成为科学。这正是在无限的计 算中，允许和要求在有限大小运算时，所必须完全抛弃的解法，对无限大小和有限定量 都同样处理，为超验的规定及其处理取得普遍的计算方式。无限的计算方式似乎不精确 ，它先以无限小量来增加有限的大小，而后的运算又对这些大小保留一部分省略一部分 ，这种算法误差可以省略不计，它的结果是完全的精确。黑格尔这里所指的是微积分中 对无穷小量的计算。黑格尔认为哲学所谈的是真理而不是较小的概然性，数学知识成为 科学主要在于证明，至于结果也是这样，因为严格数学方法不是对一切都能提供成果。
怎样规定数学无限?有这样一种规定：无限是这样一个大小，如果被规定为无限大就没 有比它更大的，如果被规定为无限小就没有比它更小的。或者说，前者它比任何大小都 更大，后者它比任何大小都更小。黑格尔不同意这个定义，其原因在于它是无限进展中 的那样矛盾。那么，黑格尔又认为大小在教学上是这么规定：大小是某种可以增加和 减少的东西，一般说来它是一个漠不相关的界限。现在无限大小是不再能增加和减少的 东西，事实上大小本身也就不再是定量本身了。这里使对定量的看法发生了变化，这使 定量被否定扬弃了，这使它成为非定量但又留有它的量的规定法。这里表现了定量的无 限的思想。
黑格尔曾引证康德宇宙论第一个二律背反正题的注释，看康德如何看待这种无限规定 的。康德发现这种规定与人们所了解的无限的整体并不一致。康德认为，根据普通概念 ，个大的如不能有更大的超过它(即超过其中所包含的一定单位的数量)，则此量为无限 的。但无一数量为最大的，因此者之上再加一或一个单位。另一方面，通过一个无限的 整体，也不会想象出它有多么大，因此它的概念不是一个最大限度或最小限度的概念， 而是通过无限的整体来设想它与一个任意采取单位的关系，从单位说无限的整体来设想 它与一个任意采取单位的关系，从单位说无限的整体比一切数都更大。无限物是依据采 用的单位大小而大小。康德认为仅从无限物与单位关系看，整体的绝对大小不会完全由 此而知道。黑格尔认为康德的观点，是不同意把无限整体看成一个最大限度，看成一定 单位的已完成的数量。这就批判了那种把无限物想像成定量的真理观。黑格尔不同意康 德的无限概念。康德认为，无限性的真实的先验概念，它表现在计算一量所需要这种单 位绝不能完成继续的综合。这里定量是给予的，单位的综合又永远继续，黑格尔认为这 是主观的先验的“无限进展”。它总会有彼岸，处于大小矛盾之中。这矛盾由对象与主 体承担，在对象那里是一个个的界限，在主体那里是不断超越。黑格尔认为这就进入坏 的无限之中了。
黑格尔认为康德的二律背反是表达有限物和无限物对立的具体形态，它包含质的有限 和无限对立。第一个二律背反所考察的是关于有限和无限对立中量和界限问题。在黑格 尔看来，正反题及其证明是代表正反两个主张，一是说有界限，而这界限只是一个扬弃 了界限；一是说界限一个彼岸，但它又与彼岸有关，必须超出界限去向彼岸，而到那里 又有一个不是界限的界限的界出现了。黑格尔认为康德的二律背反的解决只是主观性的 ，时空是主体的直观纯形式，是观念性的东西。因此康德所解决的矛盾不是世界本身的 矛盾，也就是说宇宙论的二律背反并非是世界自身的矛盾，宇宙本身并不自相矛盾， 也不扬弃自己，只是知性、理性关系中的意识产生了自身的矛盾。黑格尔认为康德对世 界的矛盾柔情太过，采取温情态度要使矛盾远离世界，而移到精神那里，移到理性中去 ，在理性中悬而未决。这表明黑格尔看到康德揭示了理性本身产生矛盾的必然性，但不 同意康德只承认理性产生矛盾，而不承认世界本身的矛盾。
关于数学无限性问题，黑格尔提出了“关于真的无限的定量”规定。其一，它自己规 定本身是无限的。在它那里包含着外在性及外在性的否定。它不再是有限的定量，而是 单纯的，只为环节。其二，无限的定量是一个在质的形式中的大小规定性，它的无限性 是一个质的规定性。从作为环节看在本质上它与它的他物相统一，是通过它的他物被规 定，也就是它只在对一个同它处于比率中的东西时，才有意义。如分数2/7，是两个数 间接规定的分数，它们构成彼此的环节，只有互相规定才有效。它们包含无限的环节， 2∶7可变为4∶14、6∶21……，但其量的规定性仍保留，而比值作为自在之有的值的规 定性也依然不变。无限性为何说是包含比率，因为比率中有两个规定，一为定量，二为 不是直接而含有质的对立的定量。它能从他有，从对立回复到自己本身，因而为无限物 。
数学的无限与形而上学的无限之分别，是无限性理论中的重大问题。真的数学无限被 称为相对的无限，是真的无限，因为它把自身中的界限扬弃了，界限的彼岸与界限融合 为一。而形而上学无限被称为绝对的无限，是坏的无限。因为无限为相对的，否定界限 对立，又出现一个界限对立……。这样界限最终没被扬弃。黑格尔对形而上学的无限和 真的无限作了理论上的分野。形而上学的无限坚持着外在的否定性，界限始终没有被扬 弃。而真的无限坚持着内在的否定性，并且这种否定是向自身的回归，自身的量与自身 的质的统一，这是一个否定的过程，无限是一种比例关系。黑格尔说：“这两者的区别 ，就最近的方面所在，就是：在无限的系列中，否定是在它的划分各项之外，某项当前 在这些项中它只是作为被当作数目的部分。与这种有限的表达方式相比之下，无限是一 种比例(Verh
ltnis)，在纷杂的比例端项否定是内在地作为规定。哪一项都是自身回 归，使与自身发生关系的统一，作为否定之否定(比例两端仅是作为因素)，于是在它自 身中就有了无限的规定。”[2](P248)这一理论是黑格尔对无限性真理观的重大贡献。 正是在这种理论的基础上，黑格尔评价了哲学史上的无限性理论问题。
黑格尔对斯宾诺莎的无限性问题提出了自己的看法。斯宾诺莎把无限物规定为任何性 质的存在绝对肯定，有限物为规定性，为否定。黑格尔认为，一种存在绝对肯定必须认 为是它的自身关系，而不是由于有一他物。有限物为否定，是与他物的关系结束，这个 他物是在它以外开始的。绝对肯定的存在并没有穷尽结束，这个他物是在它以外开始的 。绝对肯定的存在并没有穷尽无限概念的。概念包含无限，即肯定，并非直接肯定，而 是通过他物在自身中的反思而恢复的肯定，也就是否定之否定。但斯宾诺莎把实体看作 是不动的绝对统一，缺乏自己以自己为中介的统一，缺少自身的否定之否定。
黑格尔认为在变量的函数中所引起的无限不是别的，而是真的数学的质的无限。在微 积分中，dx，dy不再是定量，它们的意义仅在于比例关系，仅在于环节。它们不是无也 不是无规定的零。在比例之外它们为零，它们是比例的环节，是
微分系数的规 定。定量在这无限概念中成了质的实有，它被建立为现实的无限的，它作为一般定量被 扬弃了，但作为定量原素的量的规定性，仍旧是根本。
黑格尔看到牛顿的关于速度的“流量”(或“连续量”的(《自然哲学的数学原理》第1 卷，第11补助命题注释)，牛顿把运动与速度观念规定分开，流量不是不可分的东西， 而是正在消失可分的东西，它不是一定部分的总和和比例，而是总和和比例的极限。黑 格尔认为牛顿的流量说是属于数学的真无限，这种大小不是在比例前后，而是正在消失 的大小的比例，是大小与比例是在一个统一的连续体，大小的消失表明大小不再是定量 ，也不是部分的比例，而是比例的极限。黑格尔又认识到，在被造成真无限的过渡中， 连续的却是比例，过渡在于把比例提出使其更纯粹，使无比例的规定消失，因而比例是 连续的，在连续中保持自身。
关于无限小量的省略问题。黑格尔认为无限小量的观念本身是掩藏在增量或减量之中 的，以这种观念看，这些大小是对有限大小比较而言，是可省略掉的，就是它们的较高 系列对较低系列，或多数乘积对乘积也可省略掉。莱布尼茨强调了这种省略，是为运算 方便。沃尔夫)在其《普通数学初阶》，第1卷，《数学分析初阶》，第2部分第1章注释 )把较高级的无限差分对较低级的省略作了一个比喻，比作几何学家测量山的高度，不 考虑风吹落山峰顶上的一粒尘砂；计算月蚀对房层、楼院之高度不预考究一样，因它不 会影响测量的精确度。这表明省略的项是无足轻重的，并不影响计算的结果。这种无限 小量不会影响质的问题。
黑格尔认为无限小量的省略是有原则性的，不是主观随意的。这个原则就是不应当省 略含有质的规定性的那一项。黑格尔不同意牛顿的办法(《自然哲学的数学原理》)，2 卷，第7命题后第2补助命题)，在求微分时算术上不正确地省略无限差分的乘积或其较 高级的乘积，更发明了一种方法。从乘积的微分，便很容易推导出微商、方幂等的微分 ，他是用这样方
综合而消失，这个项的比例作质的环节而消失，是黑格尔所不同意的，因为那样就失 去了真无限的意义。
在黑格尔看来，牛顿的问题在于省略重要的高级方幂，也就是dx·dy可以表示为dx·dy = (dx)[2]，来解决问题的，而拉格朗日在其《解析函数论》第3部分第4章也指出了这个错误的真正根源。拉格朗日指出牛顿所略去的系列那一项，是含有关键的项所在之 方幂。黑格尔看出省略其余无限系列的各项，相比是极微小的，但它完全具有不同的意 义。实际上黑格尔认为拉格朗日道出了牛顿不应该省余项的理由，因为在种这余项里包 含着有质的东西。“拉格朗日余项”是与泰勒多项式相关，泰勒多项式为函数f(x)在x = 0处的几阶多项式：
然而在x = x[,0]的邻域内若用f(x)的几阶多项式代替f(x)，这两者之间必然产生误差 ，设为
这里表示该运动物在一定的时间内经过的相应的空间。整体是各部分运动的综合。运 动函数在系列中展开，其中的各项已给予了一定的意义。第一项为速度的瞬间，函数f ′t规定的速度为匀速的；第二函数f″t为成比例的加速的力，为匀加速运动；第三项 函数是关于诸力的阻力，以后项都不与任何简单的、已经运动有关，它们不需要特别考 虑，对于规定运动时间的开始起点，这些简单无限系列各项是可以省略的，因为它与运 动的质的规定是无关的。质的特性是属于比例极限的范畴，极限包含变量的质的比例规 定，变量采取的dx、dy形式，它就是的瞬间，而本身应当被看作唯一 不可分的符号。黑格尔认识到极限应当作为两个增量相互具有的比例的极限的观点，这 是正确的。
关于数学上的0/0在哲学中有真理意义吗?
这似乎是一个常识但又令人难以捉摸的问题。黑格尔认为极限本身包含着它的某物的 界限之间，也就是它表示了变量函数中所包含某一个值。因此极限的发生是由于增量互 相具有的比例的极限。如一方程式两互为函数的变量，两变量的增加被认为是不确定的 。因此没使用无限小，但寻求极限的道路也和其他方法所包含的同样前后不一贯。如y = f(x),函数应为f(x)，如y变为y + k，则为f(x) + ph + qh[2] + rh[3] + ……，所 以k = ph + qh[2]……，当k/h = p + qh + rh[2] + …，如k和h都消失，除P外第二项 也消失，于是P就是两种增量比例的极限，如h = 0，k/h却不因此而为0/0，它仍为一个 比例。P为一定值不是现实值不是现实比例，如0/0的比例。比例可无限接近它，以致其 差别可以比任何已有的差别更小。黑格尔这里提出一个非常重要的真理思想，也就是说 0/0在数学意义上是不能成立的，而在哲学意义上却是能成立的，这是说量的关系的极 限与消失，并不意谓着质的规定的消失，如果说爷爷和爸爸早已故去，但那种父子关系 依照存在，这是一种质的规定性。质的规定性并不因其量的消失而化为无，在黑格尔看 来，却相反量是消失在极限中，质的规定性却由此而成立。
黑格尔之所以强调质的比例，因为这是从有限量转化为无限量的依据。他指出：“我 们曾指出过所谓无限差分表示作为定量的比例的两端的消逝，那个其余留下来的是它量 的比例，就比例纯粹而言在于它是以质的比例规定；质的比例在这里失去的如此之微， 更确切地说它正是引起这类有限大小向无限转化。我们已经看到这正是事物的整个本性 。”[3](P272-273)比例使两端项定量消失，而比例在本质上仍是两端项的原素。黑格 尔也非常注重“无限地接近”的概念，实质上这一概念就是量的逐渐消失而质却在量的 消失中而产生。黑格尔把这一概念看作：其一，是一质的比例环节的规定性。我们想像 让一个纵座标无限地接近另一纵座标，以并有区别的纵座标便过渡一另纵座标，横座标 也是也此，这里讲的并不是两个纵座标的区别，而是纵座标对横座标原素的区别或质的 大小规定。是两个变量的质的相互比例，区别不是外在的大小，而是消融为单纯的内涵 ，是质的比例环节对另一质的比例环节的规定性。其二，黑格尔强调质的本性不是定量 对定量的区别，不是dx对x的比例规定，而是对dy的比例规定，也只有dx对dy之比才为 真正的比例。无限地接近这一概念，它并不仅仅是量的关系，它是把量的关系抛开，它 不是数量的接近或更接近，而无限近本身是对接近或邻近的否定。因dx与dy之比例是一 种质的规定性。在直线与曲线的关系上，如当圆的弧无限小与切线无限小，曲线与直线 同一。这是由于比例把弧线和切线长度(量)的原素有限大小都抽掉了，无限小的曲线过 渡到无限小的直线，当弧线与直线由长短的大小转为的内函大小时，这种规定就成了原 素，是无限的环节直线与曲线在无限中失去了量的规定性，没有量的比例，也就失去了 质的差异，直与曲的量消失了，两者的差异也消失了，直和曲达到同一。黑格尔在这里 揭示了在无限中直线与曲线相过渡的真理性。
黑格尔在数学的无限中提出了真无限的理论，区别了那种形而上学外在彼岸的恶的或 坏的无限理论。黑格尔力图把数学的真无限引入哲学，正是运用这种真无限的真理使黑 格尔在其逻辑学中奠定了质量辩证法理论的基础。在数学的无限找到了质的规定，黑格 尔看到变数进入数学，那个时代的新的微积分理论是数学的一场革命，数学真无限的真 理的产生启迪了黑格尔对形而上学的批判和辩证思维方式的确立。
收稿日期：2003-02-17