量子金融的几个问题，本文主要内容关键词为：量子论文,几个问题论文,金融论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
金融市场是一个复杂系统。对金融市场的理论研究从Bachelier[1]算起已有100多年历史了。但金融学作为一门独立的学科，其系统的理论研究是从20世纪50年代开始的。先是1952年Markowitz[2]的资产组合选择理论，到1964年Sharpe[3]的资本资产定价模型，1973年Black和Scholes[4]与Merton[5]的期权定价理论以及1976年Ross[6]的套利定价理论等，其所用的工具基本上是经典理论中的一些方法。然而，近20多年来问题有了改观，用现代数学和物理学的方法来阐述金融市场变得活跃起来。这其中的原因，我们认为，一方面是数学和物理学在其他领域的成功应用，比如在天文、化学、生物和信息[7]等学科领域的不可或缺的应用，促使一些有远见的经济学家接受和采用新的数学和物理学方法来研究金融问题[8～12]；另一方面，一些数学家和物理学家直接参与金融市场的研究，将本学科最新的研究成果和方法带到金融问题的研究中来[13～16]。这些研究成果很丰富，有一些很好的专著从各自不同的角度作了比较系统的总结[17～20]。
特别是，最近量子理论的方法从不同角度被引进到金融问题的研究中来。1998年Ilinski[21]用量子场论的方法来描述金融市场，他将金融市场描述为由投资组合构成的、“金融场”，其中的一个坐标描述组合的价值，其他的坐标描述在组合中各种资产所占的比例，而金融行为被当作在这个场中的运动。通过确定“金融场”的规范(gauge)变换——主要是资产的价格单位，他运用场论方法推导了资产价格和资金流量随时间演化的方程。当资金流的速度为无穷时其结论就退化为经典数理金融中的结论。Ilinski的工作是方法性的，并没有从根本上给出不同于当前流行的数理金融的观点。他所使用的量子方法是路径积分，与现代随机分析中的相应方法没有本质区别。他的工作之意义在于用几何的方法重新推导了一些现代数理金融理论中的结果。
不同于Ilinski的工作，Schaden[22]提出了从量子理论的角度处理金融问题的新观点。他用市场参与者持有的资产数和现金数作为基矢来构造金融市场的状态空间，市场的不确定性由态迭加原理来刻画。他用持有数的增加和减少来定义生成算子和湮灭算子，由此用量子理论的方法导出了市场演化的Schr
dinger方程。在这种描述中，他强调交易在市场中的作用，把市场的运作归结于市场参与者对资产的持有数，通过持有数的变化来描述市场的行为。这与现代金融理论通过资产的价格来描述市场的演化是很不相同的。
在文献[23]中作者提出的量子方法与他们的不同。我们仍然按照数理金融的思路用资产的价格来描述市场的演化，但用量子变量取代随机变量来表示资产的价格变化。同Schaden的观点一样，金融市场的不确定性由态迭加原理来刻画。这样做的优点是，我们可以直接建立数理金融理论中的相应结论，从而进行比较和分析，找到量子方法和经典方法的异同之处，得到有金融意义的结果。真正有金融意义的结论应该是不依赖于描述方法的，方法上的不同而得出的不同结论可以肯定不是有金融意义的结论。而且，由于量子模型在逻辑上比随机模型具有更大的普适性，量子模型有望能更好地揭示市场的金融含义。
本文从最基本的二项式市场模型出发，我们得到二项式市场的量子模型具有无穷多个风险中性态的结论。这是不同于二项式市场的随机模型的风险中性世界只有惟一一个元的。尽管如此，风险中性定价原理仍然成立。我们知道，在随机模型中风险中性定价原理成立的条件是风险中性世界只有惟一一个元，而此条件等价于所谓市场的完备性。在随机模型中完备性条件也许是受到经济学家批评最多的，因为人们认为市场的信息是不可能完整地被确定出来的，因而完备性条件在金融学中是被认为很人为性的。在量子模型中，我们去掉了完备性条件，但是我们仍然得到风险中性定价原理成立。在量子世界中，不确定性是内在的（这是由Heisenberg不确定性原理保证的），因此，金融市场的量子模型表明了市场本身的不确定性是内在的，这符合经济学家对金融市场的认识。这样，量子模型就更好地符合金融市场的属性。在本文中，作为一个理想模型，二项式市场的量子模型在理论上清楚地揭示了这一点。由此出发，我们从数学上严格地讨论了量子模型的对冲问题。最后，我们证明了单期量子市场必定是不完备的。
由于篇幅所限，量子理论的一些术语请参见文献[24～28]。需要指出的是，关于量子理论与经典世界的关系的研究一直是理论物理学关注的一个重要问题。新近，这种研究由于与信息理论产生了联系（量子信息）而备受重视。其中，研究的重点问题之一是所谓的量子非局域性与物理实在性的关系（见文献[29]及所引的文献）。虽然这个问题与我们这里的研究没有直接关系，但它至少说明了一些表面上看来非常有道理的现象其实是不可信的，尤其是对有人参与的金融市场，我们不能想当然地认为随机模型就反映了金融市场不确定性的属性。其实金融问题没有那么简单、采用量子模型也许是一个较合适的工具。我们希望本文能起到抛砖引玉的作用。
一、二项式市场
我们从二项式问题开始讨论。简单地说，具有恰好两个可能观测或者测量结果的问题称为二项式问题。比如，在经典概率论中考虑的最基本的掷硬币问题，就是一个典型的二项式问题。如果我们用1代表正面，-1代表反面，掷硬币的数学模型就是这样的：概率空间是Ω=｛1,-1｝，在Ω上有一个概率分布P，而R是一个随机变量，满足条件
这里概率空间Ω和概率分布P一起代表掷硬币时的客观条件总和。比如均匀的硬币，有弹性的、平整光滑的地面和随意地抛出硬币等等。R代表掷硬币的过程总和，理论上它可以取任何一个实数值，但在概率分布P下，除了取1和-1的概率不为零外，取其他值的概率都为零。因此，R的随机性质是由概率分布P决定的，如果客观条件改变了，R的随机性质也随之要改变。换言之，随机变量的性质是由它的概率分布决定的。
在微观世界中，还有另外一类二项式问题，比如光子的偏振、电子的自旋等，它们与掷硬币问题的属性是不一样的，不能用随机变量来描述，要用量子变量来刻画。这种不确定性是内在的。Feynman[26]用双孔试验详细地阐述了这个问题。
在金融经济学中，二项式金融市场是一个非常基本的、被广泛使用的模型。这个市场包含两个资产，一个是无风险资产
，另一个是风险资产
。通常假定
，为无风险利率。风险资产通常假定为股票，
，A是股禀的不确定波动率，它恰好取两个值，比如a和b，其中a＜b。这就是为什么被称为二项式市场的原因。A是一个金融变量，通常是用随机变量来描述的。从问题本身来看，我们并没有先验的理由说明它一定要用随机变量来描述，它其实也可以用量子变量来描述。到底哪一种描述更合适？我们要通过这个市场本身的金融性质来考察。这里我们暂且不认定它是随机变量还是量子变量，只笼统地将它看作金融变量来研究这个市场的金融性质。
在金融市场中，最基本的一个金融问题是期权的定价问题。不失一般性，我们来讨论在二项式市场中的欧式看涨期权的定价问题。假设期权的执行价格是K，这个期权的价值H是不确定的，依赖于股票的价格，等于
。记，u=1+b,d=1+a。则H取两个值
。尽管期权将来的价值是不确定的，在金融市场中我们可以用对冲的方法来确定它当前的价值C，需要做的惟一假设是对投资者而言不存在套利机会。假设股票不付红利，我们可以通过持有a股的股票多头和一个期权空头来对冲风险。因为只有两种资产（股票和股票期权），并且风险资产股票只有两个可能的结果，这种无风险对冲组合是存在的，即有
因此，无论股票价格是上升还是下降，在期权有效期内该组合的价值是一样的。
在无套利情况下，无风险资产组合的盈利必定是无风险利率r。因此，该组合的现值为
这里，不确定的金融变量有两个：股票价格S和期权价值H。期权价值的不确定性是由股票价格决定的，因此我们只需考虑股票价格的不确定性。
现在，我们要给二项式市场赋予一个数学模型。可以有两种模型：一种是通常使用的随机模型，另一种是我们要提出的量子模型。先分析随机模型，即要给股票价格建立一个随机模型。因为股票价格只取两个值，这是一个二项式问题。按照上面的分析，决定股票价格的因素的总和确定一个概率分布P，满足条件：
其中0＜p＜1。因此，按照随机模型的数学含义，这里的概率p是股票价格上涨的概率，相应地1-p是股票价格下跌的概率。所以，股票期权的期望价值是
遗憾的是，我们发现股票期权的期望价值的折现值
与前面我们用对冲方法推导出来的股票期的折现价值C是不一致的，这是因为在公式(6)中不包含股票上涨或者下跌的概率。最早对这个现象作出解释的是Sharpe[3]。他的论点是，衍生证券的价值就是它在风险中性世界的折现期望价值，而风险中性世界就是在其中风险资产的波动率的期望值等于无风险利率的世界。这在金融学中被称为风险中性定价原理。这个原理无疑是深刻的。现在的问题是，在数学上如何描述风险中性世界？如果描述市场采用的是随机模型，那么，风险中性世界自然是由概率分布组成的。而如果用的是量子模型，则风险中性世界就由量子态构成。这两种描述，即使对于二项式市场，所得出的结论其金融意义是不一样的。对随机模型二项式市场是完备的，但对量子模型它是不完备的。在随机模型中，我们知道，风险中性世界具有惟一一个元，它是如下概率分布
由于风险中性世界具有惟一一个元，这意味着该市场必是完备的，即可以得到完备的市场信息。因此，市场的不确定性是由于我们对市场认识的不足所造成的，而不是市场本身具有不确定性，市场的不确定性是人为的，不是内在的。这种观点与实际金融市场是不符的，经济学家相信金融市场的不确定性是内在的。所以，二项式市场的随机模型存在着明显的不足。我们认为，这种不足不是二项式市场本身的问题，而是人们用随机模型来描述它带来的问题。正如Shiryaev[18]指出的“考虑到在现实生活中人们不能确定股票上涨和下降的概率到底是哪一个值，我们确信用经典方法计算合理的期权价格是远不会令人满意的”。
显然，二项式市场的量子模型的风险中性世界有无穷多个元。因此，二项式市场在量子背景下是不完备的，我们不能得到市场的完备信息。虽然如此，风险中性定价原理在量子模型中仍然成立，即对任何量子风险中性态ρ，我们有
这是因为，由(12)式在任何量子风险中性态ρ下，波动率A取值a和b的概率分别是
。因此，尽管量子模型改变了随机模型的某些性质，但是它并没有改变金融市场本身的基本性质，而且反映出来的性质更符合实际金融市场的现实，即市场总是不完备的。
二、对冲的量子方案
这个价格公式与用经典二项式模型推导出的公式是一致的。
最后，我们来考虑(B,S)市场的完备性问题。完备性条件在资产定价中有着特别重要的意义。当市场完备时，我们能够由上市的证券构造满足要求的衍生证券，从而可以由上市证券的价格得到这些衍生证券的价格。反过来，如果我们知道这些衍生证券的价格，则我们又可以得出上市证券的价格。所以，在完备市场中任何金融证券的价格可以由上市证券的价格求得。
然而，在实际金融市场中，完备性条件是不会满足的。因此，对于完备性条件经济学家通常认为是没有金融意义的。下面我们要证明，不同于随机模型，完备性条件在量子模型中是不会成立的。因此，量子模型应该更符合金融市场的特征。
定理2 对
上任意单期量子金融模型(B,S)，在量子背景B()下它是不完备的。
证 因为可复制未定权益全体为
它至多是实二维的。因此，至少有两个Pauli矩阵在(B,S)中是不可复制的。所以，金融模型(B,S)在量子背景B()下是不完备的。证毕。
三、结论
在本文中，我们从二项式市场出发，通过考察它的随机模型和量子模型，发现量子模型更符合实际金融市场的特性。我们证明，虽然在随机模型中二项式市场的风险中性世界只有惟一一个元，但是它的量子风险中性世界具有无穷多个元。这说明，量子模型是不完备的，二项式市场的不确定性是内在的，不是人们对它的认识不足造成的。我们进一步讨论了对冲定价问题。最后，我们严格地证明了任何单期量子金融市场模型都是不完备的。这一点支持了经济学家对市场的看法，即市场的信息是不完备的，我们不可能获得市场的完整信息。因此，量子方法也许可以更好地揭示金融市场的属性。
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