用Neo-Freg理论解决数学真理的困境_数学论文

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数学真理困境由贝纳塞拉夫（P.Benacerraf）在《数学真理》中提出。（Benacerraf,pp.661－679）该困境表明关于数学的两种基本哲学思考必然相互冲突：一种思考强调数学解释需要一种齐一的语义学理论，另一种思考则认为数学解释需要一种合理的认识论；由于二者互不相容，选择其中一种必然以放弃另一种为代价，从而形成数学真理的困境。（刘杰，第76页）这一困境要求把柏拉图主义的本体论和经验主义的认识论结合起来解释数学真理。然而，把数学对象看成是独立于人脑而存在的客观抽象物，同时又要求为能够认识到这些对象提供直接的经验证据，这构成了数学实在论尤其是柏拉图主义既必须面对又无法克服的难题。近年来，在“语言学转向”的影响下，新弗雷格主义作为一种柏拉图主义的崭新形式，逐渐出现在数学哲学的研究中，以赖特（C.Wright）和黑尔（B.Hale）为主要代表人物。新弗雷格主义秉承了弗雷格的基本思想，把对语言的分析作为本体论的向导，坚定地拥护把数学化归为逻辑的宏伟计划，尤其强调语境原则的作用，并进一步诠释了语境原则在阐释数字单称词时所具有的重要意义，对数学真理困境作出了一种语言学的解答。

一、新弗雷格主义的理论基础

数学真理困境的焦点在于柏拉图主义的本体论与经验主义的认识论无法契合，这也是弗雷格一贯坚持的分界线。从某种意义上讲，数学真理困境具有弗雷格的思想传统。在弗雷格看来，充分的经验归纳是不存在的，任何研究都必须依赖普遍的逻辑基础。他在《算术基础》中提出“数”的概念在哲学意义上是先验的，在逻辑意义上是分析的逻辑定义范型。数学就是逻辑，为了达成这种逻辑哲学目的，他预设了三个基本原则：（1）始终要把心理的东西和逻辑的东西、主观的东西和客观的东西明确区别开来；（2）只有在语句的语境中，而不是在孤立的词中，才能找到词的意义；（3）要注意把概念与其对象区别开来。（涂纪亮，第34－35页）新弗雷格主义正是建立在这三个基本原则之上。

1.数学的客观抽象性关于数学的客观抽象性，新弗雷格主义与弗雷格的观点一脉相承。弗雷格认为算术不可能建立在心理学的基础上，因为它是客观的。数像外部世界中的对象一样是客观的东西，其存在性不依赖于人的主观意识是否想到它们，正如外部世界中对象的存在不依赖于人是否感知到它们一样。但数的存在与物的存在具有本质上的差异：物是在时空中存在的东西，而数不是时空中存在的东西。（参见同上，第35－36页）这表明了弗雷格对数的本体论态度，即数学对象是客观存在的，但其存在性不同于物质对象，数学对象在本质上是一种抽象对象。

这种立场成为新弗雷格主义者理解数学本质的理论根基。他们认为，把抽象对象定义为“外在”于时空的东西没有实际意义。正如赖特和黑尔所指出的：“我们应关注的是对这一特性描述的反面：即如果只注意抽象对象不是什么，而不关心这些抽象对象是什么或应该是什么，我们将不能真正说明如何能够认识这些抽象对象。”（Wright and Hale,p.114）这样看来，新弗雷格主义者要想揭示数学的客观抽象性，就必须说明数学的抽象概念是什么。其策略是借助于弗雷格提出的语境原则。

2.意义的语境原则新弗雷格主义者选择意义的语境原则作为说明数字单称词的意义理论，并进一步强调语境原则在阐明数学本体论地位时发挥的关键作用。可以说，语境原则是新弗雷格主义最核心的理论基础。根据语境原则，“一个词只有在一个命题的语境中才有意义。”（Erege,p.60）在弗雷格看来，任何单独词的意义都是无法确定的，我们只要说明包含数字的命题的意义就能揭示数字单称词的“出现”。数字单称词的作用不是谓词，而是恰当的名称，表示“自在的对象”。（cf.ibid）如果把数字单称词理解为表示自在的对象，那么关键的问题将是给出这种对象的同一性条件：“给我们一类命题就足够了，那些命题必须具有意义，即那些命题关于我们对一个数字的认识是相同的。”（Frege,p.62）即在不使用数字单称词的情况下，通过阐明连接数字单称词的同一性陈述的意义，给出其真值条件。

在新弗雷格主义者那里，语境原则被表述为：“数学知识的本体结构是由它所处的语境决定的。”（MacBride,p.108）语境原则预设了在特定的具体条件下，单称词与实在之间存在着一种对应关系。正如赖特所说，“指称一个对象的表达的资格是由它的句法所决定的：一旦通过某一类表达被句法规则确定为单称词，就不可能存在关于它们是否成功地指称了对象的问题。对对象的指称能够被那些允许这些指称在恰当的语境中表现为真的人们所提出。”（Wright,1992,p.28）对此，黑尔作了进一步强调，指出语境原则是“有益的”，“这种标准（如语境原则）是一种基本的先决条件，不是只为弗雷格自身观点提供的辩护，而是为了推进语言哲学、数学哲学和一般形而上学在更广阔范围内的发展。”（Hale,p.17）坚持语境原则所带来的结果是，将数字是否是某种存在的对象问题转化为关于特定陈述与其真值的逻辑形式之间的关系问题。对此，新弗雷格主义者用语言学优先原则给出了说明。

3.语言学优先原则不同于以往认为实在的本质独立于语言的观点，新弗雷格主义采取了相反的立场。在他们看来，实在与语言具有紧密的关联，实在的结构必然反映了我们语言的轮廓。在人们谈论真理的时候，实在结构必然地反映了真理的内容。

为确保语言与实在的这种一致性，新弗雷格主义者采用了一种被其称作“语言学优先” （Lin-guistic Priority）的原则。该原则由以下几个基本要素构成：

（1）句法决定性（Syntactic Decisiveness）：如果一个表达阐明了一个单称词的特有句法特征，那么这个事实就决定了该表达具有一个单称词的语义功能（指称）。

（2）指称极少主义（Referential Minimalism）：一种指称的表达在一个为真的原子语句中出现，这一事实决定了世界上存在一个条目，它与表明该表达的那个指称相对应。

（3）语言学的优先性（Linguistic Priority）：语言学的范畴先于本体论范畴；一个条目属于对象的范畴，只有当一个单称词指称它时才是可能的。

基于上述四个要素，新弗雷格主义者认为，数学原子语句是否在推论性的言谈中为真，不是由它是否准确地表征了一个独立的实在所决定，而是取决于它是否符合为相关表达的正确使用而制定的标准。数学实在必然包含一个对象，该对象是被谈及的表达所指称的东西。这种实在论立场正是新弗雷格主义与弗雷格的最大差异之所在。①

借助句法优先原则，新弗雷格主义者为形而上学指明了一种重要的、新的发展方向。它在根本上倒置了传统柏拉图主义者所接受的那种推理性实践与其所表征的形而上学领域在解释上的优先次序。这种改变决定了新弗雷格主义者求解数学真理困境的基本策略，即数学真理是客观存在的，其存在性可以通过语言分析而获得。

二、新弗雷格主义对数学真理困境的求解

从数学哲学发展的实践上来看，新弗雷格主义较传统柏拉图主义在思想上更具深意。传统柏拉图主义把本体概念看成是先验之物，认为任何独立存在的事物都不能从逻辑概念或关于判断、断言、指称和真理的概念中得到。关于本体概念的这种先验性说明易令人接受，但面对数学真理困境时却产生了无法回避的难题：如何建立语言与实在之间的关联，如何知道我们关于本体论的预设是令人满意的。因而，新弗雷格主义者反对将本体概念的独立性和首要性强加于柏拉图主义的解释中。在他们看来，本体论范畴完全是伴随着逻辑范畴的产生而产生的，判断的先验性可以确保它的客观性，能够弥合思维与实在之间难以跨越的鸿沟，由此可以直接应对柏拉图主义在认识论解释上所面临的挑战。这一对柏拉图主义的重新诠释为数学真理困境提供了新的求解方案。

1.对数学真理困境的重解新弗雷格主义者认为，柏拉图主义者之所以会遭遇数学真理困境，其原因主要有两个：其一是把抽象的数学对象定义为“外在”于时空的东西；其二是强调关于任意对象的真理都必须包括与那些对象具有某种先前接触。这种对数学真理困境的解读会导致人们将柏拉图主义本体论与经验主义认识论结合起来，成为柏拉图主义无法克服的难题。（cf.Wright and Hale,p.114）因而，新弗雷格主义的策略是抛弃上述两点，从完全相反的方向对数学真理困境进行求解。其基本思路是：首先，为抽象对象的本质作出定义，即直接说明抽象对象究竟是什么或应该是什么，而不是在隐喻的意义上把数学对象定义为“外在”于时空的东西；其次，反对用经验主义认识论来说明对抽象对象的认识。因为依据经验主义的认识论，与任意对象的接触或者关于任意对象的知识都需要在有关该对象的思维中预设它存在。一旦束缚在这种框架内，柏拉图主义者所要说明的就不仅是人们如何能够知道关于抽象对象的知识，还必须说明人们如何能思考关于那些抽象对象的问题。其后果是，柏拉图主义者既无法提供一种令人满意的认识论，也无法提供一种可操作的语义学理论。对于关于抽象对象的给定数学陈述，问题的关键并不在于我们如何能够知道它是真的，而在于它如何能够成为可理解的抽象对象。（ibid,pp.114－115）因此，新弗雷格主义者的根本任务就是阐明抽象对象的来源，直接说明数学知识是如何被获得的。

2.同一性陈述与语境原则对于新弗雷格主义者来说，依据语境原则，通过说明包含数字的命题的意义可以证实数字单称词的存在。如果把数字单称词理解为自在对象，就必须在不使用它的情况下，通过给出连接它的同一性陈述的真值条件说明其意义，而无须预设任何与该对象的先前接触。如果同一性陈述为真，其中表示数字等抽象对象的词将在事实上指称这些对象。因而，研究关于同一性陈述的真值条件，就能为关于这些对象的认识提供直接说明。于是关键问题是：如何获得关于同一性陈述的认识？（ibid,pp.116－118）

为了阐明同一性陈述的作用，弗雷格借助语境原则构建了一种判断的内容，把它看成是两边都是数字的同一性陈述。即把同一性作为已经理解的概念，并把它作为一种判断概念同一性的方式。比如，他对如何引入“方向”这一概念作了如下解释：通过“直线a与直线b平行”，或使用符号“a∥b”作为“方向相等：直线a的方向＝直线b的方向，等价于a与b平行”的判断，就能得到关于“方向”的概念，并且可以称“直线a的方向与直线b的方向一样”。因而，人们可以用更一般的符号“＝”代替符号“∥”，通过分割a∥b所包含的特殊内容，并且把它分配给a和b。以这种方式进行划分，就会得到一个新概念——“方向”。（cf.Wright and Hale,pp.116－118）以此为基础，新弗雷格主义者认为，为了以更一般的方式阐明划分概念的整个过程，可以把方向相等看成是“方向”算子的一种内在定义（……的方向），使之成为“方向”的类概念，来说明方向相等的左右两边以何方式、在何种意义上具有相同内容。这种定义的实质在于，人们可以把“方向同一”的陈述看成是包含一个关于两条直线平行的重新概念化，把两条直线间的平行关系构想成一种“新”对象（如两条直线的方向）之间的同一性关系。只要引入关于相等的约定，就能说明左右两边对应的实例具有相同的真值，即本质上相等。（ibid,p.118）

3.抽象原则（abstraction principle）新弗雷格主义者认为，通过引入抽象类概念并确定表示其范例的应用范围，可以说明如何能理解某给定类的陈述是否包含对抽象对象的指称，即说明抽象对象如何是可知的，就能解决柏拉图主义的认识论难题。为了具体阐释如何引入抽象类概念，他们应用了抽象原则。抽象原则具有下述一般形式（Wright and Hale,p.118）：

其中，“≈”是α和β的类型实体之间的相等关系，Ψ是从该类型实体到对象的一个函项。对于任何给定的相等关系，都可以通过对它的抽象而得到一个抽象类概念——该概念属于任意特定类型的抽象对象，其中的同一性或差异由实体之间的相等关系得到。

应用抽象原则来说明数字单称词的概念时，其形式即为休谟原则（Hume Principle）（MacBride,p.113）：

其中“Nx∶Fx”表示F的基数；“Nx∶Gx”表示G的基数；“≈”表示一一对应。该原则表明F的基数与G的基数相等，当且仅当F中的对象与G中的对象是一一对应的。借助休谟原则，可以给出数字单称词的一种隐定义。

为了具体说明这一点，新弗雷格主义者引入了表达“Nx∶x”，并假定这种表达是合法的。要说明（HP）中“≡”左边等式为真，就要求（HP）中“≡”右边的所有范例都为真。其具体措施是借助二阶逻辑，说明非自同一概念的范例可以用于解释与其自身的一一对应关系。其形式化步骤为（ibid,p.114）：

第一步：（Nx∶x≠x＝Nx∶x≠x）≡（x≠x）≈（x≠x）

等式右边是一个逻辑真理。假定HP为真，从右边可以推出

第二步：（Nx∶x≠x＝Nx∶x≠x）

假定数词是单称词，通过语境原则可以推断存在一个该单称词指称的对象。由此，能够对这一公式进行存在性量化，即引入存在量词，并作出本体约定：

第三步：

新弗雷格主义者认为，把休谟原则从一阶逻辑扩展到二阶逻辑，就可以得到二阶版本的皮亚诺一戴德金算术公理。在二阶逻辑中，休谟原则被称为“弗雷格定理”（Frege Theorem）。通过对休谟原则的约定，就可以确证地对逻辑知识作出断言，使得人们能够认识作为对象的数。由于算术知识是先验的，基本数学原则也都是先验的。因而依据抽象原则，就可以说明人们如何能够认识包括二阶逻辑在内的所有数学定理。（cf.MacBride,pp.114－115）

新弗雷格主义者对数学真理困境的这种求解方案，在本质上是非常直接的。在他们看来，只要方向和数字的概念能够通过抽象原则而得到隐含的定义，就能知道关于方向和数字的同一性的陈述是真的。这意味着，一旦能确知两条直线是平行的，或概念是一一对应的，就无须更深入地去质询关于方向和数字的真理知识如何可能的问题。（cf.Wright and Hale,p.119）

需要指出，新弗雷格主义者并没有从本质上赋予抽象原则以任何特殊的认识论解释功能，也没有坚持认为它就是逻辑原则，而只是承认它在分析的意义上是真的。这实际上已经背离了弗雷格主义的初衷，因为弗雷格从一开始就把休谟原则看成是逻辑的。但是，逻辑在新弗雷格主义的认识论解释中仍发挥着重要作用，因为他们必须用关于逻辑的知识来证实休谟原则“≡”右边的真。因此，他们主张把逻辑知识与抽象原则结合起来才能够充分说明所有的数学知识，这是其对数学真理困境的解答。

三、新弗雷格主义求解存在的问题

新弗雷格主义者的根本宗旨是把数学化归为逻辑，可以说其对数学真理困境的求解是在对逻辑概念分析的基础上展开的。但数学实践表明，数学不同于逻辑，具有比逻辑更宽泛的内容。因此，新弗雷格主义者要想成功，就必须把所有的数学知识都化归为逻辑，否则其对数学真理困境的求解不能令人信服。当然，新弗雷格主义者可能会辩解说他们之所以不同于传统弗雷格主义，是因为他们接受二阶逻辑，并通过把抽象原则扩展到二阶逻辑来说明数字单称词的指称难题。不过，这样做虽然可以规避逻辑主义所面临的无穷公理等问题，却要付出其抽象原则无法获得合法身份的代价。此外，新弗雷格主义者单纯强调语境原则的方法，弱化了对意义的指称的重要性，因而又将面对凯撒难题的诘难。

1.逻辑本性的双重态度新弗雷格主义者的根本宗旨和核心动力是把数学建立在逻辑的基础上。但实际上，他们对逻辑本性所持的是一种双重态度，即一方面必须借助二阶逻辑，另一方面又不得不承认一阶逻辑的真理性。从表面上看，新弗雷格主义者反对拘泥于传统逻辑的框架内，其求解数学真理困境的基本策略是引入二阶逻辑，直接借助二阶的抽象原则来证实数字的存在性。然而，他们用休谟原则证实数字存在的论证却主要依赖于一条逻辑真理（（x≠x）≈（x≠x）），从而表明其基本理论仍是建立在经典逻辑之上的。这意味着，他们同样不能回避逻辑主义试图把全部数学都化归为逻辑时遇到的困难。比如，逻辑主义认为，所有数学定理都能够根据逻辑规则从逻辑公理中推导出来；数学家的任务就是揭示：如果一个结构满足某些公理，则它也满足从这些公理推演出的定理。而有些数学定理（如算术和集合论中的一些定理）的证明除了要借助逻辑公理之外，还需要引入无穷公理作为特殊公理。从当前的数学理论发展来看，无限结构的特定类已经在数学中发挥了基础作用，成为整个数学图景的一部分，甚至是最为重要的一部分。而集合论中的无穷公理显然不属于逻辑范畴。数学不只是逻辑，它具有比逻辑更宽泛的研究对象和范畴，因此，将全部数学化归为逻辑是不可能实现的。

2.抽象原则的合法性新弗雷格主义者的基本策略是借助抽象原则证实数字的存在，但抽象原则自身的合法性在学界引起了极大争议，遭到了以布勒斯（G.Boolos）为代表的一批逻辑学家的质疑。他们认为，抽象原则作为一种语言学约定不能确保非语言的存在性，即使借助抽象法可以成功地引入新对象，也不能因此认为抽象法是合法的。以休谟原则为例，如果从中能够推出数学对象的存在性，那么休谟原则等价于直接的存在性断言（cf.MacBride,p.121）：

（数字）

这意味着，休谟原则不可能只是一个约定。如果把休谟原则看成是一个约定，就同时必须抛弃它的等价论断，即否定数字的存在性断言。（cf.MacBride,p.121）事实上，我们所能承认的断言是条件性的，即如果数字存在，那么休谟原则描述了其存在。因此，除非新弗雷格主义者能够为数字存在提供某种先在的、独立的确证，否则就不能证实休谟原则的合法性。

这样，新弗雷格主义者就必须要么放弃使用休谟原则以避免作出任何存在性约定，要么证实休谟原则的合法性。我们不妨以布勒斯给出的“反－0”（anti-zero）例子（cf.Boolos,p.134）来说明这一点。新弗雷格主义者对算术的重建是通过把一个数字指派给非自同一的概念而建立的。如果把一个数字指派给这个概念是合法的，那么它就同时可以指派给与这一概念同一的概念。称“反－0”为一个数字，由于所有事物都满足同一性的概念，可知反－0就是所有事物的数量。但休谟原则对反－0的这一约定与ZF集合论不一致。集合是满足同一性概念的条目，但是ZF否认存在所有集合的数量。如果休谟原则是真的，那么ZF集合论就是假的：事实上，如果休谟原则先验地为真，那么ZF集合论就先验地为假。我们知道，ZF集合论是迄今的最佳数论，而对休谟原则的约定会导致ZF集合论为假，其严重后果是无法想象的。

事实上，把约定的原则作为存在性断言在根本上就是有问题的。新弗雷格主义者的回应是：休谟原则不是一个存在性断言，而只是一个条件性断言。（cf.Wright,1983,pp.148－152）然而，尽管休谟原则在形式上的确是条件性的，但它只有与任意陈述都存在的论断结合起来才可行。因此，这种策略不能把休谟原则和其他存在性断言区分开。

3.凯撒难题新弗雷格主义者借助于抽象原则所引入的概念应该是一种类概念。也就是说，抽象原则应该为相关概念提供同一性标准和应用标准。通过同一性标准可以对这些对象加以区分，借助应用标准可以说明相关概念所适用的对象是什么。但这种抽象原则只能为被引入的概念提供同一性标准，而无法为其提供应用标准。这意味着，借助休谟原则能够说明任意的两个数字是否相等，但却无法对一个包含混合同一性陈述的真值进行判定，如“凯撒是数字0”。因而，新弗雷格主义者必然要面对如下凯撒难题的拷问：我们如何知道凯撒不是一个数字。

新弗雷格主义者也承认抽象原则不能为他们引入的概念提供一种应用标准。但他们强调，类概念和同一性标准可以充分说明凯撒不可能是一个数字。为了说明这一点，他们使用了分类包含原则（Sortal Inclusion Principle，简称SIP②）。（Pedersen,pp.505－507）在他们看来，只要将抽象原则和SIP结合起来就能够解决凯撒难题。依据SIP，数字和人的类概念具有不同的同一性标准，因而数字和人不可能被归类于相同的范畴内，即它们的范畴是不同的。这样，根据SIP中的（）

（）任意两个范畴X和Y，要么是同延的，要么没有相同的对象。

可知它们没有相同的对象。因此，凯撒不可能是一个数字。任何人都不可能是一个数字。更一般地讲，对属于任意给定范畴的对象来说，它都不可能与属于不同范畴的某个对象是同一的。（cf.Pedersen,p.507）

需要指出的是，新弗雷格主义者对SIP的运用反映出某种经验主义认识论的特征。依据SIP：对于陈述“水是”，要知道水＝water，就必须也适用于water。同一性依赖于它们的例示，即water的每一个例示都必须能够产生关于“它就是水”的认知。从这一点来看，SIP隐含了对于某个和某个，只要当与具有相同的内容，x＝y。也就是说，除非人们对两个词指称方式的理解能充分确保它们相互例示，否则就不能依据SIP断定这两个词具有相同的内容。“water”通常指称水，类似地，数词通常指称相同的概念。当人们在不同的语境中指称数字“3”的时候，它通常表示相同的内容，但决不会表示“凯撒”。任何关于凯撒的例示都不可能与“3”出现在同一个同一性陈述中。因此，SIP从本质上依赖于人们的经验归纳。但依照事实例示的定义，不能用于处理抽象对象，人们也不可能指向任何抽象对象。这恰恰是数学经验主义认识论者遇到的主要问题，也是新弗雷格主义者求解策略提出的基点，即反对与认识对象之间具有任何先在的经验接触。在这个意义上看，SIP的引入与新弗雷格主义者的初衷是相悖的，它并未从根本上解决如何能认识抽象对象这一难题。

四、结语

对于新弗雷格主义者来说，在语言和实在之间存在着密切的关联。数词指称了独立于人脑的抽象对象，就可以说明抽象对象是存在的，这可以从语言分析中得到。然而，新弗雷格主义者并未真正阐明语言分析如何是存在的向导，比如单称词在特定的情况下只是一种被假定的同构关系。把语境原则作为存在的向导来说明对象时，其证据不足。虽然语境原则能够为实在论者发现实在提供不同的途径，但不能揭示特定的语义规则，而“那些语义规则对于单称词来说仍是特别‘神奇的指称理论’”（Putnam,p.51）。这种认为语言能够成为存在的实质性向导的假定是可疑的。于是，由于无法说明在语言词汇与独立于人脑的对象之间的联系，怀疑论的幽灵又会出现。

现在，重新回顾贝纳塞拉夫提出数学真理困境时为合理的数学真理理论所列出的两个条件：一是为数学与科学提供一致的语义学，即数学之为真与科学之为真应该满足相同的真值条件；二是为数学与科学提供一致的认识论，即认识数学与认识科学应该依赖于相同的可靠性证据。这就要求一个恰当的数学真理理论不仅坚持数学真理的客观存在性，为数学提供合理的语义解释和认识论说明，更重要的是它同样适用于解释其他科学真理，而这是新弗雷格主义者根本不能满足的。因此，要想求解数学真理困境，需要我们深入探明数学与科学的实在本性，以及人们获得真理的认知模式，为数学与科学提供一致的真理理论。

事实上，要想为数学真理困境找到一种合理的出路，我们就不仅应将语境原则作为论证抽象的本体存在性的一种方法论意义上的应用工具，而且应察明它在阐明实在论时其自身所具有的本体论性。这要求我们对数学本质提出一种新的解释进路，它既反对句法是存在的向导这一主张（赖特对数字单称词的解释策略），又否认本体能够说明单称词意义的观点（普特南的因果指称理论）。正如韦泽尔（L.Wetzel）所说：“要表明的是，在句法和本体论之间存在着比上述两种方式更平等的关系。我相信，可以建立一个合理的理论，它能够说明上述二者之间戏剧性的发展关系：有时我们的本体论直觉告诉我们关于句法的观点，有时句法规则决定我们的本体论观点。最终，我们在二者间获得了‘反身的平衡’。”（Wetzel,p.254）

注释：

① 弗雷格把数字单称词看成是自在对象，对自在对象的要求既是认识论的，同时也是形而上学的。在语言与世界之间存在着一种假定的联系，数学对象是形而上学的，不管人们是否需要它们，它们都存在着。句法范畴则是认识论上的，如果不通过语言的检验，人们不会知道数学对象是否存在。（cf.Wright,1983,p.13; Wetzel,p.239）

② 根据SIP，每一个对象都满足一个类概念。假定满足下述原则：

（）每一个类概念都具有唯一的同一性标准。