托姆奇点哲学研究，本文主要内容关键词为：奇点论文,哲学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
分类号：B151 文献标识码：A 文章编号：ISSN 1000—5218（2000）—03—0006—05
作为突变论的主要创造者托姆，我国哲学界已不再陌生，而且研究有关突变论哲学问题的文章也偶见报刊。然而对托姆奇点理论及奇点哲学予以关注的人似乎极少。其实，托姆突变论正是奇点理论的新发展、新应用。因此，严格地讲，不了解托姆奇点理论和奇点哲学，就难以深刻地把握突变论的实质和思想。另外，奇点理论所具有的哲学意义以及托姆奇点哲学本身也都颇有价值，因此，笔者愿就其作些初步的述评，以期起到抛砖引玉之作用。
一、奇点理论之要点
作为一门独立的学科，奇点理论是门年轻的数学分支。但是，尽管如此，它也有着深远的历史渊源。微积分中有关可微函数y＝f（x ）在某一点a附近的性态研究，就最先涉及到了奇点。 有点微积分常识的人都知道，如果f（x）在点a的导数f'（ a）＝0，则a是f的奇点。这时，f'（a）＝0，但若f''（ a）＞0，则f（a）是f在a附近的极小值； 若f''（a）＜0，则f（a）是f在a附近的极大值。如果f'（a）＝0且f''（a）＝0，而f'''（a）≠0，则 a是f的捌点。可见，在奇点a附近，函数f（x）的性态较为复杂。相反，在正常点a（f'（a）≠0时）附近，函数f（x）的性态很简单，没有什么显著的变化。这说明，奇点对于函数性态有着决定性的影响。故对奇点的研究也就颇为重要了。当然，奇点不仅只出现在这种简单的一元函数中，对于多元函数、微分流形之间的可微映射，以及微分方程的解函数中，无不都存在着奇点。
奇点理论发展到当今，大致经历了这样一个过程。本世纪30 年代H·M·莫尔斯的临界点（即奇点）理论，40年代H·惠特尼的与微分流形嵌入、浸入有关的奇点工作，以及庞特里亚金等人的与示性类有关的奇点工作等，是奇点理论的酝酿、积累阶段。1955年惠特尼发表的关于把平面映射到平面的映射奇点的工作，标志着奇点理论开始作为一门独立的分支登上了数学舞台。1956年托姆发表了一篇题为《可微映射的奇点》的论文，对整个奇点理论的发展，提出了一个纲领式的描述。1960年，托姆又在波恩作了一系列的演讲，把他的纲领式的描述更加具体化了。从此奇点理论得到了重大进展，如60年代末托姆提出的突变论，70年代J·N·马瑟的分类定理，阿诺尔德把奇点分类应用在振荡积分的计算上等重要成果相继涌现。
把一元可微函数f（x）的奇点概念推广到欧氏空间的映射和流形上的映射，就得到了一般地可微映射的奇点理论。托姆为这一理论的建立做出了纲领性的贡献。
人们引入奇点的目的是为了对函数进行分类。客观存在的函数非常多，虽然这些函数的函数值及函数关系各不一样，但某些函数的性质很相似。奇点理论就是根据奇点来对函数进行定性分类，以达到更全面更深刻地认识函数的目的。之所以要根据奇点来对函数进行分类，这是因为对于正常点来讲，函数之间的差别不存在，它们都是一类。但在奇点附近，情况则大不相同，因为奇点处函数的导数为零，不能保证在该点反函数总存在，无法按照正常点附近的办法进行分类（而且不同的函数，奇点的性质也不同）。因此，对函数（映射）的分类，实际上就是对函数在某个点x为奇点的函数进行分类。 这也正是把这种对函数的分类理论称为奇点理论的原因。
顺便提一下，数学中有很多函数和映射的性质不稳定，不容易进行分类。为此，数学家一般只考虑“稳定的”函数或映射。但如果只限于对稳定函数或映射进行分类，那么自然会产生这么一个问题：稳定的函数或映射是否有普遍意义，即它们是否足够多（构成稠密集），使得任何一个函数或映射都可以用稳定的映射来逼近它？对稳定的函数或映射是否能够分类？关于这个问题，现在已有一些重要的分类定理，如马瑟分类定理。这个定理说明，对于一类稳定函数或映射的分类是对所有函数或映射的近似分类，同时也表明了正常点附近所有函数或映射都是等价的，而最重要的是，此定理对所有几个变量的函数进行了分类，这是人们研究函数分类的基础。分类之后，对函数的研究可以仅分析某一类中的一个代表函数的性质，然后从这一个函数推广出一类函数的性质。选取多项式为一类函数的代表显然是最理想的。具体地讲，设f为M类中一函数，f在原点的泰勒展开式前k项记为j[k]f，称为f的k 次“导束”。一般可利用导束来分析函数f的性质，并定义M中一个函数f为k决定，如果对于每个适合j[k]f＝j[k]g的g都有“g等价于f”成立。 这个定义实际告诉我们，一些函数f、g等它们是同一类，如果它们的泰勒展开式前k项一样，并称它们是k决定的。换句话说，对于k决定的函数f可以用它的j[k]f来作为它的代表，j[k]f的性质就代表f的性质。
奇点理论与突变论的关系十分密切。大家知道，一般反映实际系统演化情况的函数，往往带有参数。因此，为了更好地刻画实际情况，需要研究带有r个参数、n个变量的函数f：R[n]×R[r]→R。当参数u[,1]，…，u[,r]变化时，f的奇点位置、数值及性质也发生变化。一般地讲，u[,1]，…，u[,r]连续变化时，f的奇点性质也连续发生变化。 但有时，当参数取一些特别的值时，情况则会发生突变。这便是突变论关心的问题。根据奇点理论，任何函数在正常点都与恒等变换是等价的。在正常点附近函数不会发生突然变化，只是在奇点附近函数性质才会发生突变。故突变论也是从奇点函数分类的角度来研究在一定参数控制下函数的突变情况。
二、奇点在科学研究中的作用和意义
托姆的奇点哲学，主要表现在四个方面：一是关于奇点在科学研究中的作用和意义的认识；二是关于奇点对科学定量描述与定性描述之影响的认识；三是关于奇点与形态演化之关系的认识；四是关于奇点与语言之关系的认识。本文暂就前两个问题作一论述，后两个问题待以后专文再论。
关于奇点在科学研究中的作用和意义这一问题，首先涉及到“科学研究的目的或目标是什么”这一重大的科学哲学问题。在托姆看来，科学研究的目的有两点：一是“理解现实”，二是“对现实采取有效的行动”。他把这看作是对两个相反观点——理解说与行动说的综合，并称之为两极说。〔1〕（pp.140—141）。但他们认为这里面有一个明显的矛盾：行动说在本质上是解决局部的问题，而理解说却试图找到“通用解”（也即整体解）。求解局部的问题却需要使用非局部的手段，而可理解性则要求将整体现象化为几种典型的局部情况。不过托姆也认为，这种两极说已经“通过在科学中使用数学的方式反映出来了”。这话有着十分丰富和深刻的内涵，下面我们有必要详细解释一下。托姆说：“我们每个人都能接受，从实用主义的观点看，科学的一个本质工作是对一些现象作预测。然而，预测这是从对过去的认知中抽取对将来的认知。用数学的话来说就是对一个已知t＜0时（在过去的时间）的函数f （t）向t＞0（将来）时的外推”。〔2〕或为将“一个区域D 上所取得的局部知识推广到更大的区域D′上”。〔1〕（p.142 ）托姆指出：“在数学上就有一种办法来做这一推广工作，它也是在实践中使我们能够规范地从事这种推广的唯一办法。在此我指的就是解析延拓”。〔1 〕（p.142）解析延拓是一个重要的数学概念和方法。 大家可以粗略地把它理解为这样一种方法：把某一数学方程在区域D ′上的局部解拓展到一个更大的区域D″，甚至整个定义域D上的通解的办法。这就是说，科学预测在本质上就是把对过去（t＜0）的研究所获得的一个解析函数f （t）利用解析延拓的方法拓展到将来（t＞0）的f（t）。可以说， 科学决定论就是这种解析延拓的哲学表述。也可以说，几乎所有近现代科学结论——科学定律（一般用特定的数学公式、方程来表述）的有效性都是以这种解析延拓为数学根据的。因为只有利用解析延拓，一个解析函数的芽（可粗略地理解为函数值）才可以扩展到这个函数的整个定义域上去。“这就是说，可用于预测并在实用上有效的数学模型，要求有关函数及其依赖于时间的解都是解析函数。因此，我们进行工作的基础空间就应具有一种自然的解析结构”。〔1〕（p.142）一个不能解析延拓的科学定律（其方程是非解析的），就是一个不能外推的结论——今天成立明天就不成立，此地成立而彼地就不成立的没有多少实用价值的结论。追求科学定律在更大范围内的解析延拓无疑是人类科学研究的基本目的。
然而现在的问题是，这种解析延拓的范围到底有多大？人们能不能任意地进行延拓？也就是说，有没有阻碍延拓的障碍？托姆的奇点理论给我们的这些问题作出了明确的回答。在“解析区域中将展现奇点，它们在区域的边界阻碍延拓。”“奇点总是显式或隐式地与一个具有传播性质的、定义在形体在环境空间中的一个领域上的全局过程相联系。奇点也就以过程向空间传播的阻碍的形式出现”。〔 2〕之所以这样说，这是因为“解析区域的边界（奇点附近——引者注）的这种不隐定性实际上破坏了仅以实验数据为基础的精确预报的可能性”。并且还认为，“如果说物理成功了，那是因为它在现实世界的最终属性上做了一些本体论的假说，即宇宙的广阔性”。这就“使得这个解析区域的不稳定性能够被有效地控制，因而得到精度预测”。〔2 〕如果没有这些奇点的存在，那么我们这个世界将是无比的简单。它将不仅在本体论上是严格决定论的，而且在认识论上也是严格决定论的（即可精确预测的）。科学家们可以一劳永逸地利用他们所获得的科学定律计算出世界未来任何一个时刻和地点所要发生的事情——他们需要做的工作只是为相关的解析函数提供几个实验数值。然而事实并非如此，尤其是近20年来，随着混沌学等一系列非线性科学的兴盛，人们逐渐认识到，这个世界在更多情况下是不可预测的。我们认为，这种不可预测性，反过来正好说明了解析延拓并不是总无障碍的。“一个光滑函数的奇点的开析定理不能给出定量的预言，最多只能在奇点附近作定性的描述”〔3〕。
既然如此，可为什么科学家们还都认为所有的预测都以解析性为基础呢？为什么我们的宇宙要以一个解析的实体为模型呢？对此，托姆以“路灯的哲学”给予了回答。这是一个讽喻一位男士在黑暗的街道上丢失钱包的故事，尽管他明白钱包并不是在路灯下丢的，却只在路灯下寻找。这无异于说，对于一个不具有解析性的实体或问题，科学家们将不知所措，他们只习惯于与解析性打交道。这也说明，绝大多数的科学家是极力回避奇点问题的，奇点附近的复杂性让人望而却步。
综上所述，托姆关于奇点在科学研究中的作用的认识是：奇点是阻碍科学（定律）外推（解析延拓）的根本原因。我们认为，这一认识是极为深刻的，联想到混沌学的兴起和科学计算方法在科学研究中的深刻运用，这一切实际上预示着一种全新的科学观正在形成。
应该提一下，托姆认为，奇点并不只是“作为环境的一个传播结构的缺陷的奇点”，即阻碍解析延拓的奇点；同时奇点也有一个“组织环境空间的能力”，“作为形体局部生成元的奇点”或“作为传播机制本身的源泉的奇点”。〔2〕但这是一个涉及形态发生学的问题， 基于篇幅所限有待以后专论。
三、奇点对科学定量描述与定性描述的影响
关于科学的定量描述与定性描述（注：这里所说的定性描述并非通常意义上的纯定性描述，而是一种数学中的定性描述，指不能进行精确计算，尤其是不能解析计算的拓扑描述或系统描述。），正如大家毫不怀疑的，如果要求一个科学模型是应用上有效的，那么这个模型就一定要包含一些定量的成份，使我们有可能对它所描述的现象进行时空的定位和预测。一个单纯的定性预测，如没精确地指明时间或地点，在实践中就不会有很大作用。如地震预报，若不明确地指出地震大致的地点和时间，那这个预报是没有价值的。这就是说，能够用来作出预测从而采取行动的模型必须是定量的模型。应用数学最成功的无疑是物理学。但正如托姆所指出的：从物理学走向生物学的过程中，能够应用数学的情况愈来愈不妙。而且即使在基础物理学中，现在看来也只有在一些简单的情形下可以有效地应用数学，这时可以得到某些定量的科学定律；但一旦碰上比较复杂的情形，尽管还可以确立某些相应的定量的科学定律，但要完全确定系统随时间演变的情况，光有这些定律就不够了，此时必须采用一些特设性假设——它们一般是根据统计学研究或采用近似表达式的经验性规律提炼出来的。这就是说，系统虽然可以建立精确的数学模型，但由于其复杂性等原因，可能找不到一个有效解，即无法作出有效预测。在托姆看来，这样的定量描述也是没有多大价值的。〔1〕（pp.137—139,p.143）
那么为什么有时可以构造出精确度极好的定量模型而有时却完全无法给出定量的模型呢？对此，托姆首先作了这样的分析：定量模型都是利用基础空间上解析的数学概念定义的，而且基础空间（如欧氏空间）本身也是解析的。时空是最终的基底——基础空间，所有事物或系统的数学结构都要建立在这一基底上。于是上述问题也就转化成两个更加确切的问题：一、作为基础空间的时空本身是否具有一种天然的解析结构？二、建立在基础空间上的“经验现象”是否具有一种天然的解析结构？就前一个问题，托姆的回答是：在物理学的传统观念下，时空具有一种天然的解析结构，因为这时“时空便是具有等价的连续李群（欧几里德群、伽利略群、洛伦兹群）的一个齐性空间。”当然，在宇宙大尺度上，这一结论是不成立的。在宇宙学中，时空奇点是一个无法避免的并且非常重要的概念。因此，在传统物理学中，人们总是忽略了时空在无穷远处的特性，通过引进“内部空间”的概念——“这种内部空间可直接联系到时空或用数学结构定义的等价群”——使得相应的基础空间化为一个解析空间。这实际上是说，在物理学中，人们是有意识地构造了一个“天然的解析结构”，或者说，时空本身并不具有“先验的解析性”。关于后一个问题，托姆的回答在本质上与对前一个问题的回答是一致的：经验现象的一种天然解析结构也是人们通过各种途径人为赋予的，并不存在先验的解析性（详述可见〔1〕.（pp.146—148））总之， 科学的定量描述，只有在建立于解析时空基础之上的具有解析性的系统这个范围内是有效的。“我相信，即使在现在，科学中严格的定量描述也是与解析开拓紧密相联的。一旦我们走出解析性的范围，解析开拓就不可能，结果，严格的外推不可能，只可能有非严格的定量描述”。〔3 〕而大多数生物系统、生态系统、经济系统、社会系统，由于其深刻的复杂性（可以说是“充满”了奇点），无法建立在一个解析的时空基底上，因此有关它们的定量描述是难以做到的。这也正是托姆关于奇点在科学研究中的作用的看法之自然推论。现在人们已经知道，能够精确（解析）定量描述的现象是相当少的，这就迫使我们必须采用定性描述的方法，尽管不少人对缺乏定量描述的模型和预测抱有不信任或不屑一顾的态度，但托姆还是认为，定性描述的价值是无可非议的。其实早在上个世纪末，世界级大师彭加勒就已经给人们树立了一个榜样：当彭加勒1880年发现三体问题在任何合理的意义上都不可解时，他转向平面上微分方程的定性研究，从而建立了一项重大的定性动力学理论。这确实有力地说明了数学中的定性描述是十分有用的。托姆也以他的突变论为例，进一步说明了定性描述是有价值的（详见〔1 〕pp.151—157）。
四、奇点的哲学意义
通过前面的论述，我们看到，奇点在托姆眼里既是一种看待事物或问题的视角、工具，也是事物或问题发生变化和转机的根本原因。
我们认为，如此看待奇点或奇点的作用是深刻的和具有哲学意义的。托姆通过揭示奇点在科学研究中的作用，使我们看到了以往科学得以确立的数学基础是解析空间及解析函数。离开了解析延拓，精确的科学定律便无法建立，科学便失去了它应有的预测功能，成为没有实用价值的结论。应该说这仅是指有别于近20年发展起来的复杂性科学的传统科学。其实这也从相反的角度预示着，建立在奇点附近（局部）的科学是一种有别于传统科学（可称为简单性科学）的复杂性科学。这与当前兴起的复杂性科学是完全一致的。从奇点的观点看，我们完全可以说，传统的简单性科学是建立在整体解析的区域上的一种非局域性科学，而当今的复杂性科学则是建立在非解析的奇点附近的一种局域性科学。奇点是划分两类不同科学的分界线，一面关注奇点，另一面回避奇点（关注解析性）。
其次，托姆通过揭示奇点对科学的定量描述与定性描述的影响，表明了局域性科学无法实现传统的非局域性科学的那种精确的定量描述。这就是说，在局域性科学中，尽管可以建立起各种科学定律（数学模型、方程），但要完全确定事物或系统随时间演变的情况，只有这些定律就不够了。以往人们总是要求科学能够对给定了一系统在某初始时刻的状态后，就能根据相应的科学定律（数学模型）计算出该系统在随后任何时刻的状态。现在看来这一要求是无法实现了——当前的复杂性科学已经证实了这一点。面地这种情况，人们或者选择定性描述的方法，即运用几何拓扑的方法将给定模型的各种可能的形态从拓扑结构上加以分类，奇点理论、突变论等就属于这个范畴；或者选择数值模拟的方法，即一步一步地通过计算机的模拟来求得系统演化的近似结果，而不可能一步就求得系统演化的精确的通解。这在一定意义上说，正是因为奇点的存在，决定了科学的定量描述与定性描述的分野，进一步也决定了科学的解析计算与模拟计算的分野。应该指出的是，计算机模拟计算方法，已经成为当今科学前沿——复杂性科学研究的最重要的方法和工具。在方法论意义上，它开辟了科学研究的一个新时代。
最后，在对系统无法给出解析解的情况下，奇点理论以及突变论作为数学中的一种定性理论，能够对奇点附近的各种形态从拓扑同构（相似）的意义上进行分类，并提供一种整体的（拓扑性质）看法，以及对系统演化轨迹在何处终结给出一种预测，这确实是个不可小看的作用。正如托姆自己所说：“从哲学的高度来看，…这一简单事实也是一个不容忽视的收获”。〔1〕（p.151）。不过我觉得，托姆对模拟计算的作用没有充分认识到，其实通过模拟计算也可以获得定性研究所获得的一些结论。不过后来对此他还是有所意识，这可以从他下面的这句话看出：“我确实认为混沌学的成功当然也是一个人们放弃突变论理论的原因（另一个原因指耗散结构理论的成功）”。〔3〕尽管如此， 奇点理论及突变论的重大作用还是不可否认的，而且事实上，这方面的研究由于齐曼、阿诺尔德等追随者的不断努力，已经得到了进一步的发展。
结束语：奇点的作用并不只是托姆在其论著中提到的这些。奇点作为事物或系统的形态演变的关键点，它直接影响或判定了系统的演化阶段、演化方式、演化方向、演化速率、演化途径、演化规模等各个方面。它是系统演化发生转变的标志。可以说，如果没有奇点的存在，事物的发展就不可能表现出如此曲折复杂而又相对稳定，宇宙间也就不可能有这千奇百怪的万事万物，甚至宇宙本身的存在也不可能。
收稿日期：1999—05—18