数学美与课堂教学，本文主要内容关键词为：课堂教学论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
自徐利治先生提出数学美的概念[1]以来，国内论述数学美的论文层出不穷。不过，多数文章仍然限于数学美的描述。一般都用2 位法国数学名家庞卡莱（Poincare）、阿达玛（Hadamard）的数学美学论述，加上各种数学例子（多半是高等数学的），对数学美进行分类：对称美、和谐美、简单美、奇异美等。这些工作当然有意义。不过，中学数学教学并不满足于数字美的论述，更重要的是如何在数学教学过程中展现数学美，使学生能够感受和欣赏数学美，把数学的美育功能真正落实在中小学的数学课堂上。
我们认为，数学教学中的美学教育有以下4个层次：美观、美好、 美妙、完美。
第1个层次：美观 这主要是数学对象以形式上的对称、和谐、 简洁，给人的感官带来美丽、漂亮的感受。
几何学常常带给人们直观的美学形象。几何图形“圆”是全方位对称图形，美观、匀称、无可非议。正三角形、五角星等常用的几何图形都因对称和谐而受到人们喜爱。在培养几何图形审美能力方面。已有许多成功的经验，日本一堂公开课的题目：在一块矩形场地上筑一花坛，使其面积为场地的一半，要求设计美观。这是将数学和艺术相结合的典型课题。上海进才中学教研组提倡用二次曲线画“米老鼠”或其它画作，发挥学生用几何曲线（写出方程）进行美术创作的想象力。他们在进行立体几何教学时，要求学生以“柱体”、“台体”、“锥体”、“球体”、“圆柱”、“圆锥”等3维几何图形，制作一座运动会的奖杯， 并要求学生写出每个部件的方程式。同学们的作业，琳琅满目，美不胜收。有些老师要求学生收集我国古建筑中“窗格”的几何图形样式，或者将一些著名商标中的几何图形进行陈列和比较，都很成功。日本的一堂国际性的公开课，要求学生在已知大小的矩形场地上，设计一个美观的花坛。这是将数学和艺术紧密而自然结合的好题目。由此可见，寓数学美于课堂教学设计，已经有了一些成功的教学实践。只要有心去做，并非是什么难事。
数学教学中的美观认识，不仅在几何里随处可见，在算术、代数科目里也很多。例如：
这些公式和法则非常对称与和谐，同样给人以美观感受。
但是，外形上的美观，并不一定是真实和正确的。用美学观点猜测和认识数学规律，需要进行检验和确认，一些看来十分美观和谐的运算和公式。实际上并不正确。例如，许多学生根据美学的和谐原则。习惯地认为：
的确，这些“算式”是何等的“对称”、“和谐”、“美观”啊！犯这种错误的学生，从某种意义上是从美学观点出发的一种本性的体现。“爱美之心，人皆有之”，我们实在不应该太多地责备这样的学生。相反，我们应珍惜这种审美意向，并鼓励他们在学习数学时充分运用这种审美创造性去认识和理解数学。当然，我们也应告诉他们，美观的东西不一定都是好东西。罂粟花虽然美丽但是有毒，金玉其外可能败絮其中。光靠美观，不足以学好数学。
第2个层次：美好 数学上的许多东西，只有认识到它的正确性， 才能感觉其“美好”，上面提到的诸如1/2＋1/3＝2/5，lg（M·N）＝lgM·lgN等，一旦理解了它们的错误，以至跌了跟斗，就不会再感到那些外在的“美”了。“对数”的美好在于能把繁杂的“乘除”运算变为“加减”运算。理解了它的作用，也就获得了“美”的满足。
“美观”的数学对象。也必须进到“美好”的层次。圆，从结构上看是极其美观的。从性质上看它也十分美好。任何圆的周长与直径之比总是一个常数π·π既非有理数，又非代数数，是超越数。这种内在的数学价值，展现了“圆”的魅力，引无数英雄尽折腰。从祖冲之的计算到今天用计算机到60亿位小数，对它的研究尚未完结。
不美观的数学对象是很多的，一个突出的例子是一元二次方程的求根公式：
这一公式无论从哪方面看都不对称、不和谐、不美观。但是，当我们了解它、运用它，就会感到它的价值，它的“内秀”。这一公式会告诉我们许多信息：±表示它有2个根；a≠0，△＝b[2]－4ac会显示根的数目及方程的性质……所以，当你和它熟悉了，就会觉得它形式上虽难看，本质却是美好的。正如《巴黎圣母院》中的卡西摩多，外表丑陋而内心美好。
事实上，数学结果在外观上有的美观，有的不美观。不美观的数学也要讲美，这就全靠数学教师的努力了。现在的情况是，外形美观的有时还会说一说，指一指，对于外形不美，实际上非常美好的东西，则避而不谈。这样做，对数学的美学价值似乎理解得太肤浅了。
第3个层次：美妙 美妙的感觉需要培养。 教师在课堂上应该多给学生一些创新、探究、以至发现的机会，体验发现真理的快乐。例如，三角形的3条高、3条中线、3条内角平分线都交于一点。这是很美丽、 十分美好，同时令人惊奇的结论。发现它会使人觉得数学妙不可言，特别是几何学妙极了。那么在教学时，先不告诉学生结果。让学生自己亲手作图，让学生自己发现这些一下子并看不出来的“真理”。可以想见，学生自己发现一个数学真理该会是何等的惊喜。一旦体会到数学的“美妙”，对数学产生由衷的兴趣，也就是顺理成章的事了。
美妙的感觉往往来自“意料之外”但在“情理之中”的事物。三角形的3条高交于一点就是这样。2个圆柱体垂直相截后将截面展开，其截线所对应的曲线竟然是一条正弦曲线。原来猜想那将是一段圆弧，结果大出“意料之外”，经过分析推演。证明确是正弦曲线，因而又在“情理之中”。美妙的感觉也就油然而生了。
每个喜欢数字的人，都曾感受到那样的时刻：一条辅助线使无从着手的几何题豁然开朗，一个技巧使百思不得其解的不等式证明得以通过，一个特定的“关系—映射—反演”方法使原不相干的问题得以解决。这时的快乐与兴奋真是难以形容，也许只有用一个“妙”字加以概括。这种美妙的意境，会使人感到天地造化数学之巧妙。数学家创造数字之深邃，数学学习领悟之欢快。达到这一步，学生才算真正感受到数学美的真谛，被数学所吸引，喜欢数学，热爱数学。
第4个层次：完美 数学总是尽力做到至善至美、完美无缺。 这也许是数学的最高“品质”和最高的精神“境界”。从大的方面看，欧氏几何公理体系的构建，数学家通过300余年的努力来证明费马定理， 陈景润对歌德巴赫猜想的苦苦追求，都是追求数学“完美”的典型事例。从小的方面说，我们解一个方程，不只是要回答是否有解，也不只是找到一个解了事，而要证明它确实存在解，知道有多少个解，最后还要把它们一一找出来，一个都不能少。二次曲线标准方程，既有圆锥曲线的优美，又有数形结合的风采；既有启迪二次型的数学底蕴，更有描摹天体运动的功能，确实是一件完美的科学杰作。江苏的周建华老师告诉我，一个学生在用几何画板找到“2 动点分别在抛物线和椭圆上所成连线的中点轨迹”时，在计算机面前呆呆地欣赏，久久不肯离去。周老师认为：“数学美使这位同学的心灵受到震撼。”
在数学课堂教学中，需要有目的地展现和欣赏数学美。大手笔的数学创造，正如一幅“泼墨画”；而精细的数学技巧，则恰似一幅“工笔画”。项武义教授提倡“返璞归真”、“平实近人”，恰似一幅“古朴的人物画”，寥寥数笔，活灵活现。费马大定理的证明，犹如一幅历史题材的“油画”，深沉凝重，令人肃然。数学的美学风格，和艺术风格是一脉相承的。徐利治先生早就把数学概念和诗的意境相结合（如借“孤帆远影碧空尽”[2]来描述极限），更是一种高品位的美学欣赏。 爱舍儿的数学画，显示出浓厚的哲学意味，而奇异的数学分形艺术则是20世纪计算机技术的产物。欣赏这样的数学艺术，如何在课堂教学中发掘数学的艺术魅力，在我国还没有得到应有重视，有关的研究和实践还很少。特别是当前数学教学中某种过度形式化的趋向，往往掩盖了数学的美丽色彩，遮蔽了数学文化光芒，以至丧失了数学教学的美育功能。把数学美的展示真正落实到课堂上，还有许多工作要做。有些地方采用“数学作文”的教学方式，让学生回味自己的数学美学体验，表达自己的数学美学感受，弘扬数学美学的文化价值，当是一种值得重视的经验。