日照市技师学院 山东 日照 276800
初中学习二次函数时已经作了较详细的讲解，但由于职业学校学生基础薄弱，又受其接受能力的限制，这部分内容的学习多是机械的、枯燥无味的，从本质上很难加以理解。升入职业学校以后，尤其是期末考试复习阶段，要对它们的基本概念和基本性质（函数图像、奇偶性、有界性、单调性）进行灵活应用，对二次函数还需再深入学习。
一、深层次理解函数概念
初中时已经初步学习了有关函数的定义，职业学校阶段在学习集合的基础上又学习了映射，接着再学习函数概念，现在是用映射观点来阐明函数概念，这就可以用学生已经学过的函数如二次函数加深认识函数的概念。
二次函数是从一个集合B（定义域）到集合C（值域）上的映射g:B→C，使得集合C中的元素y=ax2+bx+d（a≠0）与集合B的元素x对应，记为g（x）=ax2+bx+d（a≠0）。这里ax2+bx+d表示对应法则，同时也表示定义域中的元素x在值域中的像，从而使学生能够较明确地认识函数的概念。
在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理下列问题：
例1：已知g（x）=2x2+x+2，求g（x+1）。
这里不能把g（x+1）理解为x=x+1时的函数值，而要理解为自变量是x+1的函数值。
例2：设g（x+1）=x2-4x+1,求g（x）。
对这个问题理解应是，已知对应法则g，定义域中的元素x+1的像是x2-4x+1，求定义域中元素x的像，其实质是求对应法则。
一般而言有两种方法：
1.把所给表达式表示成x+1的多项式。
g（x+1）=x2-4x+1=（x+1）2-6（x+1）+6，再用x代x+1得g（x）=x2-6x+6。
2.变量代换：它的适应性强，可适用一般函数。
令u=x+1，则x=u-1 ∴g（u）=（u-1）2-4（u-1）+1=u2-6u+6，从而g（x）=x2-6x+6。
二、二次函数能准确反映学生的数学思维
例3：若二次函数g（x）=ax2+bx+c（a>0），方程g（x）-x=0的两个根x1、x2满足1/a>x2>x1>0。
1.若x∈（0,x1）时，则x<g（x）<x1。
2.若函数g（x）的图像关于直线x=x0对称，则x0<x2。
解题思路：
本题要证明的是x<g（x），g（x）<x1和x0<x2。
期刊文章分类查询,尽在期刊图书馆由题中所提供的信息可以联想到：（1）g（x）=x，说明抛物线与直线y=x在第一象限内有两个不同的交点；（2）方程g（x）-x=0可变为ax2+（b-1）x+1=0，它的两根为x1、x2，可得到x1、x2与a、b、c之间的关系式。因此解题思路明显有三条:
①图像法。
②利用一元二次方程根与系数的关系。
③利用一元二次方程的求根公式，辅之以不等式的推导。
现以思路②为例解决这道题：
（1）先证明x<g（x）。令g（x）=g（x）-x，因为x1、x2是方程g（x）-x=0的根，g（x）=ax2+bx+c，所以，g（x）=a（x-x1）（x-x2）。
由于0<x1<x2,所以,当x∈（0,x1）时, x-x1<0, x-x2<0，得（x-x1）（x-x2）>0。又a＞0,所以g（x）＞0,即g（x）-x＞0，从而证得x<g（x）。
由韦达定理得：x1x2=c/a。∵0＜x1＜x2<1/a，c=ax1x2<x=g（x1）。又c=g（0）,∴g（0）<g（x1）。根据二次函数的性质，曲线y=g（x）是开口向上的抛物线，因此，函数y=g（x）在闭区间[0，x1]上的最大值在边界点x=0或x=x1处达到，而且不可能在区间的内部达到；由于g（x1）>g（0），所以当x∈（0,x1）时g（x）<g（x1）=x1，即x<g（x）<x1。
（2）函数g（x）的图像的对称轴为直线x=-b/2a,且是唯一的一条对称轴，因此，依题意得x0=-b/2a，因为x1、x2是二次方程ax2+（b-1）x+c=0的根，根据违达定理得：
x1+x2=-（b-1）/a，
∴x0=-b/2a=1/2（x1+x2-1/a）<x2,即x0=x2。
三、二次函数的最值与图像、单调性
在职业学校阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+d在区间上的单调性的结论用定义进行严格论证，让其建立在严密的理论基础上，同时进一步利用具有直观性的函数图像配以适当的练习，让学生逐渐地利用图像学习、理解二次函数有关的函数单调性。
例4：画出下列函数的图像，并通过图像研究其单调性。
1.y=|x2-1|。
2.y=x2+2|x-1|-1。
3.y=x2+2|x|-1。
在这里要让学生一定注意这些函数与二次函数的联系与差异，熟练掌握用分段函数去表示含有绝对值记号的函数，进而画出函数图像。
二次函数有着丰富的内涵和外延。尤其是最基本的幂函数，可用它为代表来研究函数的性质，并建立起方程、函数、不等式之间的联系，可以拟出灵活多变、层出不穷的数学题目，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答问题的过程中区分学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。
二次函数内容繁杂，就讨论这些，望各位教师在职业数学教学中多关注探讨这方面的知识，让我们对它有更深入的研究。
论文作者:高健飞
论文发表刊物:《教育学文摘》2016年5月总第192期
论文发表时间:2016/5/27
标签：函数论文; 调性论文; 图像论文; 学生论文; 定义域论文; 职业学校论文; 数学论文; 《教育学文摘》2016年5月总第192期论文;