李崇吉
摘要：培养学生的创新意识和创新能力是课改研究的重要课题。在平时的数学教学过程中，教师应紧扣教材、习题，深入研究挖掘，通过不同的途径，培养学生的创新思维。“自定义”函数从函数的具体内容，通过函数的定义、单调性、奇偶性、周期性、对称性等分析总结，最终转化到函数的应用上。这一过程体现了数学灵活的特点及化归的思想，激发了学生思维的灵活性、创造性，有利于学生创新能力的培养，从而提高了数学的教学质量。
关键词：创新意识；“自定义”函数；函数的应用；创新思维；教学质量
没有给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊的条件，这里我们暂且将这类函数称之为“自定义”函数。“自定义”函数，学生难以理解，接受起来困难；因为“自定义”函数，它不仅形式特殊，而且蕴藏的内容丰富，学生无固定模式可套；教师在讲解“自定义”函数时难以处理，何时讲授，采取什么方式，都感到茫然无序。下面就“自定义”函数的教学谈谈自己的几点看法：
一、加强对“背景”函数的揭示，暴露 “自定义”函数的形成过程
人们对事物的认识，总是建立在感性认识的基础上，通过抽象概括上升为理性认识，最终揭示事物的本质。在“自定义”函数的教学中，可通过对“背景”函数的揭示，例如：在学习新的“背景”函数时，向学生介绍相应的“自定义”函数，使学生有一个初步的印象，认识到为什么要学习“自定义”函数，使学生明白“自定义”函数并不是深不可测，可望而不可及的。它只不过是“背景”函数的变形、扩充而已，这样就更加有利于学生对“自定义”函数的接受、理解。下面是一些常见的“背景”函数与“自定义”函数的关系表：
下面先看一道试题：
设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意的x1、x2∈[0,]时都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2)；(1)设f(1)=2，求f()、f()；
分析：显然是从“背景”函数，指数函数的“自定义”变形而得到的。
解析：当x1、x2∈[0,]时都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2)，可设f(x)=ax,从而易求得f()=，f()=。
二、重视对习题及试题的深化、引申，培养学生思维的深刻性
创新教育是素质教育的灵魂。教师在数学教学过程中，要讲清原始思想，分析透彻解决问题的思路，还应通过对问题的多角度审视，将原问题引申为生动活泼的数学思维创造活动，让学生直接参与到探求思路的整个过程中，使教师的行为转化为学生的活动，充分调动学生大脑的积极性，集中精力于创造构想中。
下面先看一道试题：
设y=f(x)是定义在实数集上的函数，则函数y=f(x-2)与y=f(4-x)的图象关于（）对称
（A）直线x=0 对称 （B）直线x=1 对称
（C）直线x=2 对称 （D）直线x=3 对称
分析：在评讲过程中采用取特殊函数法、函数图象变换法等方法。
讲完该题后，通过引导、讨论及探索，得到了下面几个一般性结论：
1.定义在实数集上的函数y=f(x)，函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图象关于直线x=
对称。
2.定义在实数集上的函数y=f(x) ，函数y=f(a+x)与y=–f(b-x)的图象关于点（,0）成中心对称。
3.定义在实数集上的函数y=f(x) ，满足f(a+x)=f(b – x)，则y=f(x)的图象关于直线 x=对称。
4.定义在实数集上的函数y=f(x) ，满足f(a+x)=–f(b – x)，则y=f(x)的图象关于点（,0）成中心对称。
5.定义在实数集上的函数y=f(x)，满足f(a+x）=f(x–b)，则y=f(x) 为周期函数且T=a+b
由此可见，通过问题的引申与多角度的思考，使学生的探索活动有了指引的方向，也就增加了驱动力，更使学生的创造能力得到提升，使学生对“自定义”函数问题有了进一步的理解。
例：定义在实数集上的函数y=f(x)满足f(x–1)=f(x+1)和f(1–x)=f(1+x),且在[-1，0]上单调递增，设a=f(3),b=f(),c=f(2), 则 a、b、 c的大小关系为（ ）
分析：∵f(1-x)=f(1+x),由结论“y=f(x)的图象关于直线x=对称”；
可知：y=f(x)的图象关于直线x=1对称；又∵f(x-1)=f(x+1), 由结论“y=f(x)为周期函数且T=a+b”；
可知：y=f(x)的图象是以T=2为周期的函数，∴f(3)=f(2+1)=f(1)；
又∵f(1-x)=f(x+1)、f(x-1)=f(x+1),∴f(1-x)=f(x-1)=f[-(1-x)],即f(x)为偶函数；
而f(x)在[-1，0]上单调递增，∴f(x)在[1，2]上也单调递增；
又∵ 2 >>1，∴f(2)> f()> f(1)=f(3)；
即c> b> a 。
教学实践表明：通过上述的训练，无论从内容上还是方法上，都起到了固本拓新之用，收到了“秀株一枝，嫁接成林”的效果，对培养学生的创造能力是大有裨益的。
三、加强数学思想方法的渗透，培养思维的灵活性
“自定义”函数问题中，隐含着丰富的数学思想方法，例如：特值代入、特殊函数、利用单调性等价转化、利用对称性数形结合、利用奇偶性整体思考、利用周期性回归已知、利用递推式归纳猜想、利用合理赋值构造方程等。教师实施教学时，要注意渗透数学思想方法，有助于训练学生思维的严谨性、直观性、可逆性和灵活性，进一步优化了学生的思维品质。
例：已知函数y=f(x)是定义在(0,+)上的增函数，对x1 、x2∈(0,+) 都有f()=f(x1)– f(x2)，f(3)=1，求解不等式f(x)–f()≥2。
分析：利用“背景”函数进行转换。
解析：∵x1 、x2∈(0,+), f()=f(x1)-f(x2),∴f(x1)=f()=f(x1)–f(1), ∴f(1)=0
f(x1x2)=f()=f(x1)–f()=f(x1)–f(1)+ f(x2)= f(x1) +f(x2),（对数“背景”函数进行转换）
∴f(x)- f()=f()=f[x(x –5)]≥2=2f(3)=f(3)+f(3)=f(9)（转化成已知条件f(3)的值）
x＞0
∴x–5＞0， ∴x≥
x(x–5)≥9,
可见，当“自定义”函数不是学生熟悉的基本“背景”函数时，应启发学生通过适当变通，去寻找基本的“背景”函数，使“自定义”函数问题得到解决，这对优化学生的思维品质也是大有帮助的。
四、提供“类比联想”的思维时空，引导思维的正迁移
类比联想能扩大学生的认识领域与感知，使学生从类比对象的解决方案中得到启发，使学生从对一类事物（或个别事物）的认识推移（或推广）到另一类事物（或一般事物）的认识，教师应充分发挥类比联想等方法，引导学生由旧知识向新知识正迁移，从而使问题得到解决。
例：设函数f(x)定义在实数集上，对任意实数x、y都有：f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且存在正数c使f()=0，试问f(x)是否为周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由。
分析：由于该题不易发现f(x)是否为周期函数，更难找出它的一个周期。特殊探路，联想三角公式，不难推测f(x)是以2c为周期的函数。
通过剖析具体实例，大胆类比，精心联想，探索出“自定义”函数的结论，为解题指明了方向，开辟了道路。
五、倡导“正难则反、逆推反证”，改变思维定势
任何事物都有正反两个方面，解“自定义”函数问题时也是如此。当遇到有些问题从正面考虑非常繁琐，一时难以解决时，我们应不失时机地引导学生改变思维定势，进行逆向思维，这样的证法简捷、解题思路清晰，可有效地提高学生的思维能力，培养学生的创新意识。
例：已知函数f(x)在区间( 上是增函数，a、b∈R，(1)证明：若a+b≥0，则f(a)+f(b) ≥f(–a)+f(–b)；(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立？并证明你的结论。
分析：欲判断命题“若f(a)+f(b) ≥f(–a)+f(–b)，则a+b≥0”的正确性，正向推理，不易用上题设条件，转向逆向思考，得出(1)中命题的逆命题正确。
六、注重“挖掘隐含、分类讨论”，培养思维的严谨性
隐含条件是已知本身包含但未明确给出的条件，通过挖掘隐含条件，可使解题的思路越来越清晰；而分类讨论则是为了解决各种因素制约着的数学问题，使原本变换不定的问题，分解成若干个相对确定的问题，再各个击破，从而获得完整的解答。
例：设f(x)是定义在(-上的增函数，问是否存在实数k,使不等式：f(k+sin2x) ≥f[(k –4)(sinx+cosx)]对任意的x∈R恒成立？并说明理由。
分析：设sinx+cosx=t,则sin2x=t2–1，原不等式对一切x∈R恒成立等价于不等式u(t)=t2–(k– 4)t+(k–1) ≥0对任意t∈[–]恒成立。下面分三种情况讨论：
(1)当△＜0时；(2)当△=0时；(3)当△＞0时，综合(1)、(2)、(3),得k的取值范围为：[2，9+5]
对于含参数的“自定义”函数的综合题，通过引导挖掘隐含条件，寻求分类标准，逐类讨论，分而治之，是解决“自定义”函数问题行之有效的途径。
总之，“自定义”函数是中学数学中的一类重要的函数，其形式特殊，内容丰富，在各类考试题中经常出现。但是，在现行的教材中，对“自定义”函数，没作系统的介绍，所以对“自定义”函数进行研究与探讨是很有必要的，也是我们每个数学工作者必须认真思考的问题。
(作者单位：广西北海市铁山港区南康中学 536017)
论文作者:李崇吉
论文发表刊物:《中学课程辅导·教学研究》2015年5月中供稿
论文发表时间:2015/7/14
标签：函数论文; 自定义论文; 实数论文; 学生论文; 对称论文; 思维论文; 图象论文; 《中学课程辅导·教学研究》2015年5月中供稿论文;