如何培养高中学生的运算能力，本文主要内容关键词为：高中学生论文,能力论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
运算能力是数学的基本能力，高中数学课程标准在课程目标中把“运算求解”作为基本能力、“数学思维能力的具体体现”[1]，放在优先发展的位置.高考对运算能力的考查主要是对算理和代数推理的考查，以代数运算为主，同时考查估算、简算；对运算能力的要求可以概括为“准确、熟练、合理”六个字，重在算理和算法，并且对运算的灵活性和适应性也有一定的要求.可是，现在高中学生的运算能力令人不安，不少学生缺少基本的运算能力和意志品质，不能适应“能力立意”的新高考，也不利于解决未来发展中的实际问题.那么如何培养高中学生的运算能力呢？结合教学实践，本文谈点体会，不妥之处，权当是教学争鸣. 一、提高认识，培养积极的运算心理 从心理学的角度来看，运算过程就是解题者面临新的问题，而自己没有现存对策或处理方法时所引起的寻求解决问题办法的一种心理活动的过程.这个过程，主要是思维过程，它是通过分析、综合、比较、抽象和概括等一系列过程来完成的，其中动机、兴趣、意志、毅力等非智力因素为特征的运算心理是维系运算的动力系统. （一）认识运算能力的层次性，克服一步到位思想 不同类别的运算是由简单到复杂、由具体到抽象、由低级到高级逐步形成和发展起来的，不掌握有理数的计算，就不可能掌握实数的计算；不掌握数的运算，就不可能掌握向量的运算；没有具体运算作基础，抽象运算就难以实现等.运算能力是随着知识面的逐步加宽、内容的不断深化、抽象程度的不断提高而逐步发展起来的. 例1 已知集合A=｛x|3≤x＜7｝，B=｛x|2＜x＜10｝，求
. 此题是课本[2]习题1.1A组第10题的一部分，是学生进入高中学习后遇到的第一个“复杂”运算.学生解答此题时，喜欢一步到位，直接得到结果.结果是五花八门，漏洞百出.与实数运算不同，解答此题时，不但要利用“运算法则”，而且要利用数轴、数形结合的思想方法.教学时，教师不但要示范运算过程，而且要突出数形结合思想方法在其中的地位和作用，引导学生认识集合运算与实数运算的区别，理解运算的层次性，重视运算程序和规范，自觉地接受“运算的逐步加宽、内容的不断深化、抽象程度的不断提高”. 对于每一次学习的新的运算，都要引导学生分析它与前面相关运算的关联与区别，使学生从中经历分析、综合、比较、抽象和概括等一系列过程，克服一步到位的思想，逐步认识到运算的层次性，按照课标要求，进行一次次运算升级. （二）认识运算能力的综合性，自觉夯实数学基础 运算能力既不能离开具体的数学知识而孤立存在，也不能离开其他能力而独立发展.运算能力是和空间想象、抽象概括、推理论证、数据处理等基本能力相互渗透的，它也和逻辑思维能力相互支持着. 例2 求函数
的定义域. 此题是课本[2]习题2.2A组第7题（2），很少学生得到正确答案：
究其原因，运算涉及二次根式的概念、对数函数的定义等知识，与对数的运算性质、函数的单调性、求定义域的“运算法则”等相关，与记忆能力、观察能力、理解能力、联想能力、表述能力等相互渗透，是综合心理活动的产物，哪一点出了问题，都会导致运算结果的错误.教学时，教师不但要示范运算过程、“算法”，而且要分析其中的“算理”，进行必要的知识“盘点”，引导学生认识运算的综合性，激活以学生的动机、兴趣、意志、毅力等非智力因素为特征的运算心理，促进他们自觉地夯实基础，关注相关能力的训练.必要时，还可以安排相应的变式练习，使学生面临新的问题，有自己的对策或处理方法，在选择算法的过程中，领悟算理，认识运算的层次性和综合性，有更多的机会获得成功的体验，增添运算信心，建构运算的心理和见识. 二、有效训练，培养良好的运算习惯 从数学学科角度来看，运算过程就是解题者分析运算条件，探索运算方向，选择运算公式，确定运算程序等的过程.作为思维活动的这一系列过程，反映在信息上是信息的收集、储存、加工和应用的过程，往往是习惯在发挥作用. （一）暴露问题，培养认真审题的习惯 所谓审题，就是弄清题意，这是解题、运算的起点，即解题、运算的第一阶段.在这个阶段，解题者必须了解问题的文字叙述，剖析出问题的主要部分，把由文字、符号、图表等发出的信息正确地接收下来，审清问题的结构特征，辨明题型，为选择解法、运算提供决策的依据. 例3 在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度vm/s和燃料的质量M kg、火箭（除燃料外）的质量m kg的函数关系是v=2000ln(1+
)，当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭最大速度可达12km/s？ 学生1：由12=2000ln(1+
)，得
. 此题是课本[2]习题2.2A组第9题.教师让学生1板书在黑板上，组织学生观察、思辨.其实，在题目给出的函数关系v=20001n（1+
）中，与质量M、m的单位kg匹配的速度v的单位是m/s，不是km/s，问题出在审题不清、没有进行单位换算.学生解题时，常常出现忘记单位换算、忽略括号内的信息、忽视隐含条件等审题不清的问题.每次作业批改后，教师都可以挑选部分关于这方面的典型问题，进行张贴、板书，暴露问题，使学生认识到审题的重要性和必要性，逐渐形成认真审题的好习惯.为把细节与细节之间、细节与整个问题之间联系起来，可以要求学生审题时动手标出关键词，列出数据，画出图表等. （二）说出算理，培养步步有据的习惯 探索解题、运算途径，是解题、运算的第二阶段.在这个阶段，解题者的主要任务就是在审题的基础上分析运算条件，探索运算方向，确定运算程序等.
其实，每学习一个新的算法，都应该引导学生分析其中的算理，要求学生能够说出其中的算理.多几次实践，学生才能体会到课本中的“运算律是运算的灵魂”，才能关心算理、养成步步有据的运算习惯. （三）交流解法，培养追求优解的习惯 实施解题、运算程序，是解题、运算的第三阶段.在这个阶段，解题者依照自己设计的解题、运算程序（有时尽管还有些模糊），实施运算程序、表述解题过程.一个问题可以有多个思维起点，产生多向联想，得到多种解法. 例5 求过A（-1，5）、B（5，5）、C（6，-2）三点的圆的方程. 这是课本必修2第124页习题4.1第2题（2）.题目给出后，教师让学生各显神通，独立进行解答，然后展示、交流解法.
学生5：弦AB的垂直平分线的方程为x=2，弦BC的垂直平分线的方程为x-7y+5=0.
教师：请你们分别说出解题依据、方法. 学生3：根据课本第119页例2的解题思路，选择圆的标准方程，运用待定系数法求解. 学生4：根据课本第122页例4的解题思路，选择圆的一般方程，运用待定系数法求解. 学生5：根据课本第122页例3的解题思路，先求圆心的坐标，再求圆的半径，最后写出圆的标准方程. 教师：很好！我不但关注解题依据、方法，更关注运算过程，请大家按照他们的思路“还原”运算过程，从中找出此题的最优解. 学生6：根据学生5的解法，只需解简单的二元一次方程组，计算量小一点，解法优. 学生7：学生4的解法直接、思路简单，是解简单的三元一次方程组，解法更优. 学生8：学生3的解法直接，表面上有二次方程，实际上也是解一次方程组，解法也不错. 教师：大家说得都有理，就本题而论，运算优势不够明显，还与各自算法熟练程度有关“条条道路通罗马”，不是运算求解的方法不重要，而是关注求解方法优劣的意识更重要，数学是科学，有些问题并不是靠“蛮力”可以解决的呀！ 点评：（1）让学生按照自己的理解独立解题，没有限制学生的思维活动，有利于得出不同解法；（2）不管对错，给不同解法亮相的机会，有利于增加学生的观察“视点”、交流解法；（3）不但要给出解题过程，而且要说出解题依据、思路，有利于培养学生“步步有据”的思维习惯；（4）不但要阅读解题过程，而且要按照同学们提供的方法运行“运算”程序，有利于训练运算能力、检验运算结果、增加活动经验；（5）比较多种解法，有利于培养学生追求优秀解法的意识，也有利于形成问题的基本解题思路和方法. （四）及时示错，培养解后验算的习惯 解题后，进行解后分析，这是解题、运算的第四个阶段，其中验算就是其中的一项重要内容.要检查计算的结果是否有误，是否符合题意、客观实际等.
此题是经典题目，学生9板书在黑板上后，教师让大家一起验算、分析. 学生10：这个结论是错误的，正确的答案是5.为什么会出现这种错误呢？开始，我对“一正二定三相等”并不理解，且对“当且仅当sinx=2时上式取等号”也习以为常…… “一语惊醒梦中人”.发现这种错误时，仅仅个别指出是不够的，要及时安排有关学生进行展示，把错误晒在“阳光”下，组织学生进行研讨，分析产生错误的原因，以及产生这种“低级错误”的非智力因素，并且从中引导学生自己总结出解题规律.只有这样，他们才能理解“一正二定三相等”的含义，才会真正关心解后验算. 值得一提的是要讲究示错的方式、方法，不能使犯“错误”的学生背上思想包袱.同时，示错也可以由“低级错误”向“高级错误”过渡，使更多学生认识到验算、解后分析的重要性和必要性，自觉地养成解后验算的习惯，逐步提高思维的批判性和解后分析的水平. 三、整体设计，培养运算的智力品质 从数学教学角度来看，运算过程就是解题者积累经验、调整状态、发展智力品质的过程.在思维活动的这一系列过程中，在知识体系上就是知识的联系、转换和运用的过程；在策略上就是运算方法的选择和调整过程.智力因素是维系运算的技术系统，运算品质是运算中的智力品质，它包括运算的目标性、合理性、敏捷性、灵活性、独创性等方面.高中数学教材中的运算素材是多方面的，对学生运算的智力品质要求是不同的，有不同的教学价值，应该整体设计，有侧重地进行突破，以培养学生运算的优秀智力品质. （一）抓好对数运算，培养运算的目标性 对数的运算是为学习对数函数服务的.虽然教材的要求并不算高，但是，由于学生对对数概念的理解不够到位，学生解对数运算问题时出错比较多. 例7 已知lg2=a，lg3=b，求
15的值. 这是课本[2]习题2.2A组第4题的变式题，学生做到
就做不下去了，原因是对于lg5不知怎样变形、目标迷失.教学时，只要追问学生：5、2与10关系如何？学生会恍然大悟：lg5=lg
=1-lg2问题便迎刃而解，转化与化归思想也就在其中了.其实，对数运算目标非常明确，为得到结果，就是要将式子向底的对数、1的对数转化，而实现这种转化的依据就是三条对数运算性质和换底公式.这是转化与化归思想在运算中的最好体现.抓好对数运算，要求逐渐渗透这种数学思想；也只有抓好对数运算，才能理解、体会这种数学思想.在学生数学运算“升级”的关键时刻，培养学生运算目标性的智力品质，凸显引进对数运算的教学价值. （二）基于向量表示，培养运算的合理性 向量是既有几何特征，又有代数特点的量，向量运算取决于向量的表示，“运算律是运算的灵魂”.
（三）立足三角变换，培养运算的敏捷性 三角变换包括变换的对象、变换的目标，以及变换的依据和方法等要素，是高中数学中培养运算能力的重要载体.对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点，也是学生难以驾驭、感到困难的原因. 例9 求证：
. 这是课本必修4第142页练习第1题.当学生难以下手时，可以引导学生作如下分析：“连等式”中，有关于三角“整式”“分式”的差异，还有“半角”“单角”的差异，以及正切与正弦、余弦三角函数种类的差异，恒等变换的目标就是要消灭这些差异.
其中，同角公式、二倍角公式等三角公式，是消灭这些差异的依据.通过这样具体例子的引导，分析三角恒等变换所需要的智力因素，使学生切实体会其中蕴含的化归思想和变换策略，而不是滋生畏难情绪：练习题第1题就不会做.必要时还可以安排配套练习：（1）求证：
；（2）已知
的值.多几次这样的配套练习，使学生亲自体悟在变换目标引导下，三角公式的正用、逆用、变用、联用和活用，培养运算的敏捷性，凸显三角变换的基本价值. （四）发掘基本不等式，培养运算的适应性 基本不等式：
≥
（a、b＞0，当且仅当a=b时等号成立），学生不把它当回事，一下子不能接受它是一个公式、是解决不等问题的依据的事实.教学时，不但需要证明、揭示它的几何背景，而且需要引导学生去欣赏，发扬、发掘它的潜在价值：当ab为定值时，从左至右具有缩小功能，可以求出a+b的最小值；当a+b为定值时，
，从左至右具有放大功能，可以求出ab的最大值. 例10 已知x、y＞0，且3x+5y=15xy，则5x+3y的最小值为________.
辅助性题目，既是给学生架设的思维“脚手架”，也是一种适应性训练.通过练习，学生不但认识到利用基本不等式求最值的条件：“一正二定三相等”，而且能够理解放缩的技巧在“定”、创造定值的条件，为后续学习柯西不等式、排序不等式等创造了条件、奠定了基础. 放缩变形是求最值、求范围、解不等式、证不等式的基本方式，它与基本不等式既有关联又有区别.常用的放缩变形方法有增减项放缩、利用重要不等式放缩、利用函数单调性放缩等.教学时，需要整体规划，有计划地开展针对性训练，使学生尽快适应这种变换，逐步把握这种变形方法，凸显放缩变换的教育价值. （五）突出导数计算，培养运算的灵活性 向量、不等式、导数，被誉为解决高中数学问题的三大工具，其中导数是研究函数单调性、解决与函数单调性相关的零点和最值等问题的重要工具. 例11 设L为曲线C：y=
在点（1，0）处的切线. （1）求L的方程； （2）证明：除切点（1，0）外，曲线C在直线L的下方. 此题为2013年高考北京理科数学第18题，属于中档题.解答此题，准确、熟练地求出函数的导数是重要的一步.虽然本题中求函数的导数计算量不大，但是当函数解答题靠后时，往往函数表达式较复杂，且其中含有参数，计算量不小，如果导数求错，那么会导致后面的代数推理出错.因此，平时教学中，一定要突出导数的计算，不但要让学生理解算理（导数公式、导数运算法则、复合函数的导数运算法则），而且要让学生具有运算的灵活性，把函数表述式先化成方便用公式、法则的形式后再求导，使学生突破导数运算关.其次，合理地构造函数是关键的一步，它不但涉及求导数的计算问题，而且关系到问题等价转化的方向问题.因此，平时教学中，要立足于导数的物理背景（瞬时速度）和几何背景（切线的斜率），在过程中发生转化方法，使学生熟悉通常情况下如何合理构造函数、灵活地利用导数工具，凸显高中引进“导数及其应用”的教育教学价值. （六）把握思维特征，培养运算的独创性 解析几何解答题是学生运算的瓶颈，不少学生因为畏惧计算，而放弃解答. 例12 已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为切点，求
的最小值.
面对含有6个字母的式子，他做不下去了！ 教师：之所以会出现这种现象，就是由于没有深刻领会解析几何的思维特征——用代数方法研究几何问题.既然如此，为了摆脱困境，不妨弄清题目条件中几何图形的具体特征有哪些，然后逐一用代数方法翻译出来，同时结合目标式（*）的结构特点，代入化简.
解析几何问题，除要掌握直线与圆、圆锥曲线、曲线关系问题解题的一般套路，求方程、联立方程组消元得到一元二次方程等运算要过关外，关键是要让学生把握解析几何问题的思维特征，面对“多元”、“高次”、思维受阻等问题时，能够独当一面，紧扣题目中几何图形的具体特征，用代数的方法翻译出来，体现运算的独创性，突破解析几何的运算难关，凸显解析几何的思维价值. 数学离不开运算，下一步推理方向往往取决于当前的运算结果.培养运算求解能力，应该关注“积极的运算心理、良好的运算习惯、运算的智力品质”三个维度；应该充分利用教材的相关内容，整体规划，阶段突破，逐渐升级.
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