渗透何种数学思想更有效？——数学广角“植树问题”教学尝试与思考，本文主要内容关键词为：数学论文,广角论文,更有效论文,思想论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
每年一次的马鞍山市小学教学研究周如期举行。在这次研究周上，我们研讨了人教版《数学》四年级（下册）数学广角中的“植树问题”。执教教师在前两轮试教中的目标定位是渗透化繁为简和数学建模的数学思想方法，并用两节课分别对“两端都种”和“两端都不种”的情况展开了研究。虽然课堂教学中没有暴露明显问题，但教学后测时发现学生对相关植树问题的解决能力较差。
于是，我们首先结合自身在解决这一类问题时的思考情况，对教学内容进行了重新审视。我们自己在解决类似问题时，并不会去思考这是属于植树问题的哪种情况，哪个量看作间隔，哪个量看作树。因此，我们认为在植树问题中构建的数学模型运用起来比较麻烦，增加了学生的思维负担。另外，目前在植树问题的课堂教学中普遍只重视运用不完全归纳法得到数学模型，却忽略对数学模型的深层次理解，从而导致学生对关系式的生搬硬套，运用时错误百出。
根据以上思考，我们对教学内容作了相应的调整，把植树问题的三种情况安排在一课时完成；在教学目标的制定上，除了基本的知识目标外，把一一对应、数形结合的数学思想方法作为探究植树问题的基本思想方法。这样构建的植树问题三种情况下的数学模型都可以用一一对应的数学思想来理解。
以下由马鞍山市金瑞小学王勇老师执教的“植树问题”就是基于上述思考所做的教学尝试。
第一环节：创设比赛情境，激活一一对应思想
师：同学们，今天老师给大家带来两位好朋友，（出示：喜羊羊和美羊羊两种卡通图片）下面分两组比赛，第一组看图1，第二组看图2，回答各组看到的图中喜羊羊和美羊羊哪个多。
图1
图2
学生完成后老师宣布：第二组回答得又快又准，获胜。第一组同学不服。
师：为什么？
第一组学生：比赛不公平。我们看到的图片太乱了，不好数；给第二组看的图片是一对一对出示的，一眼就能看出一样多。所以不公平。
教师评价总结：是的，一个对一个数，很好比较。那我们就用这种方法再比一比，好吗？
出示：（为了记录的方便，笔者把喜羊羊用口表示，美羊羊用○表示）
(1)○□ ○□ ○□…○□
(2)□○ □○ □○…□○ □（师：如果有500个□，那么○有多少个？为什么？生（齐）：500-1=499个。）
(3)○□ ○□ ○□…○□ ○（师：如果有500个□，那么○有多少个？为什么？生（齐）：500+1=501个，并能说出理由。）
师：这种一个对着一个比的方法，我们称为一一对应，今天我们就用这种方法来研究植树问题，比较树的棵数和树之间的间隔哪个多。
［思考］
可以说，一一对应思想对于学生来说是不陌生的。小学一年级起学生就有接触，如：人教版《数学》一年级（上册）“比一比”中，四只小兔搬运四块砖，小兔的数量和砖的数量是相等的，即一只兔对应一块砖。这应该是最早的一一对应思想的渗透了。
本节课的导入分为两个层次：第一个层次是创设比赛情境。教师运用学生熟知的动画形象，激发学生的兴趣，通过不公平的比赛，“制造”了矛盾冲突，让学生对一一对应的思想有种很强烈的刺激，激活了学生已有的数学经验。第二个层次是出示三组比多少的问题。这个环节完成得比较轻松，学生运用刚刚被激活的一一对应的思想方法顺利解决了问题，而且正确率高，这就进一步突出了第一层次的作用。到这儿，学生对一一对应的数学思想有了一个新的认识，并能主动运用这种思想方法解决一些简单的问题，为下个环节的学习做好了思想方法上的准备。
第二环节：探究植树问题，体验数形结合和一一对应思想
实录一：通过画直观图形成表象，初步运用一一对应的思想方法。
师：下面我们来模拟植树。
幻灯片出示：在一条20米长的小路一边，每隔5米种一棵树（两端都要种），一共要种多少棵树？
要求：在画有一条20米长的小路示意图的作业纸上，用“｜”表示小树，用“_”表示树和树之间的间隔，画一画这条路上可以栽几棵树。
交流汇报：学生画出的图形，主要是
师：种了几棵树？你种的树和间隔哪个多？ （生答略。）
师：除了可以用数的方法知道哪个多，还可以怎么想？
生1：前面4棵树每棵后面都有间隔，最后1棵树后面没有间隔，所以树比间隔多1。
生2：我是这样看的，后面4棵树的前面都有间隔，第1棵树的前面没有间隔，所以树多1。
师：都是用一个对一个的方法比较出了树比间隔多1。
师：你能试着列式解答吗？
生：20÷5=4（个），4+1=5（棵）。
（着重让学生再说一说4是什么。4是间隔数也就是段数。）
［思考］
这道题目是教师为了降低教学难度而设计的过渡题。由于题目中的数据不大，学生在画图、计算上会相对容易一些。这样，就有更多的时间去思考数量之间的关系。在这个环节中，学生画图和回答时，都能自觉运用一一对应的思想。学生直观体会到，两端都种树时，最后（或最先）种的这棵树没有间隔和它对应，也就是树的总数比间隔数多了1。这是学生在画图后用一一对应方法比较的过程中自然形成的结论。这样的结论，学生记得清，记得牢，也不怕忘，一旦忘记了，只要再画一画、想一想就清楚了。
这部分的设计还有一个要提到的就是“画图法”，这也是本节课要渗透给学生的一种解决问题的思想方法——数形结合的思想。教师出示题目后，没有着急演示，而是给学生提供了学习纸，让学生在纸上“模拟植树”。虽然这不是真实的植树，但学生在画的过程中也体会到植树中的数学问题：种一棵树要有一个间隔，一棵树和一个间隔是一对一对出现的，如果棵数和间隔数不能一一对应，那么棵数和间隔数就不相等，而这一点恰好是植树问题的关键所在。
实录二：画抽象图，突出一一对应的思想方法。
师：如果小路有100米长呢？你能在图上画一画一共能种多少棵树吗？
（黑板上有教师课前画好了的100米路的示意图
）
一名学生在黑板上板演：画一棵树，再画一个间隔，画到省略号处，跳过去，再接着画一棵树，再画一个间隔，直到画上最后一棵树。学生完成后，教师组织全班交流（交流中配合多媒体演示）。
师：是树多还是间隔多呢？
生：树的总数量还是比间隔数多1，因为最后一棵树后面没有间隔和它对应了，前面都是一棵树对着一个间隔的。
师：中间的树和间隔都没有画出来，你能肯定树比间隔多1吗？为什么？
生：能肯定！中间不管有多少棵树，前面所有的树后面都有一个间隔，只有最后一棵树的后面没有间隔。
生：也可以认为是前面的一棵树没有间隔和它对应，多了1棵树。
师：请同学们都想一想是不是这样呢。（学生思考后都表示同意）怎样列式呢？
生：100÷5=20（个），20+1=21（棵）。
师：20是什么？为什么要加1？
生：20是间隔数（段数），一棵树对应一个间隔，最后多一棵树，所以要加上1。
［思考］
此例题把上一题中20米的小路变成了100米，从难度上来说没有变化，但是画图时通常不会把21棵树都画出来。这样，图形就变得相对抽象，学生不能用直观的方式数出间隔数和树的棵数之间的关系，只能通过一一对应来判断两个量的多少，凸显了一一对应的思想方法，“逼着”每个孩子都运用这一方法思考。当学生认识到“中间不管有多少棵树，前面所有的树后面都有一个间隔，只有最后一棵树的后面没有间隔”时，就为学生独立运用一一对应的方法来探究另两种植树问题打下了坚实的基础。笔者认为，此例题是对上一题在某种程度上的重复和延伸，它既有利于渗透科学的寻找规律的方法（在多个不同的事件中发现不变的规律），又关注了大部分学生的接受能力，是有必要的，也是必须的。
实录三：运用一一对应的思想方法解决另两类植树问题。
师：同学们真会思考！运用了一个对一个的方法，通过画图模拟植树解决了问题。那么，下面同样是在100米长的路的一边种树，有什么不一样？
生：有房子的地方不能种树。
师：是的，也就是一端种树，刚才那种是两端种树，那下面这种呢？
学生异口同声：两端不种树。
师：两端种树，树比间隔多1。那么，这两种情况下，树的棵数和间隔数会是怎样的关系呢？请同学们运用刚才的方法，在纸上再画一画，并在小组内讨论。
（学生活动略。）
生1：一端种、一端不种时，每棵树都对应着一个间隔，树和间隔一样多。
生2：两端都种时，树比间隔多1，去掉一端多出来的那棵树就变成了一端种、一端不种的情况，树和间隔就一样多了。
生3：两端都不种时，开始的那个间隔没有树和它对应，间隔比树多1。
生4：两端都种树时，树和间隔一对一对地圈起来，会多出最后的1棵树；两端都是间隔时，间隔和树一对一对地圈起来，会多出最后的1个间隔；一端是树、另一端是间隔时，树和间隔正好可以一对一对地圈起来，树和间隔一样多。
……
学生汇报后，教师要求学生按照生4的发言在头脑中想象着圈一圈，也可以用自己喜欢的方法画一画。
学生尝试列式解答，师生共同板书解答过程。
［思考］
听了许多植树问题的课，第一课时一般只教学两端植树问题。在这节课上，老师有意识把另两种植树问题一并呈现，而且让学生根据自己掌握的方法，自己去研究它们。教师能放手让学生自主探究有两个基础：一是教学题材的一致性（都是100米长的路一边植树），使得学生思考问题时，不用重新解读，只需要辨别差异，降低了学生思考问题的复杂程度；二是学生从本节课第一环节起，就对一一对应的思想有了深切的体会，又在新知探索过程中，掌握了画图模拟植树的方法。
这个环节的教学可以起到“试金石”的作用，是对前面渗透数学思想方法效果的一次检验。由于前面学生在数和画的过程中，已经熟谙间隔与树之间的对应关系，因此，对一端不能植树，两端都不能植树时，间隔与树之间的数量关系能很快找到。三种情况下的数量关系统一于一一对应的思想方法之下，真所谓“提领而顿，百毛皆顺”。
这虽然是新课学习的最后一个环节，但教师并没有把学生总结出的数量关系板书出来，我们觉得这也是本节课的一个突破。教师尽量让学生通过数、画、想象操作的方式，积累数学活动经验，这样即便是关系式被遗忘、缺失、混淆，也可以再次通过画一画、数一数、想一想的方法重新找出规律来；更为重要的是，学生在遇到锯木头等相关问题时能够运用这样的思考方法解决问题。并且在后面的环节中，教师通过带领学生反思解决问题的过程，总结出本节课探索植树问题所采用的一般思想方法——画图和一一对应思考问题，把数学学习由学习结论转变为学习方法，这是一次比较成功的挑战。