优化教学，提高质量——对“数学广角”教学的认识和思考，本文主要内容关键词为：广角论文,数学论文,质量论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
与原义务教育教材相比，人教版课程标准小学数学实验教材渗透了一些反映数学思想方法的新的内容，如渗透了排列、组合、概率、统计、集合、统筹优化、数学建模、等量代换、抽屉原理、逻辑推理、数学编码等数学思想方法（主要安排在“数学广角”单元）。这是新课程增加的内容，其目的是让学生经历、感受和体会运用数学思想方法和策略解决问题的有效性，培养学生应用数学思想方法解决问题的意识和能力。当这些内容从少数精英学生学习的奥林匹克竞赛课堂走向全体学生学习的大众课堂的时候，无疑对教师和学生构成了前所未有的挑战。笔者在培训、教研、听课过程中发现，不少教师不具备这方面的知识，在教学中感到困惑，教学中存在不少问题。鉴于此，笔者谈谈对这部分教学的一些认识和思考。
一、目前存在的主要问题
（一）部分教师自身知识欠缺
教育改革对教师的专业素质提出了新要求，小学数学教师必须具备较高的数学专业素养，这是搞好教学的基本要求。然而，现实中存在教师专业素养偏低的状况。
2008～2009年，贵州省教科所开展了“贵州省义务教育阶段教学质量监测评估”研究工作，其中的一项内容就是对部分数学教师进行测试和问卷调查，以了解目前小学数学教师的数学专业素养。从测试情况看，涉及“数学广角”的题目，教师得分严重偏低。例如，不少教师在解答“从7人中选择3人参加活动，一共有几种选法”时，还是用类似学生“连线”的方法解决，由于数值较大，得出错误的结论。解决问题的思想方法还处于较低的层次。
通过问卷调查和座谈了解到，大约有30%的教师没有学过“概率与统计”，有40%的教师没有学过“排列与组合”“集合”，有90%的教师没有学过“统筹优化”“抽屉原理”……部分教师即使学过一些上面的内容，但早已忘记。
笔者在全国十余个省区培训时也了解到，不少教师欠缺“数学广角”这部分知识，不能很好地把握“数学广角”的教学，教师专业素养亟待提高。
（二）教师直接讲方法，没有学生操作和探究的过程
一些教师感觉这部分内容的教学难度较大，又不是主要“考试”范围，为“方便”“省事”，在教学时，采取灌输的方法，没有学生的探究过程，教师直接将方法教给学生，让学生死记。例如，在五年级下册“找次品”的教学中，一些教师认为学生根本探究不了，省略了学生的探究过程，直接将“要辨别的物体数量和找出次品需要称的次数的关系”呈现给学生，并要求学生死记硬背。如4～9个物品，至少称2次；10～27个物品，至少称3次；28～81个物品，至少称4次。
在没有学生操作、探究的情况下，学生对方法不理解，这种教学有悖于这部分内容的设计意图和教学目标。更有甚者，少数教师感觉教学难度较大，甚至放弃了这部分内容的教学。
（三）教学中没有注重方法的抽象概括，没有注重学生“模型”思想的培养
在教学中，一些教师没有注重方法的抽象概括，没有注重学生“模型”思想的培养，学生的抽象概括能力没有得到提高。例如，在排列组合教学中，一些教师只局限于一些具体问题的教学，而没有注重排列与组合思想方法的抽象和概括。如教师讲了衣裤的搭配，叫学生做另一道衣裤搭配的问题时，学生会做，但在做“选取同学参加活动”的问题时，学生却不会，说明学生没有掌握方法。再如，在六年级下册“抽屉原理”的教学中，教师没有注意“抽屉原理”模型思想的培养，学生只能依葫芦画瓢地解决最简单的问题（如，一眼就能看出“抽屉”和“物体”的问题），而对稍微复杂的“抽屉原理”问题或变式的“抽屉原理”问题往往无从下手。
二、对“数学广角”教学的认识和思考
（一）正确认识和理解教材
人教版“数学广角”内容为学生提供了新颖丰富的教学情境，让学生通过观察、猜测、试验、操作，感受和学习某些常用的有意义的数学思想方法，培养学生观察能力、归纳能力、推理能力，培养学生应用数学知识解决问题的意识和能力，体会数学思想方法解决问题的有效性和简洁性，体会数学与生活的密切联系以及数学优化思想在生活中的应用。
这部分内容形式新颖，趣味性强，密切联系生活，是人教版数学实验教材的一个亮点，同时有一定难度。在教学时，要让学生经历知识产生和探究的过程，重视对数学思想方法的真正理解和灵活运用。但由于不是系统学习这些内容，因此教师要把握好教学要求和难度。
（二）重视操作、观察、比较和探究
课程改革强调学生“知识与技能，过程与方法，情感与态度”三维目标的达成，没有一定的过程和方法，学生的知识技能目标、情感态度目标就不可能达到。数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上，教师应激发学生的学习积极性，帮助他们在自主学习和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。
因此，教学中要给予学生必要的操作时间和空间，在操作的基础上引导学生观察、比较、推理，让学生经历数学思想、数学方法探究的过程，这有利于数学思想方法的真正理解、掌握和运用。
例如，在进行四年级上册“烙饼”的教学时，首先要引导学生观察、理解情境图里的内容。在学生了解问题情境和需要解决的问题后，应先让学生独立思考、操作，再分小组讨论交流。在这一过程中，可以让学生用3本书来模拟烙饼的过程。在教师引导下，学生逐步探究出最优的方法。
再如，在进行五年级下册“找次品”的教学时，教师也应引导学生进行充分的操作、观察和探究。让学生经历从“一个一个地进行比较”到“分组进行比较”，再到“尽可能平均分组进行比较”的过程，也就是让学生通过操作、观察、比较，经历从多种方法中探究出最优方法的过程。
（三）注重方法的抽象概括，注重学生“模型”思想的培养
“高度的抽象性、严密的逻辑性、运用的广泛性”是数学的三大本质特征，其中“抽象性”又是数学与其他学科的本质区别。思维是人对事物的间接的、概括的反映过程，是一种复杂的、高级的心理活动。数学的抽象性特征决定了数学思维的核心形式是抽象思维。抽象思维是指脱离具体形象，抽取事物本质特征，运用概念、判断和推理等进行的思维。它是在感性认识所取得的材料的基础上，运用概念、判断和推理等间接、概括、抽象地反映客观事物规律的一种思维方式。抽象思维是比感知动作思维、具体形象思维更高级的思维形式。小学阶段应逐步培养学生的抽象思维能力。
在“数学广角”的教学中，要注重数学思想方法的抽象概括，注重学生抽象思维能力和“数学模型”思想的培养。只有这样，学生的数学素养才能真正提高。
例如，在进行排列组合教学时，教师要让学生逐步感受和认识到不同的生活情境蕴涵同样的数学思想方法，如衣服的搭配、比赛的场次、选取同学参加活动等生活问题，其实经过抽象概括，都具有同样的数学思想方法和数学模型。在具体教学中，一方面要引入相应的符号来代表相应的事物，如用相应的符号来表示衣服、裤子、线路、同学、球队等（撇开了无关紧要的表象）。另一方面，要注重学生数学思想方法的提升、抽象和概括。
又如，在五年级下册“找次品”的教学中，教师可先让学生观察各种解决策略，引导学生发现把待测物品分成数量尽可能接近3份的方法最好，在此基础上，就可让学生进行猜测：这种方法在待测物品的数量更大时是否也成立？从而可引发学生进一步进行归纳、推理等数学思考活动。这时，教师要引导学生逐步脱离具体的实物操作，转而采取列表、画图等方法进行较为抽象的数学分析，实现由具体到抽象，由特殊到一般的数学分析模式，实现方法和思维的“数学化”“模型化”。
再如，在六年级下册“抽屉原理”的教学中，教师要引导学生认识到“抽屉原理”的变式很多，应用更具灵活性，往往不能一眼就看出。在解决实际问题时，要将这个具体问题和“抽屉原理”联系起来，找到该问题中的具体情境和“抽屉原理”的“一般化模型”之间的内在联系，找出该问题中什么是“物体”，什么是“抽屉”，这是能否正确运用“抽屉原理”解决问题的关键。
在数学思想方法的抽象概括过程中，还应重视数学语言、符号的有效使用。
（四）创造性地使用教材
教材是知识的载体，是教师进行课堂教学的依据。多年来，“以本为本”是处理教材的基本原理。它限制了教师的思想，把教师禁锢在死框子里，影响了教师教学水平的提高，更限制了学生的思维，制约了学生的发展。课程标准实验教材是在课程标准新理念指导下编写的。就教材而言，我们可以从不同的角度对它进行理解，从狭义上来讲教材是指根据一定学科的教学任务而编写和组织的具有一定范围和深度的知识和技能的体系，即教科书；从广义上来讲它又是指教师用来指导学生学习的一切可利用的教学材料。课程改革强调培养学生的创新精神和实践能力，为了实现这一目标，作为学生学习活动的组织者和指导者的教师，就必须转变观念，放开手脚，在深钻课程标准、教材和学生的过程中，找准课程标准、教材与学生这三者之间的联系，创造性地使用教材。
就“数学广角”而言，教材给教师提供了基本的教学素材，教师可以根据教学目标和要求，结合自己的教学经验和学生的实际情况，创造性地使用教材，争取教学目标的有效达成。
例如，四年级上册“数学广角”之“报数游戏”——“两人轮流报数，每次只能报1或2，把两人报的所有数加起来，谁报数后和是10，谁就获胜。想一想：如果让你先报数，为了确保获胜，你第一次应该报几？接下来应该报几？”
以下是笔者示范课的一些做法，供教师们参考。为提高课堂教学的趣味性和有效性，笔者将此问题变成了以下“拿糖游戏”问题：
一共有10颗糖，两人轮流从中拿走1颗或2颗，谁拿走最后1颗谁就获胜。想一想：如果你先拿，第一次应该拿几颗，之后又怎样拿，才能确保获胜？
这一问题和教材上的问题是相同的意思，但更易于和学生互动，趣味性更强。
在课堂上，教师交代了游戏规则后，就开始和学生做游戏。无论怎样拿，总是教师获胜。对此，学生表现出极高的兴趣，迫切想知道其中的奥秘。
经过几次游戏后，学生似乎看出一些端倪，那就是教师总是设法拿走第7颗糖，之后，如果学生拿1颗，教师就拿走最后2颗；如果学生拿2颗，教师就拿走最后1颗。教师总能拿走最后1颗，即教师总能赢。
利用减法原理就是：10-3-3-3=1。利用除法原理就是：10÷3=3……1。
之后，教师将糖的颗数改成12颗，让学生思考“要想获胜，该怎样办”。学生经过试验和思考，得出策略：让对方先拿，对方拿1颗，（我）就拿2颗，对方拿2颗，（我）就拿1颗，这样就可以确保拿走最后1颗。
学生知道和理解了这一策略后，教师安排同桌两个同学做游戏，进一步理解和运用这一策略。课堂上学生饶有兴趣地开展游戏活动，课堂气氛生动活泼，效果良好。
最后给学生布置了家庭作业：回家和爸爸妈妈做上述游戏。
从学生第二天反馈的情况看，学生在家和爸爸妈妈做游戏时总能赢，学生非常自豪。一些学生还用自己的语言比较清楚地表述了其中的奥秘和道理。家长后来的反映也证实了这一点，许多家长对孩子的表现非常满意。
（五）充分利用课程资源，提高学生数学学习兴趣
兴趣是最好的老师，是学生不断学习的动力。三维目标之“情感与态度”目标就包含学生数学学习兴趣的培养。“数学广角”内容与生活联系紧密，其中的许多内容是非常有趣的，教学中，要充分利用教学资源，培养学生学习兴趣和数学素养。
例如，在“排列组合”教学中让学生站队；在“概率统计”教学中让学生操作；在“拿东西游戏”中让学生和同桌一起做游戏；在“找次品”中让同学之间进行比赛；在“打电话”教学中让学生上台演示……这样的教学安排有利于提高学生学习兴趣，加深学生对数学思想方法的理解和掌握。
教学中，还可以因地制宜地让学生感受数学的神奇和魅力。
笔者在某县的一节五年级下册“打电话”的公开课上，为了让学生感受数学的神奇和魅力，在探究了“打电话”的规律后，给学生讲了以下与这部分内容密切相关的数学故事（公比q=2的等比数列，通项公式为：
）。
下棋的故事：古代有一位国王和一位数学家是好朋友，他们常在一起下棋。一天，国王很高兴，要奖励数学家，问数学家想要什么，数学家说：这个棋盘上有64个格子，你在第1格里放1粒米，在第2格里放2粒米，在第3格里放4粒米，在第4格里放8粒米……（后1个格子中的米的粒数是前1个格子中的2倍），将这个棋盘放满，我要这些米即可。国王一听，顿时就乐了，国王笑着说：“这点米算什么！你难道就要这点米吗？”国王马上叫人抬了几筐米过来，可是，无论如何都摆不满。
教师问学生：“你们猜猜，需要多少米才够？”教师叫学生选择：“一个县一年的产量够不够？一个省一年的产量够不够？中国一年的产量够不够？全亚洲一年的产量够不够？全世界一年的产量够不够？”
平均每人35吨。如果每人每年大约食用100千克，也就是0.1吨，那么这相当于全世界人口350年所需要的总量。而要把这64个格子全部放满，大约相当于全世界人口700年所需要的总量。这简直是个天文数字。
此时，学生们感到非常惊奇和兴奋，学生万万没有想到会有这样多，学生的直觉和实际情况相差甚远。学生们饶有兴趣地听完这个故事后，顿感数学的神奇和魅力。
总之，教师要提高自身的数学素养，采取正确的教学方法，引导学生进行有效的操作和探究，让学生理解数学道理，提升数学思想，确保“数学广角”教学目标的有效达成。