经典逻辑视野下的非经典否定，本文主要内容关键词为：经典论文,视野论文,逻辑论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
[中图分类号]B81 [文献标识码]A [文章编号]1002-8862(2010)07-0096-05
直觉主义逻辑中的否定有直观而清晰的含义，意为“不可能”，其强于经典否定；而相干逻辑与弗协调逻辑中的否定缺乏直观性。一般地，非经典否定只有在能够借助经典否定说明的情况下才能获得清晰的含义。我们定义一个从弗协调逻辑到经典逻辑的半嵌入映射，据此可以得到弗协调逻辑的一种粗略直观解释。弗协调逻辑容忍矛盾、不承认矛盾律等说法不准确，其中所谓的矛盾并非通常意义的矛盾。经典逻辑一般即指弗雷格开创的逻辑，其基本特征是外延的、二值的，并且语法上三大基本规律都是其中的定理。而非经典逻辑往往不具备上述某个或某些方面，因此它们的一个特征就是对某个或某些联结词的解释不同于经典逻辑。本文讨论的非经典逻辑即指此类逻辑，而且以最为有名的直觉主义逻辑、相干逻辑及弗协调逻辑为例来阐述。我在“非经典逻辑中的否定”一文中阐述了这三种逻辑中的否定的直观含义，①此后作者在多次会议上与几位学者就其中的一些问题深入探讨过。本文即在上述基础上从经典逻辑的角度尝试尽可能地兼顾技术层面继续深入探讨它们与经典否定之间的关系，对某些质疑做出回应，对一些观点做进一步论证或修正。
直觉主义数学的一个口号是存在就是被构造。断定一个对象存在要能当下给出，或者告诉一个方法，借助这种方法人们可以找到它。而排中律与这个要求是相悖的。《非经典逻辑中的否定》一文举了两个例子来说明。一个是关于π的断定(假设为命题p)：π的十进制展开式小数点后会有连续10个9出现。到目前为止没有证实这一情况；另一方面由于π是无理数，其小数点后数字出现无规律，因而也没有一个方法告诉人们当展开式展开至小数点后面的位数更大时会出现或是不会出现。这样p与并非p两者都不成立。另一个例子是关于已经有定论的费马大定理
无正整数解；假设为命题q)。英国数学家怀尔斯在1995年证明了费马大定理。可以设想在1985的某一个时刻，人们讨论费马大定理成立与否时只能说，目前还没有证明它，今后可能能够证明它；另一方面也可以说，目前还没有否证它，今后可能能够否证它。这样q与并非q两者在那时都不成立。由于数学领域中的命题本身没有时间性，因此人们一旦证实了它，以后便一直视其为真。在1995年它被证明的某个时刻起，q与并非q为真。②这两个例子很自然地启发人们设想以如下方式解释直觉主义逻辑：把命题变元解释为数学命题，然后问在某时刻命题变元也就是数学命题是否被证明。把所有时刻聚集在一起得到时间集，如果认为时间都能区分先后，无开端无终止并且是稠密的，那时间集结构有些像有理数结构。一般可以去掉能区分先后这个限制，也不必要求是稠密的，只需要把时刻间的关系想象成不晚于，因而从数学上看这种关系满足自返性及传递性即可。当然除结构上的这个要求外，给命题变元赋值时还要求保真性，即刚才提到的数学命题一旦得证之后应一直被视为真；在一时刻上解释并非q为真要求其后的任意一时刻上q都为假。因此并非q成立就相当于：不仅在当下q不成立，而且在今后它也不成立，简言之，q是不可能的。这种结构能让保真性质不仅对命题变元成立，对任意命题都成立。因而这的确是一个很符合直观的形式解释。
直觉主义逻辑不但可以同模态逻辑相比较，而且还可以和经典命题逻辑相比较。从集合包含关系来看，直觉主义逻辑是经典逻辑的一个真子系统，前者仅认可后者承认为规律的一部分；而后者不承认的前者也不会承认。同样可以借助翻译的方法来说明。比如，设经典命题逻辑的语言为由上述模态语言中所包含的后四个符号组成。我们有如下结果：～φ是经典逻辑的定理当且仅当
φ是直觉主义逻辑的定理。这也就告诉我们，经典逻辑所否定的直觉主义逻辑也要否定。另外还有如下结果，对于每个经典命题逻辑语言中的公式A，将其翻译成直觉主义逻辑语言中的公式A。则有：A是经典命题逻辑的有效式当且仅当其翻译式A是直觉主义逻辑有效式。③直观地看，就是经典逻辑承认的规律，按直觉主义标准尽管不一定是规律，但同时也无法否认它们，也即接受它们并不会导致矛盾。
因此我们说经典逻辑中否定大致对应于自然语言中人们日常使用的否定词“不”、“并非”，而直觉主义逻辑中的否定则是“永远不(会)”，或者说是“不可能”。从这个角度来看，直觉主义逻辑中的否定其实比经典否定强。从直觉主义逻辑的关系语义来看，经典逻辑是直觉主义框架类中单点框架这一特殊框架类下的逻辑。而如果我们在直觉主义框架的其他方面做些限制，像改变状态间的关系类型，增加其他一些性质，甚至是增加另一个关系来刻画蕴涵，并要求这一关系与原有的刻画否定的关系满足一些条件，就可以得到其他类型的非经典否定。④但是这些类型的否定因为是从抽象代数语义出发得到，因此要为其找到一种直观的解说往往是比较困难的。
但是上述直观解释的困难并不仅出现在根据抽象的形式语义所定义来得到特殊联结词，对于相干逻辑的否定，即使它一开始并不是抽象语义学的产物，而是有很清楚的、源于直观解释的意图，但是我们依然极难为其找到一种直观的解说。
建立相干逻辑源于人们不满意经典逻辑中的某些定理严重背离人们的直观，特别是一些蕴涵式的定理，其前后件可以毫无内容上的联系，如p→(q→q)，p→(q∨q)。相干逻辑想要在形式上保证推理的前提与结论在内容上有关联。当然，从逻辑的角度要做到这一点是非常难的，相干逻辑采用的策略是，将A与B有内容上的关联理解为A与B至少有一个共同的命题变元。相干逻辑中所谓的相干原理即是说，如果A→B是相干逻辑的定理，那么A与B至少有一个共同的命题变元。这样显然会将一大批经典逻辑规律排除在外，而在形式语义上它就必须对联结词，主要是对蕴涵与否定做出与经典逻辑不同的解释。然而，不像直觉主义逻辑对命题有不同于经典逻辑的直观解释，相干逻辑并没有提出与经典逻辑有何不同的特别解释。大概由于以上两个方面的原因，它对否定词也难以有直观的解释，尽管从相干原理的角度来看它排除了经典逻辑中某些不直观的有效式，因此有些时候相干蕴涵比实质蕴涵显得更符合人们的直观。不过，在某些地方它也显得排除过多，因为普遍被人们接受的选言三段论被相干逻辑排除在外：从p∨q及p并不相干蕴涵q。总的来说，相干逻辑的解释是非常抽象的，要直观、非形式而又准确地说清它是不太可能，我们来看一下其形式语义就可知。
一个相干框架F是形如〈e，K，R，*〉的四元序组，其中e∈K，R是K上的一个三元关系，“*”是K上的一个一元函数，并且对任意的w，x，y，z∈K满足下列要求：(1)w**=w；(2)Reww；(3)Rwww；(4)若Rwxy，则Rwy*x*；(5)若
ewxy，则Rwxy；(6)若wxyz，则wyxz。其中，是一个K上的二元关系，定义为：wxyz成立，当且仅当，存在a∈K使得Rwxa且Rayz。K中的元素也叫做设想或状态，e是逻辑设想或逻辑状态，它是比可能世界更为一般的一个概念。一个相干模型M是一个形如〈e，K，R，*，V〉的五元序组，其中前四个元素是一个相干框架，V是一个从命题变元集到K的幂集
(K)中的一个映射，并且满足“遗传性”要求。
与克里普克关系语义相比较，相干逻辑的语义除了状态间的关系R外，还增加了状态集上的一个函数“*”来处理否定词。对它的规定有(1)和(4)这两条。否定式的解释是，A在状态w是真的相当于说，A在状态w*是假的。如果对所有的w，w*是w自身，则它将退化成经典逻辑。相干逻辑的这种解释之所以较经典逻辑更为一般就在于，有w*与w不相等的情况。此时否定式A在w的值要依赖可能不同于w其他世界w*，因此就有可能A在w的值为1而A在w的值也为1，因为A在w*的值0。当然也有可能A在w的值为0而A在w的值也为0，因为A在w*的值1。
克里普克关系语义学中的R是世界之间的二元关系，有比较好的直观背景，例如时间上的不迟于、世界之间的通达、甚至人们的信念集间的关系等等。在现实生活中三元关系却明显不是那么常见，更是难以找到一种三元关系和这里的R相似。专门用来处理否定的“*”是状态集上的一元函数，它仅是一个一般的一元函数。我们知道，一元函数的类型极其丰富，彼此之间的性质可能极其不一样。例如单从单调性、奇偶性和连续性等方面来考察的话就可以将一元函数区分出众多种类来。因此这里的语义如果没有进一步指定其性质，其属于哪种具体的类型，我们也就难以找到任何进一步诠释“”的详细信息，从而也就无法判断是对自然语言中哪个语词的逻辑抽象。
为解释这种抽象的语义，雷斯塔尔对K中的元素做了如下阐述。⑤K中的元素不是通常的可能世界，而是称为状态。称一个状态w是完备状态，就是说，对所有公式A都有：A与A至少有一个在w处为真。称一个状态w是相容状态，就是说，不存在公式A使得A与A在w处都成立。既相容又完备的状态即为正规状态。克里普克语义学中的可能世界显然既是相容的又是完备的，因此是正规结构。但是，也有这样的R模型，其中有的状态不是相容的，有的状态不是完备的，也有既不相容又不完备的状态。在现实中状态的例子是信息集。信息集来源于不同信息源，因而有可能出现互相矛盾的判断，这就是对不相容状态的理解。而信息源及搜集信息过程等的局限性决定了信息集难以对所有事物做出断定，因而有可能出现对某个命题未做出任何断定的情况，这就是状态不完全的直观理解。因此也就可以想象，会有一些公式是经典逻辑的有效式但在状态中不再有效，如A∨A。这种解释比起原来的框架语义有较强的直观性，但仍有几个不可克服的缺点。首先就是这种直观性不是植根于框架语义、并非从框架语义结构出发得到的。除了较好地解释了为什么有可能(在同一状态上)A与A同时成立，亦可同时不成立外，并没有告诉我们状态与这种框架语义之间有什么联系，例如，状态间的三元关系R的直观是什么。另外，我们要寻找相干否定的直观含义，而以上解释试图用相容、完备这样一些概念来阐释相干否定“”，但是在界定这些概念时我们又使用了相干否定，因而实际上还是没有说明相干否定。如果在使用状态替换可能世界的情况下可视这种否定为经典否定，这样我们当然理解了这种否定，但这恰恰说明了我们想要表明的观点，亦即要借助经典否定来说明其他类型的否定的直观含义。以上解释并没有给出任何从w找到w*的线索，为了理解w与w*的关系，雷斯塔尔试图从一种相容关系C的角度来考虑。首先，我们在K上定义一种偏序关系≤，然后再定义一个满足某些条件的二元关系C，最后定义V(A，w)=1当且仅当每一个满足wCx的x有V(A，x)=0。其中wCx直观上的理解就是w与x相容。对于满足一定条件的相容关系有这样的结果：对每个状态w会有一个与w具有相容关系的极大状态(这里的极大是就状态集上的≤而言的)，这个状态就是相干模型中的w*。这种迂回解释的办法较为清楚地说明了w与w*之间的联系。但是如以前的解释一样仍存在一个根本的问题：其中借助的相容关系本身是不清楚的，要准确地说明它又需要用到一致、协调、矛盾等隐含否定含义的概念。总之，这些解释都是基于代数结构之间的理论讨论，虽然精确但无助于我们对相干否定做出直观清晰的解释，无法找到它在自然语言中的对应。
直觉主义逻辑虽然不认可排中律，但是依然把矛盾律视为规律。而弗协调逻辑在这点上与直觉主义逻辑恰恰相反，它把排中律视为规律，但是不承认矛盾律。弗协调逻辑是巴西逻辑学家达科斯塔于20世纪70年代提出的。弗协调逻辑的核心思想是，包含一切命题的理论肯定是不足道的，我们应当加以排除(这里的理论是指对推演规则封闭的命题集)。但是，如果一个理论没有包含一切命题，那它就是足道的，可以成立的。因此，如果一种逻辑从矛盾不能推出一切，则这种矛盾就可以为这种逻辑所容纳。弗协调逻辑就是这样一种逻辑，它有如下几个特点：(1)矛盾律不再有效；(2)从相互矛盾的前提不能推出一切公式；(3)在保证(1)和(2)的前提下要尽可能地保留经典逻辑中最重要的定理模式及推演规则。
科斯塔等人创立了一系列弗协调逻辑系统
(1≤n≤ω)，其强弱程度依
的次序递减。后来，科斯塔等人给出了弗协调逻辑的一个判定方法，可以验证(A∧A)，A∧A→B都不是它的定理。⑥所以，尽管｛A，A｝推出A和A，因而不一致，但它仍是足道的，因为它不会推出一切命题，按上述弗协调逻辑的思想，就有构建为一个足道的理论的可能。一个很自然的问题就是，这种逻辑中的否定词？含义究竟是什么？它是人们通常说的“不”、“并非”吗？这是关注弗协调逻辑的人们一直在追问却始终未能得到满意答案的问题。
类似于对相干逻辑中否定的分析，我们认为弗协调逻辑的问题也在于虽然有整体思想，但没有对个别具体的关键问题做出回答。特别是它没有对命题做出与经典逻辑任何不同的解释，也没有回答A的直观含义是什么。因此带来的问题也如相干逻辑一样，尽管有严格的形式语义，但是这种语义解释并没有说明A的含义是什么，它对应于自然语言中哪个语词。不过根据其语义及它的一些语法特点，我们在此可以从正反面来对弗协调否定做些诠释。从正面角度来看弗协调否定大致相当于可能不，这里的“不”是经典的否定。我们可以定义一个映射，它将弗协调命题逻辑语言翻译成经典一阶语言的含一个自由变元的片断。具体地说，按如下方法将弗协调逻辑中的公式A映射为一阶公式A′：将变元p映射为
xPx，将p映射为x～Px，对于其他类型的公式A∧B，A∨B，A→B，A(A不是命题变元)，分别映射为A′∧B′，A′∨B′，A′→B′，～A′。易证如果A是
的定理，则A′是经典一阶逻辑的定理。由于等值置换定理在中不成立，可见这个映射不是一个完全意义上的嵌入，而只是一个准嵌入或半嵌入。而且也易证明不存在从到经典一阶逻辑的嵌入。⑦类似地，如果将变元p定义为定义
xPx，将p映射为x～Px，其他的保持不变，那么可将直觉主义命题逻辑映射到一阶逻辑中，同样，这种翻译是单向保持，而不是嵌入(考虑皮尔士律)。
从反面来看，首先，在弗协调逻辑中可以定义一个新的符号“～”：～A即A∧[(A∧A)]，而且可以证明，“～”具有经典否定的一切性质，因此它就是经典否定，～(A∧～A)及A∧～A→B都是的定理，因此，否定词在弗协调逻辑中并不是经典否定，可以称之为弗协调否定；它不是自然语言中的“不”，“并非”的对应，不是对这些语词的刻画。第二，弗协调逻辑所讲的从矛盾不能推出一切，其中的矛盾是指形如A∧A的所含的矛盾，我们不妨称之弗协调矛盾，它不同于经典逻辑所说的矛盾A∧～A，我们不妨称之为经典矛盾。由～(A∧～A)等都是的定理可知，弗协调逻辑还是承认经典意义上的矛盾律的，也承认从经典矛盾可以推出一切。我们平常说的不能出现自相矛盾，要排除矛盾显然都是在A∧～A这种经典矛盾的意义上说的，因此所谓的在弗协调逻辑中从矛盾不能推出一切，容忍矛盾，其中的矛盾与我们通常说的矛盾根本就不是同一个概念，准确地说应是，在弗协调逻辑中从弗协调矛盾不能推出一切，弗协调逻辑容忍弗协调矛盾。很多人都没有意识到这一点，因而对弗协调逻辑产生了误解，这在一定程度上影响了弗协调逻辑的声誉并阻碍了其发展。弗协调逻辑所说的矛盾只是不同于经典矛盾的某种对立，例如，根据前文所说的映射它大致相当于传统逻辑中所说的下反对关系，即可以同真，但不可同假。因此尽管弗协调逻辑否定词“”不是对经典否定的刻画，但毕竟它们之间存在着某种对立，因此我们也仍称它是一种否定，A与A是一对(弗协调)矛盾命题。
通过以上对三种非经典逻辑的否定的分析我们发现，直觉主义逻辑否定可以通过经典否定解说为“永远不”、“不可能”；而对于弗协调逻辑中的否定，我们只是能够用它来说明经典否定是什么，却不能在经典逻辑中说明弗协调逻辑否定的含义。而对于相干逻辑，我们目前还未找到它与经典逻辑否定的确切联系，即它们相互之间没有准确的定义。我们认为，一种异于非经典逻辑的否定如果想要具有直观的解释，通常情况下只能借助经典否定才可获得，而也只有这样才容易在自然语言中找到其对应语词，因而才有可能被人们普遍接受。当然这并不排除它们可以有严格的形式语义解释，只是这种解释是基于抽象的数学结构，缺乏人们通常具有的感官经验基础，往往很难为它们在日常生活中找到实际的例子。⑧
注释：
①余俊伟：《非经典逻辑中的否定》，《哲学论集》第41期，Vol.XLI，2008，第63-72页。
②在第七届国际逻辑与认知大会期间，赫尔辛基大学的Ahti-Veikko Pietarinen教授向我指出这里存在一个问题，即怀尔斯的证明本身是否是构造性的。我认为可以从两个方面来看这个问题。首先，本文诠释否定的含义，因而将p理解为一个数学命题得证即可，而不必再进一步详细区分得证本身是否为构造性的。其次，选取该例只是因其较为典型且为大家所熟悉和理解。如果更严格地要求构造性的证明，我们完全可以选取其他例子。
③刘壮虎：《逻辑演算》，中国社会科学出版社，1993，第185-190页。
④Do
en,K.,"Negation as a Modal Operator," Reports on Mathematical Logic,1986,pp.20,15-27; Doen,K.,"Negation in the Light of Modal Logic," in D.Gabby & H.Wansing(eds.),What is Negation? Kluwer Academic Publishers,1999,pp.77-86.
⑤Restall,G.,"Negation in Relevant Logics," in D.Gabby & H.Wansing(eds.),What is Negation? Kluwer Academic Publishers,1999,pp.53-76.
⑥ da Costa,N.& E.H.Alves.."A Semantical Analysis of the Calculi Cn," Notre Dame Journal of Formal Logic,1977,XVI(4),pp.621-630.
⑦余俊伟：《弗协调逻辑系统Cn的判定性问题》，《湖南科技大学学报》(哲社版)2008年第8期，第27-29页。
⑧在“第七届国际逻辑与认知大会”期间，阿姆斯特丹大学的范·本特姆教授向我指出，如果人们对经典否定的理解还不清楚，人们还没有把握经典否定的时候，这一论断就难以成立。我认为对此疑问可以做如下解释。首先，一般地，对经典否定所做的解释远比非经典否定(即使是直觉主义否定)解释简单，例如布尔代数比直觉主义代数——海廷代数——简单。而且在人们的实际成长历程中首先接受的教育都是布尔代数而非其他。其次，就我们的日常语言中的否定对应哪种类型否定来说，对应经典否定的情形比起对应其他类型的否定显然多一些，即使不是全部也可以说，在那些有真假的语句中，我们更容易接受将“不”对应为布尔否定。因此，经典否定，即布尔否定比其他类型的否定有更为深厚的经验基础。因此，经验亦表明难有理由怀疑，人们对经典否定仍持混沌懵懂状态。