合理设计，追求高效——从高三复习课“圆锥曲线中的最值与范围问题”谈起，本文主要内容关键词为：圆锥曲线论文,高效论文,高三论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
高三的复习时间是短暂的，如何科学合理地设计教学，真正达到高效课堂的目的，是每一位高三一线教师都要认真思考的问题.本文结合高三复习课“圆锥曲线中的最值与范围问题”的教学设计，针对如何实现高效课堂的话题，谈一些想法与同行交流.
一、教学设计
教师首先提出问题1，请同学们思考解决.
1.“最值与范围问题”的思考方法
问题1 在平面直角坐标系xOy中，设AB是过椭圆
中心的弦，椭圆的左焦点为F，则△FAB面积的最大值为________.
经过认真思考，学生们都有了自己的想法.之后，教师请学生交流想法.从交流的情况看，学生解决这个问题大致有两个角度：
（1）借助几何图形解决问题
方法一 如图1，可将△FAB分成两部分，即△FAO和△FBO.欲求△FAB的面积，即求△FAO与△FBO面积的和.若△FAO与△FBO面积同时取最大，则△FAB的面积最大.
在△FAO中，由题设可知FO=
，若△FAO面积取最大值，只需点A到线段FO的距离最大.由图1观察可知，当点A为椭圆的上顶点时，到线段FO的距离最大，即AO=1.利用三角形面积公式，求出△FAO面积的最大值为
.
同理可知，当点B为椭圆的下顶点时，△FBO面积取得最大，最大值为.
所以，△FAB面积的最大值为.
（2）建立目标函数解决问题
方法二 ①设直线AB的斜率存在，设其方程为
.
②当直线AB的斜率不存在时，其方程为x=0，则AB=2，点F到直线AB的距离d=，故有
.
综上，当直线AB的斜率不存在时，△FAB的面积取最大，最大值为.
在解决完问题1之后，针对学生提出的两个角度，师生共同进行了回顾总结，概括出解决“最值与范围”问题的两个思考角度：
（1）借助几何图形，认真观察，寻找存在“最值与范围”的特殊位置；
（2）结合所求目标，建立相应的目标函数，通过代数方法求此函数的最值与范围.
接下来，一个很自然的问题是，如果要建立目标函数，究竟用谁来建立？
2.“动因”如何分析
教师针对方法二，提出问题：为什么要用直线AB的斜率来建立目标函数？
经过思考，有学生指出：欲求△FAB面积的最大值，说明△FAB是变化的，否则只能是求其值.那么，谁让△FAB变化呢？从已知条件来看，应该是直线AB，因为点F是定点.直线AB又为什么动呢？已知它过原点，所以是斜率使其运动.这样就分析出△FAB面积的“动因”，从而用“动因”（即斜率）来建立目标函数.
也有学生指出：△FAB面积的“动因”，是点A或点B.因为直线AB动，可看作是点A、B在动.而A、B两点一个主动，一个被动，这是因为直线AB过原点，且两点只能确定一条直线，所以一旦点A确定，点B就会随之确定了.
我们知道，当一条直线在经过一定点的情况下，欲使之运动，可以从两个方面做到：一是使其斜率变化；二是让其再过一动点.所以，学生对于△FAB面积“动因”的分析，表面上看好像有所不同，但本质上是一致的.
当所求目标的“动因”分析出来以后，即可利用“动因”来建立目标函数，然后寻找“动因”的范围（即函数的定义域），进而求出目标函数的最值或范围（即函数的值域）.
那么，用哪一个量来刻画“动因”呢？
3.刻画“动因的量”如何选择
教师针对学生分析的两种“动因”提出问题：既然问题1的“动因”可以是直线的斜率，也可以是点A，那么问题1还有其他的解法吗？
经过认真思考，学生又提出以下两种方案：
方法三 设点A（m，n），由于直线AB过原点，且椭圆是对称的，所以点B为（-m，-n），则直线AB的方程是nx-my=0.
所以，当且仅当｜n｜=1时，△FAB面积取最大，最大值为.
方法四 设直线AB的方程为
所以，当且仅当m=0时，△FAB面积取最大，最大值为.
教师请学生针对方法二、三、四进行比较分析.在经过认真研讨后，学生纷纷表达了自己的想法：
三种方法均属于利用“动因”来建立目标函数的，所以分析清楚“动因”，是解决问题的首要条件.在清楚“动因”的情况下，用哪一个量来刻画“动因”，则是解决问题的关键.
在三种方法中，方法四和方法三相对简单.方法四简单的原因是直线的设法（无需讨论直线斜率不存在的情况）及利用了“降维”的思想，即把平面内两点之间的距离及点到直线的距离（“二维”），均转化为坐标轴上两点间的距离（“一维”）；方法三简单的原因是，线段AB的长容易求，点F到线段AB的距离又与线段AB的长有公因式可消，从而运算量大大减少.但是通常情况下，我们并不敢轻易地设点为“动因”，其原因是设点为“动因”会出现二元变量，害怕消元时不方便.但事实说明，如果问题本身是“对称”的（比如点A、B关于原点对称），化简时又有公因式可消，设点为“动因”不失为一种好的方法.
在选择好刻画“动因的量”后，用这个量与所求目标建立函数关系时，要特别关注“动因”的取值范围，因为它是目标函数的“定义域”.
4.解决“最值与范围”问题的方法
最后，师生共同总结、概括出求“最值与范围”问题的一般方法：
（1）借助几何图形，寻找存在“最值与范围”的特殊位置.
（2）建立目标函数，用代数方法求此函数的最值与范围.
①分析“动因”；
②建立所求目标与“动因”之间的函数关系式；
③寻找“动因”的范围；
④用代数方法求目标函数的最值与范围.
二、几点思考
众所周知，高三复习时间紧，学生负担重，作为教师需要思考应如何设计自己的教学，才能做到科学高效，真正把学生从“题海”中解放出来.对于什么是科学高效的课堂，各人有各自的想法，在笔者看来应涵盖以下几个方面.
1.蕴知识方法于例题，勿简单罗列
高三的复习课，回顾已学的知识与方法是必不可少的.但是，笔者不建议在课堂上，对已学的知识、方法进行简单的罗列.
有时会听到这样的课堂教学：上课伊始，教师请学生回顾跟本节课相关的概念和方法.学生则把已学过的相关知识的概念、记忆中的一些方法的名称一一罗列出来.接下来，教师针对学生的回答进行点评，把不准确、不完善的地方修订、完善（一般情况下会耗用十多分钟的时间），之后开始例题讲解.
对于这样的教学，笔者曾经也使用过.但是现在回想起来，觉得这样的处理不妥.因为知识和方法一旦与问题脱离开来，就会显得很空洞.回顾的目的，是为了用它们来解决问题，而不是只知道有这些名词就了事.单纯的罗列起不到应有的作用，那它还有多大的意义呢？
回忆知识、方法当然是重要的，但是我们可以换一种方式.比如本课，首先提出一个问题，让学生在思考问题中回顾相关知识、弄清概念，在解决问题中回顾方法，在题后反思中积累经验，这不比空洞的回忆要“实惠”很多吗？
2.例题务必精选，分析要透彻
高三大部分的教学都是解题教学，所以精选例题显得尤为重要.如果随意选择几道例题，也能上完一节课，但是长此以往，受害的必然是我们的学生.
笔者认为，例题并不在于有多难，关键在于典型.通过解剖一个“麻雀”，积累经验，从而实现一类问题的解决.比如本课的问题1，这个问题并不难，但是它的解答蕴含着解决“圆锥曲线中最值与范围问题”的一般方法.而一旦有了这个方法，今后只要遇到这类问题，都可以用它来解决.如果我们选择的例题，在它的身上并不能将此一般方法很好的体现，例题应有的功效就没有发挥出来，选择这样的例题就是失败的.
选对例题仅是一个方面，另一方面是用好例题.课堂上是不是在讲完一个例题的解答之后，马上接着讲下一个呢？当然不是！好的例题要充分发挥它的好处，要将它用足、用尽.比如本课，在学生已经给出方法一和方法二之后，为什么还要再探究其他的解法，其目的就是要把例题的作用发挥到极致.
3.题后必反思，反思必总结
画“龙”要点“睛”，再好的例题、再透彻的分析，如果缺少了题后的反思、总结都会失去光彩.
比如本课，学生在得到四种解法之后，如果没有回过头来反思、总结的话，那可能得到的仅仅就是这四种解法，或许还是仅针对这一题的四种解法.但若回过头来想一想：方法一很简单，但它是解决“最值与范围”问题的一般方法吗？如果“动因”是直线的斜率，直线方程设y=kx和x=my哪种形式好？求三角形面积时，在何种情况下将面积分割好？“动因”的范围如何寻找？“最值与范围问题”如何思考？如果对这些问题反复琢磨，我想最后得到的就不仅仅是问题1的四种解法，而是解决“最值与范围”这一类问题的一般方法.
高三复习的主要任务是回顾知识、整理方法、积累经验，在遇到新问题时会思考、分析、解决，并能灵活应对.通过题后的反思总结，能让我们积累更多的经验，有更多的解题途径，并能在各种途径中作出合理的选择，少走弯路.