不可超越的无穷：关于直谓性和后继公理的关系，本文主要内容关键词为：公理论文,关系论文,直谓性论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：B81 文献标识码：A 文章编号：1674-3202(2011)-02-0052-16
一、背景
在公理V和《概念文字》的二阶逻辑的基础上，弗雷格推出了皮亚诺公理，从其中可以推导出自然数的全部性质，然而也正是公理V和二阶逻辑导致罗素悖论，这个悖论彻底摧毁的弗雷格的逻辑主义方案。
为了拯救弗雷格的逻辑主义方案，或者说，评价弗雷格数学哲学的价值，新弗雷格主义重新审视了弗雷格的工作，大致可以分为如下三个方面：(1)从公理V退回到休谟原则，即放弃导致矛盾的公理V，直接从休谟原则和二阶逻辑推出皮亚诺公理，也就是所谓的弗雷格定理，在文献中又把休谟原则和二阶逻辑构成的理论称为弗雷格算术。在这方面莱特做出了开创性的贡献。([16])其后布勒斯证明了休谟原则和二阶逻辑的一致性。([2])后来作为历史性的考证工作，海克通过详细的文本分析证明弗雷格在《算术基本规律》提出公理V后，只是用它来证明休谟原则，然后再从休谟原则证明皮亚诺公理，除此之外不再实质使用公理V。([7])上述一致性和对于二阶皮亚诺算术的可推出性的证明标志着新弗雷格主义的兴起。(2)在上述技术性成果的基础上，主要以莱特和黑尔为代表，对休谟原则进行了更为深入的哲学辩护，他们认为作为抽象原则的休谟原则是隐定义，是分析的，为数学知识提供了先天认识的基础，从而在某种程度上实现了弗雷格的逻辑主义方案。([6])这一观点被称为抽象主义，在文献中也被称为苏格兰学派。然而，许多学者不同意上述观点，在诸多方面进行了反驳([13])，其中一个重要方面的就是弗雷格本人已经意识到的凯撒问题，此外还有休谟原则的非直谓性、抽象对象的存在问题、一丘之貉反驳和二阶逻辑是不是逻辑等等，这些反驳使抽象主义陷入僵局。(3)为了给哲学辩护以更为有力的支持，新弗雷格主义者又在技术上进行了更为深入的探索。在抽象原则方面，布勒斯对公理V进行限制而得到新公理，并且证明了其与二阶逻辑的一致性和对于皮亚诺公理的可推出性([1])；海克对休谟休谟原则进行限制而得到有限休谟原则，它不仅与二阶逻辑一致而且可以推出皮亚诺公理。([9])在背景逻辑方面，帕森斯证明了弗雷格《算术基本规律》的一阶片段的一致性([14])，在帕森斯成果的基础上海克证明了其直谓二阶片段的一致性。([8])然而对背景逻辑的上述限制造成了负面后果，林奈博证明在仅有直谓概括公理的二阶逻辑中不能从休谟原则推出皮亚诺算术的后继公理。([12])
本文首先简单回顾了弗雷格算术的一致性和可推出性，然后说明这二者在限制的弗雷格系统中不可兼得，最后主要介绍海克和林奈博的证明，并在直观上作出简单的分析。
二、弗雷格算术的一致性和可推出性
2.1 一致性
直观而言，弗雷格的矛盾在于，一方面二阶逻辑的概括公理要求满足任意可表达条件的一些对象都可以形成概念，也就是说概念是对象的幂集；另一方面公理V又要求概念不同当且仅当概念的外延不同，也就是说概念和作为对象的外延之间是一一对应的，而且每个概念都可以确定一个相应的外延。然而根据康托定理，这两个方面的要求不能同时得到满足，因为在给定个体域中有n个对象的前提下，根据概括公理可以形成
个概念，相应地从这些概念可以确定个不同外延，所以个体域至少要有个对象，但是这个对象又可以形成新的概念，这些新的概念又产生新的外延，这使得个体域中又增加了新的对象，如此循环，以至无穷，因此不仅在有穷范围内而且在超穷范围内永远也无法达到概念与作为对象的外延之间的一一对应。
关于祖先关系和强弱祖先关系,可以证明如下事实:
六、结语
直观来说，非直谓的概括公理断言任意一些对象都可以构成一个概念，也就是说，谓词的取值范围是个体域的幂集。在集合论中，一个集合的幂集是由该集合的所有子集构成的。为了找到个体域的幂集，可以将所有个体对象排成一个序列，然后根据一个对象是否属于一个子集进行二取一的选择，每个选择之间是相互独立的。个体域的任何子集都是一系列选择的结果。假设个体域中对象的数目是n，则可以形成个概念，通过整理又可以形成n+1个等数的概念的等价类。再根据休谟原则，n+1个等数的概念的等价类可以确定n+1个对象。所以，在前面选择序列的基础上，又需要增加一个选择，它确定这个新对象是否属于一个子集，因此，又增加了个新概念，相应地也增加了一个新的等数的概念的等价类，也就是增加了一个新对象。这样可以在新对象和新选择之间不断重复，以至无穷。由此可见，非直谓的概括公理和休谟原则已经事先假定了后继公理所表达的直观内容。
另一方面，对于直谓的概括公理，由于其形成概念的能力受到限制，谓词的取值范围不再是个体域的幂集，而是这个幂集的一部分，因此在原有n个对象的个体域中不能形成足够多的概念，也就不能以产生n+1个等数的概念的等价类，从而不能在n个对象的基础上再增加一个新对象。从另一个角度说，
推出罗素悖论的过程说明，属于关系的定义需要用到二阶量词，而由于在直谓二阶逻辑中不能用包含二阶量词的公式定义一个概念，所以也就不能用属于关系定义一个集合。而属于关系在集合论中具有举足轻重的作用，所以以公理V为基础的直谓二阶理论失去了集合论的许多特征，变得非常弱以至于不能推出后继公理。
关于直谓性的讨论，最早可以追溯到罗素和彭加勒，他们认为悖论的原因在于恶性循环。达米特也曾经对弗雷格算术的非直谓性提出激烈的批评。④弗雷格算术的非直谓性不仅来自二阶逻辑，而且来自休谟原则⑤本文的开篇曾经提到，新弗雷格主义的成功取决于两个重要的技术性成果：一方面是一致性的证明，另一方面是可推出性的证明。然而，上述海克和林奈博的证明显示，弗雷格算术的直谓片段无法实现新逻辑主义的目的。因此，新弗雷格主义与其遵循达米特的路线质疑非直谓性，不如转而为非直谓性做辩护。
注释：
②为了方便起见，这里只考虑一元谓词的情况，多元谓词可以通过n元有序组说明。
③在不使用弗雷格关于后继和自然数定义的前提下，博格斯证明了在直谓二阶逻辑中可以从休谟原则推出后继公理，参见([3]，pp.155-157)。海克证明了在分支的直谓二阶逻辑中可以从休谟原则推出后继公理，参见[11]。不过，前者由于放弃弗雷格的定义，也就远离了弗雷格定义所反映的对于算术的日常理解，后者的系统由于过分的复杂和不自然，从对直谓进行辩护的角度来说意义也不大。
④参见([4]，pp.217-222)，达米特提出一个问题“蛇是如何进入伊甸园的”，他认为弗雷格矛盾产生的原因在于非直谓性。
⑤关于休谟原则的非直谓性，可参见[10]和[17]。