追问“缺失”，重在目标——反思“点到直线距离”教学的预设与生成，本文主要内容关键词为：缺失论文,点到论文,直线论文,距离论文,目标论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
关于“点到直线的距离”这节内容，现行教材与新课程教材基本相同，其教学基本目标也一致，即“掌握点到直线的距离公式，能运用它解决一些简单问题；会求两条平行直线间的距离”。那么，在新课程理念之下，我们该用怎样的观察视角来检测教学的效果。根据学业测量的基本原理：“学生学习的结果是内在能力和倾向的变化，这种变化不可观察，也不可直接测量。但是可以用外在的行为表现来推测学生内在的心理变化。”为此，联系涉及此内容的一道高考试题（2008年高考数学浙江卷理科第20题，文科第22题），结合考生在答题中和考后谈话所了解到的情况，以及与同行间的多次交流，笔者历经一次深刻的教学反思，感到“点到直线的距离”这节知识的教学目标，能否从单一走向多元。
一、透析失误因素，揭示教学上的三点“缺失”
（注：以下文中简称问题1）
表面看来似乎是思维方法问题，实质上与教学实际有着一定的关联。提供的问题1是高考试题，为此，考生反映出来的较普遍现象比较客观和真实，我们有必要透过现象，寻找本源性问题。
1.失因之一：学生在分析解题过程中不会选择求点A坐标
追究不选择求点A的坐标的原因，主要有两方面：一方面，因含多个字母的代数式运算，训练少，计算失误多，成功率偏低，繁复的计算令考生在心理上产生恐惧感。另一方面，本问题与教材中求“点到直线的距离”问题类似，如图2，区别在于求点到直线的距离是求
的长，而问题1是求|QA|的长，但都和直线l上垂线的垂足相关。那么我们分析问题的原因，先联系教材，从课本中的说明说起（具体摘录如下）：
图2
上述方法思路虽然十分自然，但是运算较繁，下面我们采用另一种方法。”
根据教材中这段话，绝大多数教师在对这节内容进行教学时，以尊重教材为前提，没有设计求点A坐标的解题过程，而且教学设计中以如何突出从特殊到一般的证明思路，以顺利完成证明表述为目标。未让学生真正去体验求长度的运算繁复的程度，学生一直认为求交点坐标很难，这使解决此题失去了一次良好的机会。
事实上，问题1中，|QA|计算并不复杂，具体可参考如下：
从解法1的过程分析，求点A坐标的运算，因问题1中假设的字母只有k和
，故运算量也随之减少。但在学生脑海里始终留下不易求交点坐标的深深烙印，这是主要失因。
2.失因之二：学生在解题预试中没有合理的转化意识
学生在审题时，往往在问题的认识上发生冲突，这需要有转化意识和化归思想。针对问题1，学生所反映出来的情况主要是两方面：其一，学生不知道如何转化为好；其二，忽视了动点在变化的意识。我们不妨先给出问题的另一种解法：
以上解法2的关键是如何计算QA的长，通过转化，在Rt△MAQ中利用勾股关系求得|QA|。对此，反思我们在“点到直线的距离”这块内容的教学，有没有这样对转化方法进行研究。而我们采用另一种方法证明时，根本就不知道为什么要先利用勾股定理，后通过面积法求得。反而，我们会产生疑惑，通过勾股定理计算在表面上会呈现代数式复杂一些的状态。探究真正成功的原因，应是代数式结构相近这一隐含条件，容易统一和化简。为此在当时求点到直线的距离的教学中，一般不会交代其中“化归”的合理性。事实上这种解题思路的形成存在一定程度上的困惑。
图4 图5
因为当点M在直线l下方时，点A、B位置的顺序将互换（图5），就不一定存在这种比例关系。（可以分类区别讨论）。
于是问题将转为更复杂的状态。
3.失因之三：简单应用公式的教学要求导致学生解题能力偏低
大家知道，能灵活运用解析几何基本公式是提高解题能力的一个重要基础，可作为数学“双基”模块。教材中“点到直线的距离公式”的应用，主要是计算两条平行线的距离和利用点到直线的距离，直观地去判别直线与圆的位置关系。这一类问题形式基本上是已知直线方程，然后如何去取一点，直接应用点线距离公式计算。为此，在思维能力上要求过低，这就使得学生应用此公式的能力不够，因而在问题1的解答中很少出现如下的解法。
为此，笔者认为，问题1源于课本，立足于基本能力的考查，运算量不大，但所反映出来的这种考生普遍不能完成此题解答的现象，应引起教师的进一步关注。
二、注重过程体验，预设生成能力目标
“点到直线的距离”的教学任务，不仅是要得到一个结论，更重要的是通过过程体验让学生学会研究几何问题的方法。大家知道，推导“点到直线的距离”公式的方法比较多，选择怎样的方法，让学生如何感悟，才能达到一个新的认知境界。为此，笔者谈谈三个层面上的预设。
首先，要突出解析几何的本质特征，用代数方法研究几何问题，结合教材教学顺序和学生的认知能力，可以直接着手，让学生经历计算，理解运算的含义。在分析直接求解方程繁复过程的基础上，可引入利用求对称点计算的特点，实施“设而不求”的运算策略，具体如下：
从上述计算可知，考虑到代数式结构在化简代数式中的作用，有助于学生运算能力的进一步提高。
其次，在此基础上，可从另一个视角，通过分析图形的几何特征，提出问题的转化——“面积法”。教师应该揭示成功解题的两个关键：一是合理分解成横坐标和纵坐标的关系，简化计算；二是在具体计算尝试后，发现代数式结构容易化简的特点，让教学通过预设生成培养学生对问题的转化意识。
再次，经推导获得“点到直线的距离”公式后，应分析其特征和应用条件，不能简单地直接套用公式。从此公式应用情况来看，“点到直线的距离”公式不仅应用于求两条平行直线之间的距离，求两条相交直线的角平分线等，在处理直线与圆的位置关系等问题上也有所应用，这提升了公式的应用价值。从数学双基的视角分析，“点到直线的距离”公式是解析几何的基本公式之一，公式的灵活运用和处理好“两点距离和点到直线的距离”两公式的转化，直接关系到解题能力的进一步提高，在高中数学中应该作为一个发展性的目标加以重点关注。
教育家布卢姆说：“我们无法预料教学所产生成果的全部范围，如果没有预料不到的成果，教学也就不成为一种艺术了。”本文期望，在多元目标下的教学设计，必将提升教学的有效性和学生的综合解题能力。