中设设计集团股份有限公司 江苏南京 210014
摘要：混凝土箱梁桥中的横隔梁一般以横桥向受力的深梁控制设计，在常见的跨高比下，为应力扰动区（D区）。本文根据两跨连续梁的实体有限元分析，揭示了双支承横隔梁的受力特性，并提出一种简化模型近似反应实桥横隔梁的真实受力状态。在此基础上，研究了不同参数变化下简支深梁的应力变化规律，并给出不同高跨比下简支深梁作用不同类型荷载时的拉压杆模型；最后通过拓扑优化方法的辅助给出了双支承横隔梁的拉压杆模型。
关键词：混凝土箱梁桥；横隔梁；拉压杆模型；深梁
1引言
双支承横隔梁在桥梁工程中的应用最为广泛。一方面，由于双支承距离箱梁腹板更近，恒载、活载等产生的竖向力传递至支座的路径更短，对于一些支座直接设置于腹板下方（支座的中心线与腹板的中心线基本一致）的情况，竖向荷载甚至可以不经过横隔梁，而直接传递至支座。另一方面，双支承横隔梁也可以将桥跨内由偏载、横向力等引起的扭转作用传递至支座。
在现行设计中，对墩顶区域横隔梁，主要针对竖向荷载，根据经验或按浅梁来进行设计。实际上，当横隔梁高跨比大于某定值时，应视为深受弯构件进行设计，传统的截面设计方法已不再适用。按照国际工程界对混凝土结构B区及D区的划分[1][2]，横隔梁可视为一类典型D区，基于力流的拉压杆模型（Strut-and -tie model）方法可以用来指导该区域的配筋设计。
本文通过对全桥模型分析验证简化模型的合理性，研究简支深梁拉压杆模型的构形方法，并探讨双支承横隔梁腹板等效集中剪力的作用位置。在此基础上，利用拓扑优化的方法构建了双支承横隔梁的拉压杆模型。
2横隔梁简化模型的建立
为了建立双支承墩顶横隔梁的简化模型，首先选取某2×40m混凝土等截面连续梁，进行实体有限元分析。箱梁的截面形式如图X所示，梁高为H=2.2m，梁顶宽L1=12m，梁底宽L=6m，翼缘长度为a=3m，翼缘高度由0.2m变化至0.4m，腹板厚0.45m，顶底板厚0.28m。中墩墩顶横隔梁厚1.8m，边墩墩顶横隔梁厚1m。混凝土采用C50，材料的弹性模量E=3.45× MPa。
（a）横隔梁截面图（单位：mm） （b）全桥3D模型
图1全桥模型构造
为了能得到腹板剪力传递至中墩墩顶横隔梁的规律，取横隔梁横向的剪应力
分布进行分析，这里取腹板内侧、腹板中心及腹板外侧三个截面，剪应力分布如图2（a）所示。结果显示，实桥双支承横隔梁腹板剪应力分布与单支承横隔梁腹板剪应力的分布极为相似，腹板内侧和外侧之间的剪应力差距较大，腹板中心剪应力介于腹板内侧和外侧之间，剪应力在腹板以类似直线的形式分布，通过积分可以得出，剪力均匀分布于腹板高度内（如图2（b）所示）。
（a）腹板剪应力分布 （b）双支承横隔梁剪力传递图
图2腹板剪应力分布规律
为方便对横隔梁的计算以及后续拉压杆模型的构建，在简化墩顶横隔梁计算图式时，将横隔梁以隔离体的形式从全桥模型中取出，相邻梁段荷载（主要为占较大比例的恒载）以等效集中剪力的形式在腹板部位作用于横隔梁（图3（a）所示），且剪力之和为横隔梁所受支反力。等效的原则只需满足简化集中力作用下横隔梁上部受拉区合力能与实桥中横隔梁上部受拉区合力吻合即可（图3（b）所示）。
（a）横隔梁隔离体及荷载选取 （b）受拉区合力等效
图3横隔梁简化模型
为了检验等效原则是否满足，将两个等效集中力分别作用在梁顶和梁底等两个简化模型进行有限元分析并将各简化模型和实桥中墩墩顶横隔梁受拉区应力进行积分对比。结果见0，各简化模型得出的受拉区合力均大于实桥的受拉区合力，因此利用上述简化模型模拟横隔梁是可行的。
表1各模型受拉区合力表
3简支深梁的受力分析及拉压杆模型
对于双支承横隔梁，忽略翼缘的影响，可将横隔梁简化成带有双悬臂的简支梁。参考实际桥梁双支承横隔梁的尺寸，箱梁横隔梁高跨比h/l0取值范围可为0.5~2，其中双支承间距l与横隔梁集中荷载间距l0之比值范围定为0.5~0.9；简支深梁全长B=4.4m，厚度为0.2m，梁高取h=2~8m，模型如图4所示，两个集中荷载P=40kN，集中力作用间距l0=4m，考虑荷载作用在梁顶及梁底两种情况。
（a）荷载作用在上部 （b）荷载作用在下部
图4深梁模型示意图（单位：mm）
将支座间距l与荷载间距l0的比值作为参数，对每个高跨比的深梁取9个不同l/l0进行分析得出如图5的规律图，（a）为荷载作用在梁顶时T/P的变化趋势，（b）为荷载作用在梁底时T/P的变化趋势。
结果显示，当荷载作用在梁顶时，高跨比h/l0≤1.2时，截面最大拉应力以及受拉区合力与荷载比值T/P都随着l/l0的变大而呈线性减小，而这种趋势随着高跨比的增大而逐渐减小；当h/l0>1.2时，支座间距的变化已经高跨比的变化对拉应力值以及T/P的变化几乎没有影响。当荷载作用在梁底时，高跨比h/l0≤1时，截面最大拉应力以及受拉区合力与荷载比值T/P都随着l/l0的变大而呈线性减小，而这种趋势随着高跨比的增大而逐渐减小；当h/l0>1时，高跨比的变化对拉应力值以及T/P的变化趋势没有任何影响。
（a）荷载作用在梁顶 （b）荷载作用在梁底
图5T/P变化趋势
东南大学贺志启等[3]应用应力迹线法提出了高跨比h/l0≤1的简支深梁在集中力作用下受拉区合力T的公式：
（1）
根据上述参数分析结果构建集中荷载作用在梁顶时的简支深梁拉压杆模型，如0所示。当h/l0≤1且a/h≥0.25时，构建如图6（a）所示的拉压杆模型。竖向力P通过斜压杆C1直接传递至支座中心，水平拉杆T和斜压杆C1之间的夹角θ可通过式（1）确定：
（2）
当h/l0≤1且a/h<0.25时，构建如0（b）所示的拉压杆模型，梁顶和梁底均出现水平拉杆。水平拉杆T1结合图5的结果取0.4P，因此可以得出水平拉杆T1与斜压杆C1之间夹角θ1=68ο，水平拉杆T2与斜压杆C3之间的夹角也根据类似方法得出，θ2=80ο。
（a）a/h≥0.25 （b）a/h<0.25
图6简支深梁力拉压杆模型（h/l0≤1）
当h/l0>1时，构建如图7所示的拉压杆模型。水平拉杆T1在高跨比h/l0>1时稳定在0.4P，因此水平拉杆T1与斜压杆C1之间夹角θ1仍然取68ο；水平拉杆T2与斜压杆C3之间夹角θ2=80ο。
图7简支深梁力拉压杆模型（h/l0>1）
集中荷载作用在梁底时的正应力与作用在梁顶时有所不同，梁底不会再出现拉应力，且最大拉应力位置不是出现在梁顶而是在深梁的中间部位（0（a））。因此，构建如图8（b）所示的拉压杆模型，竖向荷载通过斜拉杆T1传递至深梁中部，再通过竖向压杆C1传递至支座。水平拉杆T2的位置可以通过斜拉杆T1与水平压杆C2之间角度θ1确定。
（a）a/h≥0.25 （b）a/h<0.25
图8简支深梁力拉压杆模型
夹角θ1可通过T/P来确定，公式如下：
（3）
式中T/P可根据图5的参数分析结果通过MATLAB拟合出如下计算公式：
h/l0<1时
（4）
h/l0≥1时
（5）
4双支承横隔梁等效集中力作用位置
前文给出了全桥模型中的跨中双支承横隔梁横向腹板剪应力分布，通过积分可知剪力类似于在梁高范围内均匀分布。在横桥向，一般规定力流扩散的水平倾角约为45ο，双支承横隔梁的腹板剪力一部分通过斜压杆直接传递至支座，而另一部分则需要通过设置吊筋将剪力转移至有效传力区域再传递至支座，这里我们忽略支座宽度对横隔梁应力的影响，认为等效集中力通过45ο斜线传递至支座中心位置。横隔梁剪力传递机理如图9所示。
图9双支承横隔梁剪力传递机理图
对于双支承横隔梁，d/h通常在0~1之间，当高跨比h/l0≤1时，剪力加载位置为腹板中心线与支座中心45ο斜线的交点，如图10所示。
（a）直腹板横隔梁 （b）斜腹板横隔梁
图10横隔梁剪力加载位置示意图（h/l0≤1）
当高跨比h/l0>1时，考虑到拉应力会出现在梁顶和梁底位置，因此将剪力作用在梁顶，如图11所示，支座中心起45ο以下部分的剪力通过设置吊筋传递至梁顶。
图11横隔梁剪力加载位置示意图（h/l0>1）
5双支承横隔梁拉压杆模型
通过对结构进行拓扑优化分析，可以认清荷载在结构中的传递机制，是构建拉压杆模型的主要方法之一。在各种拓扑优化方法中，渐进结构优化方法（ESO）在概念上比较简单，且便于通过有限元分析软件实现[4][5][6]。渐进结构优化方法的原理为：不断的从连续体中剔除传力效率不高的单元，最后生成结构的主要荷载传递构架。优化的目标在于：以最少的材料通过一定的拓扑形状，来实现结构总体刚度的极大化，即结构应变能的最小化。
优化的目标函数可表示为：
这里利用ANSYS有限元软件对双支承横隔梁进行拓扑优化分析。选取高跨比h/l0=0.5，d/h=0.35，的横隔梁进行拓扑优化分析，如图12所示。图13示出了双支承横隔梁的渐进演化过程。从图14可知，性能指标最大时（图13（c））即反映了传力效率最大的结构构形。
图12横隔梁拓扑优化模型图（单位：mm）
（a）i=0（初始状态） （b）i=20
（c）i=37（最优状态） （d）i=71（最终状态）
图13双支承横隔梁拓扑优化过程
图14性能指标的演化历程
根据拓扑优化结果以及剪力传递机理可得到如图15、图16所示的双支承横隔梁拉压杆模型，由于剪力在沿腹板高度均匀分布，因此V1和V2的值根据各自高度比例进行分配：
（8）
（9）
当高跨比h/l0≤1时，压杆C3与水平拉杆T1的角度定为90ο，水平压杆C1的宽度定为0.12l0。支座中心起45ο以下部分的剪力通过拉杆T3传递至A点，再通过斜压杆C2传递至支座。
图15双支承横隔梁拉压杆模型（h/l0≤1） 当高跨比h/l0>1时，集中力荷载作用在梁顶，这里可以参考图7所示的简支深梁拉压杆模型进行构形，斜压杆C1与水平拉杆T1的角度定为68ο，斜压杆C3与水平拉杆T2的角度定为80ο。
图16双支承横隔梁拉压杆模型（h/l0>1）
6结语
（1）研究了双支承横隔梁的简化计算模型，通过与实桥模型得出剪应力以及受拉区合力进行比较，验证了简化模型的合理性。分析表明通过对横隔梁的简化计算可以偏安全的反应实桥中横隔梁的受力状态，这也为之后横隔梁拉压杆模型的构建建立了基础。
（2）以集中力作用在梁顶和梁底的深梁为对象，通过参数分析结果构建拉压杆模型。当集中力作用在梁顶时，将深梁分为h/l0≤1且a/h≥0.25、h/l0≤1且a/h<0.25以及h/l0>1等三种情况进行分析，给出每种情况下简支深梁的拉压杆模型；当集中力作用在梁底时，构建简支深梁的拉压杆模型，并给出斜拉杆与水平拉杆夹角的变化规律，使其适用于规定的高跨比h/l0以及支座相对间距l/l0范围内的简支深梁。
（3）对双支承横隔梁剪力作用位置做出了探讨，将横隔梁分为h/l0≤1和h/l0>1两种情况进行分析，并利用拓扑优化方法辅助给出了h/l0≤1和h/l0>1两种情况下双支承横隔梁的拉压杆模型。
参考文献：
[1]Schlaich，J.，Schaefer，K.，and Jennewein，M.，Toward a Consistent Design of Structural Concrete[J]，PCI Journal，1987，32（3）：74-150.
[2]刘钊.桥梁概念设计与分析理论（上）[M].北京：人民交通出版社，2010.
[3]Zhiqi He，Zhao Liu，John Ma.Quantitative Load Path Method for Strut-and-Tie Modelling of Structure Concrete[J].submitted to ACI structural Journal.
[4]Liang Q Q，Xie Y M，Steven G P.Topology optimization of strut-and-tie models in reinforced concrete structures using an evolutionary procedure[J].ACI Struct J 2000；97（2）：322–332.
[5]Liang Q Q，Xie Y M，Steven G P.Generating Optimal Strut-and-Tie Models in Prestressed Concrete Beams by Performance-Based Optimization[J].ACI Structural Journal，2001，98（2）：226–232.
[6]Liang Q Q，Uy B，Steven G P.Performance-based optimization for strut-tie modeling of structural concrete[J].ASCE J Struct Eng 2002；128（6）：815–823.
[7]郑和晖，刘钊，贺志启.混凝土梁桥的横隔梁拉压杆模型及配筋设计[J].工程力学，2011，28（5），97-104.
[8]R.Benaim.The Design of Prestressed Concrete Bridges Concepts and Principles[M].New York：Taylor & Francis e-Library，2007.
论文作者:陈志文
论文发表刊物:《基层建设》2018年第35期
论文发表时间:2019/3/27
标签：横隔论文; 腹板论文; 模型论文; 荷载论文; 剪力论文; 应力论文; 支座论文; 《基层建设》2018年第35期论文;