稳定型式 深化理念——2009年高考数学广东卷试题和答卷分析，本文主要内容关键词为：型式论文,答卷论文,广东论文,试题论文,理念论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
广东省高考自主命题已经6年了，最近三年，数学作为高考众多科目中唯一文理分卷的考科，开始了实施高中新课程的高考。纵观3年的命题，聚焦2009年高考的试题和答卷。我们可以看到，广东高考数学卷的命题，在稳定中逐步提高对新课标的理解，在变革中渐进深化新课标的理念。
一、题型和特点
2009年广东高考数学卷（下简称广东卷），传承了从2007年开始的型式改革。三年来，让考生在对试卷的型式、结构、知识考点有一个清晰而明确的了解。而从旧课程到新课标的转变中，逐步贯彻和深化新课标的理念。
稳定型式，其特点表现在：
1.题型稳定：从2007～2009年文理分科三类题型（选择题，填空题，解答题）及其分值（文：50，20，80；理：40，30，80）不变，填空题中的选做，从内容（参数方程，几何证明，不等式）和形式上（文：2选1，理：3选2）也保持稳定。
2.考点稳定：三大知识考点；两老（函数，几何）一新（概率和统计）。2009年文科卷三大考点共120分，其中函数（包括三角函数，数列），几何（解析几何，立体几何），和概率统计各占57，42，23分。而理科三大考点共占103分，函数，几何，概率统计各占33，43，27分。选择题和填空题大部分都是学生平时练习的题型（特别是文科）。据统计，文科有14题，理科有9题出现在教材的类似习题或总复习题中。
3.压轴稳定：近年来压轴问题都来自函数、几何及不等式的交叉运用，及高等数学技巧的渗透。2009年广东卷仍然如此。
深化理念，其特点表现在
1.文、理试题——从几乎相同到基本不同
新课标的重要理念之一是使“不同的人在数学上得到不同的发展”（见教育部基础教育司《数学课程标准解读》（下称《解读》），北师大出版社，2002，第一章“基本理念”）。自从2007年广东卷贯彻新课标高考以来，文理分卷，就逐步拉大文、理差距，以达到文、理真正分科的目标。如果说2008年文、理作了拉大差距的努力，而未达到拉开差距的效果，那么2009年，就真正在这方面做出了有目共睹的成效。
据统计，文、理两卷相同的题目，从07年的72.5%到09年降为24%。直观看到它们的“交”的比例逐年减小。
可以说，文、理两卷，从07年开始分科的几乎相同，到09年已经是基本不同了。
我们考察文、理两卷不相同的部分，不论师生的反映，还是统计结果都表明：2009年理科卷的难度提高，而文科卷的难度稍降。文、理卷的差距真正拉开（由于文、理学生数学水平的差异，它反映在平均分上，应该是文、理卷的平均分差距缩小）。试看非选择题（填空题，解答题）得分比较，理与文平均分差距，从过去两年的十多分到今年缩小到约5分。
2.考点选取——从着眼高校学习到关注专业素质
新课标的一个重要理念是“人人都能获得必需的数学”（见《解读》第一章）。什么是“必需的数学”？对于担负为高校选拔人人的高考来说，自然是面向大学学习的需要。因此，近年来，函数（包括三角函数，数列）成为高考知识点的“霸主”。2009年高考试题的分析表明，今年的高考开始关注文、理科不同学生的专业素质的需要。文科更需要直观和空间想象，理科增强了解几、不等式和向量。而函数“一刀切”的统治地位正在悄然减弱。
3.应用意识——从联系生活实际到涉足科技领域
新课标的第一个重要理念是“人人学有价值的数学”（见《解读》第一章），数学的价值之一，在于它能够解决实际问题。近年来，广东卷中对应用意识的考查给予足够的重视，2009年考题也延续这一导向，文、理卷的应用问题比例均在20%以上。特别值得指出的是，2009年的试题，联系实际的范围更广了，问题的叙述不仅仅限于学生身边的生活实际。而且初步涉及科技领域、工程体积的计算（文17），质点受力的计算（理6），速度曲线与路程（理8），空气质量指数API的数据处理（理17）等。它传递了这样的信息：数学不仅在身边的生活，而且更高层次地在科技上得到应用。
4.空间想象——从考查简单计算到重视推理论证
“空间想象能力”是《考试大纲》中规定考查的5种能力之首。在广东卷中，2008年已比2007年加强了空间想象力考查的深度和广度。然而，就立体几何而言，大多都是几何体的计算或为计算而作出的一些推理论证。在2009年的试题中，证明成了立几问题的主体，而且把投影，视图等知识结合到推理论证中，以理18为例。在题目的条件中，就列出了还未出现的投影点。对空间想象力的要求更高，体现出“空间观念在分析和抽象层次上的表现”。（《解读》第141页）
5.数学思维——从常规思维到逆向推理
数学新课标指出“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力。”如上所述，2009年的命题思路，在文科中加强了合情推理，而在理科中加强了演绎推理，认真考察今年广东卷的命题思路，我们不难发现，很多问题都有多个切入点。鼓励学生应用多种思路解决问题。以作为压轴题的理21为例，这是一道用数列来包装而实质考查曲线的切线及不等式的问题，因此可以以不同的角度去思考。
仅仅第(1)问，据不完全统计，就有下列三种思路：用
，用几何性质，用圆的切线公式，至少八种解法。
而第(2)问，在证明两个不等式中也有三种思路：数学归纳法，放缩法，构造法（构造对偶式，构造函数），每种思路各有5种以上的证法。
值得注意的是：09年广东卷中的出现逆向推理的趋势：
由反函数逆向确定函数（文4，理3）；
由导函数逆向确定函数（文21，理20）；
由框图的结果逆向确定“判断框”的内容（文11）；
由两车的速度曲线逆向判定两车的位置关系（曲边梯形的面积（理8））；
由两平面向量和的性质逆向求原始向量（理10）：
由随机变量X的均值EX，方差DX逆向求分布列（理2）；
由数列和的性质逆向求通项（文20）；
由数列的乘积关系，逆向分解成和关系的技巧。
试看文20(2)求的一个个关键技巧，
6.创新意识——从尝试探索题型到发展探究空间
“倡导积极主动，勇于探索的学习方式”是新课标的重要理念。创新意识也是《考试大纲》所要求的对学生的评价标准。诚然，在高考中考查学生的创新意识不是一件容易的事情。从07～08年，广东卷中开始作出的初步尝试。07年卷中出现了一类非标准数学形式的考题（理7和文10）：关于环形分布的四个维修点调动配件次数的最小值问题。在08年卷中，出现了开放式设问的探究性问题（文20，理18）。而在09年卷中，过去两年尝试的两种类型问题，均出现在考卷中。如理21题：利用构造辅助函数，通过证明单调性达到证明不等式。由于构造函数有一定的开放性，因此出现了不少巧妙的解法。又如
至于联系广州2010年亚运会火炬传递的文10题，则是一道不具有标准的中学数学形式的极值问题。
文10 广州2010年亚运会火炬传递在A、B、C、D、E五个城市之间进行，各城市之间的路线距离（单位：百公里）见下表。若以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是(
)。
A.20.6；
B.21；
C.22；
D.23.
A
B
C
D
EA
0
5
4
5
6B
5
0
7
6
2C
4
7
0
9
8.6D
5
6
9
0
5E
6
2
8.6
5
0
题目是运筹学中的“最短路程问题”。从给出的5个城市的距离表，求从A到E的最短路程。除了在表中可直接探索之外，（到达一列，划掉一列），还可用图直观地探究。
7.领会数学——从“聆听”到“解读”
数学需要“从具体情境中抽象出数量关系和变化规律”“一般化和符号化对数学活动思考是本质的，一般化是每一个人都要经历的过程”（《解读》第135页），我们的学生，学习数学和了解数学长期靠老师的启蒙、解说、灌输，习惯于聆听数学。然而，数学的领会和素质的培养，以至创新，更需要的是自己去解读数学。2009年广东卷，就考查了学生解读数学的能力。
容易发现，在09试卷中加大了阅读的分量。如理17。关于空气质量指数API的题。陌生的表述加上一个4行8列的表格及坐标图，对考生的阅读能力是一个挑战。即使是纯理论的问题，更加符号化，数学化的表述也对考生提出更高的要求：解几缺图（文19，理19），立几缺点（理18），在理18中，在已知条件中，出现图中没有而需考生作出的投影点
，一旦此两点作不出，则“全军尽墨”。至于求
面积（文19），斜率（理21），曲线段L，平面区域D（理19），纵坐标为X（理17）都让学生受到了一次数学符号化的震撼。有的考生抱怨：即使选择题，（理2），“α(z)表示满足
的最小正整数n，求α(i)（i是虚数单位）”让人感到读起来别扭。而能否把“圆
包围椭圆G”（“包围的概念不明确”）解读为“的圆心到G的任一点距离都必须不大于圆的半径”也是对考生能力的一种考验。因此进一步加强学生的数感、符号感，变聆听数学成解读数学是新课标对中学师生新要求。
二、答卷情况分析
我们以非选择题的答卷情况作分析
文科各题得分统计（样本数265000）
文科填空题答卷分析
文科解答题答卷分析
理科各题得分统计（样本数335000）
理科填空题答卷分析
理科解答题答卷分析
三、总结和反思
2009年广东卷非选择题文科平均分比去年略有提高（填空题下降，而解答题提高），而理科大幅度下降（填空题与解答题均下降，且填空题下降更大），估计文、理两科的全卷平均分都在70到73分之间，且差距接近。从知识点来看，文科的立几、概率，理科的立几、三角函数考题得分较高。作为最难的压轴题，文科得分率有所增长（文科：07年0.10（21题），08年0.01（21题），09年0.05（21题）），而理科的得分率下降：07年0.15（21题），08年0.06（21题），09年0.04（21题）。
从09年高考广东卷的分析，纵观近三年的高考，我们对今后中学的数学教学和备考，提出一些新的思考。这不仅是对学生的学习，也是对教师的教学提出新的要求。
1.文理有别：在众多高考科目中，数学最显著的特点是文理分科。虽然，笼统说来，数学的考查是五个能力两种意识。但是从09年的试题来看，文理的命题思路不再一刀切，也不仅仅停留在题目的难易区别，而是更多地侧重学习社会科学和自然科学不同学生的专业素质要求。因此，对文科学生加强合情推理（归纳推理，类比推理，统计推理）的教学，而理科学生强化演绎推理的训练是值得注意的趋向。
2.拓广方法：数学的学习和备考很大的分量是解题能力的训练。在教材和教学中，一般总是学习最为普遍适用的方法，然而对于解题的训练应该学会尽量找出最好的方法，这就是数学中经常提出的最漂亮的方法。也就是数学值得欣赏的美。“数学家们非常重视他们的方法和理论是否优美，这并非华而不实的作风”（庞加莱）。普遍的东西并非简单，特殊的技巧才能收到奇效，高等数学方法也不一定比初等的方法高明。不要一见到求两直线的交角就马上建立坐标系，用向量。要知道，理18题中的(3)用传统的立几方法比向量法更简洁和优美。在平时教学中，要鼓励学生用多种方法思考一个问题。解析几何问题富于变化，最讲究简洁的解法，合理的运算，不注重这方面的训练是难以在考场上获胜。注意到近年命题的趋向，我们在推理的教学中，应教会学生不仅用常规的方法也善于逆向思维。
3.关注应用：在试题中，应用问题已经超过了全卷分值的1/5，强调并增强应用意识已经成为今后高考不可逆转的趋势。今后的应用问题还会在广度和深度上加强。在数学教学中，充分挖掘应用素材，增强学生的应用意识和能力，特别是阅读能力和计算能力，将会扩大考试的得分点。打开09年的试题，有图的地方基本都是应用问题且并非难题，维恩图、程序框图、茎叶图、直方图……，都是有‘分’可图。
4.读懂数学：习惯于聆听老师讲解数学的学生，要自己解读数学是一个很大的挑战，但是，这也是必须要勇于面对的一个挑战。数学，不论是作为思想的体操还是作为应用工具，都必须要求学生掌握数学的语言，数学的表达。一个数学式子的含义比用文字的描述简明而准确得多。我们要读懂它，这就是新课标对数感，符号感的要求。09年的广东卷，解析几何问题都由考生构图，应用问题阅读量加大，压轴题的表达更趋数学化。“
的最小正整数n”，使不少考生误答为取整n=111（文20）。而否定“存在圆包围椭圆G”只需在G找出一个不能被包围的特殊点（文19）。这类问题，都给中学教学提出更多的“读懂数学”的要求。
四、对高考命题的建议
09年广东卷，在稳定型式，深化新课标理念，体现文、理特点方面有明显的成效。特别是在减小考生运算量方面做了不少的努力。作为精益求精要求，我们提出试题改进的若干建议。
1.期望平均分再有提高：09年考卷成功地把文、理两科平均分差距缩小，但整体的平均分还有上提空间，以有利于提高师生对数学教学的积极性和信心。
2.警惕造成新的死记硬背：新课程的推行减少了旧传统的死记硬背，但不少新双基的内容（如概率、数理统计）只涉及应用，不讲求推导，新名词、新符号、新公式繁多，学生应考可能又陷入新的死记硬背。
3.试题设计有利考生发挥：填空题的填空线的长短，多少对学生有引导作用，应该准确。题目的叙述力图做到清晰，准确，以有利于学生减少非知识性的错误。填空题的运算量不宜过大。小题在关注概念考查的同时应注意难度的调节。