二面角教学：困惑、解惑与感悟，本文主要内容关键词为：困惑论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、问题提出
二面角是空间几何中重要的知识之一，是提升学生空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力等最好的几何素材。由于二面角的抽象性、多变性等特点，教科书（人教课标A版）中采用分步编排，螺旋上升的思路，即在必修2中，让学生学习传统几何的做法以外，再在选修2-1模块中提供了用空间向量求二面角大小的方法。为此，在新课标下如何定位、把握二面角的教学，值得教师思考。
二、课前困惑
在“二面角”的备课过程中，笔者虽然认真研究了新课标，也认真地从必修2模块中的内容编排的角度进行了思考，理解新课程的特点是在内容上分层次设计进行编排，在必修课程中，主要是通过直观感知、操作确认，获得几何图形的性质，并通过简单的推理发现、论证一些几何性质，而在选修中采用向量工具和专题进一步的提升；在教学定位上要培养和发展学生把握图形能力、空间想象与几何直觉能力、理解推理能力等四大能力。
但从教科书的目录上可以看到：二面角是为了研究平面与平面垂直做铺垫才引入的一个数学概念，在章节标题中也没有出现“二面角”名目，为此心中总是不安。大家知道，二面角是旧大纲中的重要概念，在空间几何教学中占有重要的地位，而新课标中对二面角的计算却放在选修2-1中，因此，在必修2的教学中如何定位，是以概念的形成为重，还是以二面角的计算为重？如何把握教学，才能达到高中数学课程标准以及高考考纲的要求？
再则，不论是以概念的形成为重，还是兼顾概念的形成和二面角的几何计算，“找”二面角的平面角时，总会用定义去找，自然也会涉及用三垂线定理作二面角的平面角，如何对待三垂线定理的“去”与“留”？是否要补充这个定理？
这些都是在备课时曾经产生过的困惑。
三、课前分析与反思
查阅教师教学用书，书中表明用1课时完成“平面与平面垂直的判定”（含二面角）的教学。基于前面的困惑，再加上教学分配时间只是1课时，如何把握这节课的教学？只能通过对比新课标与旧大纲中关于二面角的目标要求，寻求解决问题的办法。
1.对比二面角教学目标的变化
大纲：了解三垂线定理及其逆定理；掌握二面角、二面角的平面角的概念；掌握两个平面垂直的判定定理。
课标：通过直观感知、操作确认，归纳出两个平面垂直的判定定理；能用向量方法证明三垂线定理，并解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量法在研究几何问题中的作用。
对比可知：新课标将线线、线面、面面的垂直与平行位置关系放在数学2中，而且采用的是直观感知、操作确认、归纳的思路进行的。将线线、线面、面面的夹角的计算安排在选修2-1中的空间向量中进行，自然降低了对“空间角”的空间想象能力和推理论证能力的要求，充分让学生体会向量在研究空间几何图形中的工具作用，这样做的目的就是淡化了空间角的计算（尤其是二面角的大小的计算）。课标中没有对“二面角及三垂线定理”作具体的教学要求。
课标的“立体几何初步”主要是培养和发展学生的空间想象能力与几何直观能力。几何直观可以帮助我们探索和发现图形的性质，有助于逻辑推理，通过几何直观可以清晰地把证明思路表示出来；处理方式按照从整体到局部的方式展开立体几何内容，先通过实物模型等认识空间几何体，再以长方体为载体直观认识和理解空间点、线、面的位置关系。以直观感知和操作确认为认识几何体的重点角度，建立和提升学生的空间想象能力和几何直观能力。
因此，对二面角的教学目标确定为：
经历二面角概念的生成过程；体会将二面角问题转化为平面角问题，利用类比的方法理解二面角的平面角的定义；探究二面角的平面角的表示，会求较简单的二面角的大小。
2.二面角在教材位置的分布情况
课标中的立体几何内容是分层设计的，在必修课程的“立体几何初步”中，主要是通过直观感知、操作确认，获得几何图形的性质，并通过简单的推理发现、论证一些几何性质，进一步的论证与度量则放在选修系列2中。
平面与平面的垂直需要“二面角”的概念。事实上，两个平面相交时的相对位置可以看成是由两个平面所成的“角”确定的直观感知。二面角、二面角的平面角是这一节的重点；二面角的平面角大小的表示则是难点。
在数学2（人教课标A版）的“平面与平面垂直的判定”一节中，借助修筑水坝、发射卫星等实例，引出了二面角的概念，学生自然就会对二面角产生感性的认识，再通过二面角的直观图，对二面角进行概括、理性的理解，同时教材介绍了二面角的概念，没安排求二面角的大小的例题、练习，只是在习题中设置了两道简单的以三棱锥、正方体为载体的求二面角大小的题目。但在数学2-1的“空间向量与立体几何”中侧重设置了较多的二面角大小的计算。其中在必修2的“立体几何初步”中也没有“三垂线定理及其逆定理”的影子。将“二面角”分散在必修与选修课程中，凸现了教科书编写与学生的认知规律“和谐”、“统一”的“螺旋式上升”的理念。
3.二面角在知识的认知、能力上要求
从知识的认知情境看，教科书设置了问题的情境，注重从生活实践到数学研究再到数学教育、从直观感知到抽象理解再到数学教育的方式，引导学生学习二面角；从知识的量化看，数学2只是注重二面角概念的形成，淡化了几何法的计算，在选修2-1中侧重设置了用向量计算二面角的方法。
从能力的立意与提升看，教材凸现了转化、类比、降维的思想方法在“二面角及其平面角”中的应用，让学生在运用空间向量解决二面角的大小的问题中，开阔视野、拓展思维、提升能力。
学习新课标和新教材之后，结合集体备课的智慧和研究的对策，虽然这节内容的教学有了新的思路，但为了更好地在课堂中凸显出“二面角”这一核心概念的作用，笔者又从必修2与选修2-1上进行整体分析，认识到教学时，要在“二面角”概念的生成过程中让学生体会：二面角的大小是用平面角来度量的化归思想；确认二面角的平面角的大小由二面角的两个半平面的位置唯一确定，与棱上的点的选择无关；平面角的两边分别在二面角的两个半平面内，且两边与二面角的棱垂直等几何事实，由这个角所确定的平面和二面角的棱垂直。其中观察、操作、直观感知、思辨、讨论是学习这一节内容的基本方法。培养学生的空间想象能力和几何直观能力是贯穿整个高中数学教学的主线，在教学中，必须时刻关注这条主线。
4.学情分析与学法处理
高一至高二年龄阶段的学生，思维属于经验型逻辑思维，一定程度上仍依赖直观具体的形象性材料来理解抽象的概念或逻辑关系。教科书编写完全符合学生的学习特征，即符合学生由具体到抽象的认知规律。
大家知道，几何概念是思维的基本元素，也是空间想象的出发点，学习时必须抓住二面角概念的本质特征和关键要素，用联系的、发展的眼光看待每一个立体几何的概念，让学生经历每一个概念的来龙去脉，把所学的概念归纳到已有的认知结构中，形成有联系的知识网络。
结合新课程的教材特点：从柱、锥、台、球到点、线、面，即从整体到局部，与从具体到抽象的设计思想；分段设计、分层推进的编排方式；对空间几何体采用直观感知和对线、面关系采用操作确认、思辨论证的原则；对于平行、垂直侧重定性和对于角、距离等侧重定量研究，侧重于向量方法；以及对判定定理做到操作确认、合情推理和对性质定理做到思辨论证、逻辑推理的思维取向。
对于二面角的平面角，也采用教科书设置的方法进行教学，让学生通过对各类二面角模型的观察与分析，类比线线角、线面角的处理方法，自然想到采用平面化的方式，顺利地过渡到平面角的概念上来，凸现了“降维”的化归意识。
四、教学片断（二面角的平面角）回放，解惑
师：二面角的大小如何进行度量？大家操作、思考看看能解决吗？
生：采用将空间问题转化为平面问题的思想（降维）来解决，即将二面角用平面角来表示。（凭着直观判断，大部分有此意识）
师：展示课本，让学生翻开课本形成二面角状态，观察书页底部的边沿线所成的角的变化情况，是否随着翻动的幅度大小变化（二面角变化）而发生变化。变化基本是“一致”的，能否用这种对应书页底部的边沿线所成的角进行表示？
生：可以。但这种表示是否是唯一的？
师：大家探究这种表示是否是唯一的？即满足怎样的条件时，表示是唯一的？（大家探索过程热烈，有的同学争辩得面红耳赤，气氛活跃）
学生就此问题展开探索，探索中，发现了新问题，议论纷纷……。请一位同学说一说如何“寻找”具体的、可以确定的一个平面角。“唯一性”是数学严谨性的表现，在探索时一定要认真对待，全面深刻的思考。
生：从二面角的棱上任找一点，从这一点出发，分别在两个半平面内任作一条射线，它们形成一个平面角，其大小是确定的。
生：平面角的“唯一性”是垂直确定的，垂直具有“唯一性”是可以作为分界点来实现平面角的确定。
师：大家思考得很好！思辨很激烈，我好感动！得到的结论是正确的。在巡视中发现有同学用两只铅笔在翻开的教科书上不停的摆放，这种动手、动脑的习惯值得提倡和表扬！
师：大家思考这样的平面角具备哪些条件？能否借用前面学习的线面垂直的性质与判定定理作为依据找到平面角？
最后探索的结果令人非常满意，除了前面的定义法外，的确寻找到另一种方法，即从二面角的一个平面内任找一个非棱上点，作另一半平面的垂线，再过垂足作棱的垂线，交棱于一点，这点与平面内一点连线，即得二面角的平面角。（在巡视中，对学生进行了点拨、启发，学生在没有学习三垂线定理及其逆定理的情况下，也寻找到了这种方法，心中的困惑早不知去向，教科书编写者处理得很好，减轻了学生的思维负担。）
如果给学生讲解内容丰富的“三垂线定理及其逆定理”，学生自然会记住结论，盲目套用定理，这样做不利于学生对空间图形本质的认识、不利于培养学生的“空间想象能力”，同时，在讲解这两个定理时需要一定的时间和一定量的习题进行练习，费力不一定取得好结果，往往会做成“夹生饭”，产生消极影响。“三垂线定理”只是线面垂直性质的一个推论，大家认为有它比较方便，是习惯成自然的原因。新教材没有编排，依然可以取得同样的效果。
教学实践表明，教学必须把握教材，领会课标精神，准确定位、把握教学目标，必要时对一些数学的核心概念进行探究，让学生在概念的形成、发展过程中有所体验、感悟。
五、课后反思
教学前的困惑，通过课堂教学的实践，基本消除了。学生学习二面角完全可以达到课标的要求，教科书（人教课标A版）的编写给我们一个新观念、新方法，也为数学教学提供了新思路。
1.研读课标，准确定位教学目标
课程标准提出：“高中数学课程应返璞归真，努力揭示数学概念的发展过程和本质，使学生理解数学概念逐步形成的过程，体会蕴含其中的思想方法；教学中应注意沟通各部分内容之间的联系，通过类比、联想、知识的迁移和应用等方式，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，进一步理解数学的本质，提高解决问题的能力。”
“二面角及其平面角”是学生接触的一个新概念，这个概念的形成在“平面几何”与“立体几何”之间架起一条思维通道，蕴含重要的数学思想方法，如转化、类比和降维等。尤其在二面角的问题中体现得非常明显。
众所周知，课程标准是教学的依据，务必认真、反复地研读，深刻领会、把握课程标准的精神，领悟新课改的理念。对具体教学内容的分析，要明确哪些降低要求，哪些提升要求，哪些淡化要求。总之，教学必须以课程标准为“纲”，孰轻孰重，清清楚楚，才能切实地贯彻新课改的精神和课标的理念。
2.研读教材，准确把握教学目标
教科书是解读课程标准的范本。它凝聚着编者对课标的准确理解的心血，蕴藏着丰富的数学教育内涵，体现着数学的科学性和编排的合理性、艺术性。作为一线教师只有研读教科书，才能够准确把握教学目标，悟出教科书的精髓，发挥教科书的教育作用。
高中立体几何在课标教材中分成两部分：“立体几何初步”（必修2）和“立体几何与空间向量”（选修2-1），体现了分阶段、分层次、多角度的形成知识网络的“螺旋式上升”认知规律。为此，二面角在必修2中重点是揭示概念的形成过程，而求二面角大小的问题留在选修2-1中运用向量工具来处理，凸现出新思维、新方法。其大环境线与面、面与面的平行与垂直的判定定理在直观感知，抽象归纳，操作确认的课标理念下得出，没有给出严格的证明，这一点符合课标精神和编写意图。如对“三垂线定理及其逆定理”放在选修2-1中只要求了解其内容和向量方法证明，也是减轻学生思维负担，进一步推动学生运用向量工具解决空间图形的度量问题的进程。
3.研究概念，准确探究核心概念
重视核心概念教学，不仅提升教学目标的定位，更为教学方法的选择、教学过程的设置及教学评价的界定竖起一个“标杆”，研究概念自然成为教师备课时首先思考的一个问题。“二面角”教学中的核心概念就是“二面角的平面角”，在教学设计中，应组织探究二面角的平面角大小的表示的数学活动，为学生搭建平台，让学生通过教学探究、感知、猜想、操作确认、思辨讨论的活动经历“二面角的平面角”的自然形成过程，感受数学的转化即降维的思想方法，体验数学的发现和创造。
4.研究学法，提高效率、贯彻理念
对于初入高中的学生，多进行一些学法指导，在教学时尽可能遵循方法与知识双重走向，让学生体验教科书分段设计、分层推进的策略，学会自主探究、合作交流的学习方式，为后续学习提出一个模式，学生自然而然地逐步适应高中数学的学习。
总之，教师对教材多研究，对教学内容重新优化的“用教材”的教学，能够削枝强干，突出核心概念，强化数学思想方法，从而增强学生学习的积极性，提高课堂教学效率。
通过这一节“二面角”教学前的课前困惑、上课解惑、课后反思，笔者深刻地感悟到：教学就是一种过程的经历、一种过程的体验、一种过程的感悟！